不定积分计算中“1”的妙用

黄燕平

（湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425100）

不定积分的计算常用的方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法，计算不定积分，一般都是根据被积函数的特点来选择具体的方法。可是，我们在大量计算中发现，有些不定积分不能直接运用以上几种方法，而是要将被积函数适当变形以后才能计算，所以，我们有必要对被积函数的变形方法进行研究。当然，被积函数变形的方法和技巧有很多，本文主要探讨的是在不定积分的计算中如何巧妙地运用“1”，将被积函数进行适当地变形，从而达到简化积分的目的。

一、将“1”用sin 2 x +c os2x代替

三角函数的积分，计算非常灵活，在以上几种基本方法的基础上，还有一些其他方法，比如：配对积分法、分项积分法和万能变换法等等。其中，运用万能公式，通过三角变换总可以将一个三角函数有理式化为一个有理函数。因此，这就提供了一个求三角函数有理式积分的固定方法，但是我们知道，这种方法计算比较繁琐。所以，对于某些特殊的三角函数的积分，我们可以采取将被积函数进行适当地变形，再选择用基本方法来计算。下面我们探讨的是将被积函数中的“1”用sin2x+co s2x 来代替，从而达到被积函数变形的目的。

二、分子加“1”减“1”

上面我们是通过将被积函数中的“1” 用sin2x+cos2x 来代替，从而将被积函数适当变形，达到便于积分的目的。下面，我们介绍的方法是根据被积函数的特点，在被积函数的分子上加“1”减“1”，然后将被积函数拆成几项，再分别求积分。

在例题9中既用到了在被积函数的分子上加“1”减“1”的方法，又用了将“1” 用sin2x +c os2x来代替的方法。

三、将1适当拆分

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]丁家泰.微积分解题方法[M].北京:北京师范大学出版社,1981.

[3]梁汉光.三角函数有理式积分[J].广西民族大学学报2006（12）.

[4]薛秋.不定积分常用技巧初探[J].高教视野,2009,(1).