矩阵幂级数的收敛性质和应用

孙延彬

（平顶山学院团委 河南平顶山 467000）

矩阵幂级数的收敛性质和应用

孙延彬

（平顶山学院团委 河南平顶山 467000）

根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质，运用类比的推理方法，在已知知识的基础上，验证并总结了矩阵幂级数的部分相应的收敛性质。

矩阵幂级数；范数；收敛性质

作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。其中矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问题时，也有着重要的应用。目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵幂级数的收敛性质和应用。

1.范数的定义和有关性质

定义 1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：

（2）2-范数 也称为欧氏范数；

定义1.4 对于任何一个矩阵 A ∈ Cm×n，用表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：

2.矩阵序列的收敛性质

另外矩阵序列还有以下性质：

（1）一个收敛矩阵序列的极限是惟一的；

证明：设A的Jordan标准形为J，则存在可逆矩阵P，使得或于：

Ak显然，的充要条件是又因：

3.矩阵级数的收敛性质

由矩阵级数收敛性定义很容易得出以下性质：

证明：设J是A的Jordan标准形，则：

所以：

其中：

