分数布朗运动与Hurst指数的关系研究

牛奉高,刘维奇,2

分数布朗运动与Hurst指数的关系研究

牛奉高1,刘维奇1,2

(1.山西大学数学科学学院,山西太原030006;2.山西大学管理科学与工程研究所,山西太原030006)

讨论了重标极差分析(Rescaled Range Analysis,简称R/S)方法的理论基础——分数布朗运动的相关性和自相似性,以及分数高斯噪声序列的自相关指数、自相似性、长记忆性与Hurst指数之间的关系.验证了分数布朗运动当H≠1/2时不是Markov过程,以及Hurst指数与其自相似指数相同等性质.并得到了分数高斯噪声的长记忆性与Hurst指数之间的关系,从而可以通过Hurst指数来判断序列是否有长记忆性.

Hurst指数;分数布朗运动;分数高斯噪声;自相似性

水文学家Hurst[1]在随机游走的1/2幂律法则(即距离的平方与时间成正比)的启发下,提出了Rescaled Range Analysis(简称R/S)分析方法,并得到了一个新的非参数统计量(后称为Hurst指数,简记为H指数),从而将随机过程的幂律法则推广到了一般的形式,即距离的H次幂与时间同阶.20世纪40年代, Hurst基于对有偏的随机游走所进行的深入研究,结合R/S分析方法,发现有偏的随机游走能很好地刻画许多自然现象.Mandelbrot在20世纪60年代也对此进行了广泛探讨,1963年将其应用到时间序列分析中. 1968年与Van.Ness对布朗运动进行推广,提出了I型和II型分数布朗运动的概念[2].1991年Peters提出了分形市场概念,指出分数布朗运动可以准确的刻画金融市场波动.2009年Davidson通过模拟对I型和II型分数布朗运动的参数进行了估计,并就参数的无偏性做了比较和实证分析[3].事实上,R/S分析方法就是以分数布朗运动理论为基础(详见下文第一部分).Hurst指数的提出对时间序列研究有重要意义,而分数布朗运动赋予了Hurst指数更强的解释能力.通过计算Hurst指数H可以判断时间序列的分形特征[4-8],2008年Zunino等还研究得出了熵指数和分形特征的关系[9].

1 相关概念

由于研究时间序列性质的角度不同,部分概念往往有多种定义形式,本文基于以下定义形式进行探讨.

1.1 自相似

一个实值随机过程{X(t),t≥0}称为自相似的(self similar),如果对任意的a>0,存在b>0,使得{X特别地,称其为H-自相似的(H-ss),如果任意的a>0,有其中H>0称为自相似指数,是同分布的意思.

1.2 分数布朗运动[10]:

设概率空间(Ω,F,P),H(0

(a)P{B(0,H)=0}=1;

(b)对任意的t∈R+,B(t,H)为F可测的随机变量,且E{B(t,H)}=0;

(c)对任意的t,τ∈R+,有

其中,σ为方差参数.

1.3 记忆性[11]

一个弱平稳过程,如果其ACF是有界的,即|ρ(k)|～Cr|k|,C>0,0

其中C≠0,0

对平稳时间序列{xt},(1≤t≤N),其滞后k阶的自相关函数为:

其中,γk=E[(xt-μ)(xt+k-μ)]为滞后k阶的自协方差,μ为xt的期望.

1.4 自相关指数

称γ为时间序列{Xt}的自相关指数,若ρ(k)满足:

2 分数布朗运动与Hurst指数

设时间序列{xi},(1≤t≤N)是布朗运动B(t)的现实,作以下记号:

由xi～N(μ,σ2),得dn～N(nμ,nσ2),¯xN～N(μ,σ2/N),SN→σ.令n=N t,0

由dn-n¯xN=dn-nμ-n(¯xN-μ),得

性质1对分数布朗运动及以上记号,有

因此R/S分析方法计算所得的Hurst指数是分数布朗运动H参数的估计.

2.1 分数布朗运动的相关性

性质2当H≠1/2时,分数布朗运动不是Markov过程

证明:设分数布朗运动B(t,H),H为Hurst指数(0

再利用分数布朗运动的平稳增量性,得增量的相关函数为:

特别地,k=t时,有:

显然,当H=1/2时,ρ(t)=0,即未来的增量与过去不相关.当H≠1/2时,即分数布朗运动{B(t,H)}就不是Markov过程了.进一步由(5)式不难得出以下性质:

性质3设ρ(t)分数布朗运动时间间隔为t的增量序列的自相关函数,则有: (1)ρ(t)与t无关;

(2)-0.5<ρ(t)=22H-1-1<1;

(3)ρ(t)≠-1,即不可能完全负相关;

(4)当0.5

2.2 分数布朗运动的自相似性

布朗运动{B(t),t≥0}是1/2-自相似随机过程(1/2-ss),对于分数布朗运动也有类似性质.性质4分数布朗运动是自相似的,且自相似指数就是Hurst指数.

证明 根据FBM定义知,增量B(t+k)-B(t)服从正态分布N(0,σ2k2H),则

又

因此B(γk)与γHB(k)同分布,即FBM是自相似的,记为H-ss,且自相似指数就是H,也即Hurst指数.

3 分数高斯噪声与Hurst指数

分数布朗运动是非平稳的,但其增量是平稳的.对于分数布朗运动的一步增量序列,又称为分数高斯噪声.

3.1 分数高斯噪声的自相关

引理1[2,12]对于分数布朗运动,其一步增量序列的k阶自相关函数满足:

引理1说明Hurst指数可以反映分数布朗运动增量的相关性,并得到Hurst指数和自相关指数之间的等价关系.

性质5设分数布朗运动B(t,H),其一步增量序列的自相关指数为γ,则有:

3.2 分数高斯噪声的长记忆性

根据分数布朗运动定义和ρ(k)的等价形式(6)式,有2H-2=2d-1,从而

由(8)式得到以下性质.

性质6分数高斯噪声具有长记忆性,如果0.5

这是通过计算Hurst指数来判断简单分形时间序列是否具有长记忆性的理论根据.

4 结论

本文在一定条件下讨论了分数布朗运动以及其离散化一步增量序列,即分数高斯噪声的自相似性、相关性及长记忆性与Hurst指数之间的关系,得到了一些简单而直观的结论,为实证研究提供了可靠的理论基础.如我们可以根据Hurst指数是否显著为1/2来判断序列是否为布朗运动;进一步,对于分数布朗运动的一步增量序列,如果其H显著大于1/2,则可断定其具有长记忆性;根据自相关指数可以得到Hurst指数,也就是自相似指数.

[1] HURST H E.Long-term Storage Capacity of Reservoirs[J].Transactions of the A merican Society of Civil Engineers, 1951,116:770-808.

[2] MANDELBROT B B,VAN NESS J W.Fractional Brownian Motions,Fractional Noises and Applications[J].S IA M Review,1968,10:422-437.

[3] JAMES DAVIDSON,NIGAR HASHIMZADE.Type I and Type II Fractional Brownian Motions:A Reconsideration[J]. Computational Statistics and Data A nalysis,2009(53):2089-2106.

[4] 庄新田,庄新路,田 莹.Hurst指数及股市的分形结构[J].东北大学学报,2003,24(9):862-865.

[5] 范 英,魏一鸣.基于R/S分析的中国股票市场分形特征研究[J].系统工程,2004,22(11):46-51.

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[7] 冉茂盛,罗彦如,黄凌云.基于分形理论下的欧元汇率波动分析[J].统计与决策,2009(24):138-139.

[8] 张洪波.运用Hurst指数法对上证指数自相关性探讨[J].现代商贸工业,2010(1):177-178.

[9] ZUNINO L,PÉREZ D G,KOWALS A.Fractional Brownian Motion,Fractional Gaussian Noise,and Tsallis Permutation Entropy[J].Physica A,2008(387):6057-6068.

[10] GU YJUMARIE.Fractional Brownian Motions Via Random Walk in the Complex Plane and Via Fractional Derivative. Comparison and Further Results in Their Fokker-Planck Equations[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22:907-925.

[11] WILLIAM A BROCK,DAVID A HSIEH,BLAKE LeBaron.Nonlinear Dynamics,Chaos and Instability:Statistics Theory and Economic Evidence[M].Boston:The MIT Press,1991.

[12] BERAN J.Statistics for Long-memory Processes on Monographs on Statistics and Applied Probability[M].London: Chapman Hall,1994.

Relations of Fractional Brownian Motion and Hurst Exponent

NIU Feng-gao1,LIU Wei-qi1,2
(1.School of Mathematical Science,S hanxi University,Taiyuan030006,China; 2.School of Management,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We discussed the theoretical foundation of theR/Sanalysis,that were related Hurst Exponent to self-correlation and self-similarity of the fractional Brownian motion as well as autocorrelation index,selfsimilarity,long memory of the fractional Gaussian noise series.These are verified that fractional Brownian motion is not Markov processes in caseH≠1/2,as well as Hurst index is same as its self-similarity index. The relationship between the long memory Fractional Gaussian noise and Hurst Exponent is obtained, which can determine whether there is a long memory of the sequence via Hurst index.

Hurst exponent;fractional Gaussian Noise;fractional Brownian Motion;self similar

O211.6

A

0253-2395(2010)03-0380-04

2010-03-25;

2010-04-02

山西省高校人文社科重点研究基地项目(20083006)

牛奉高(1980-),男,山西晋城人,助教,理学硕士,主要从事概率统计的研究.E-mail:nfgao@sxu.edu.cn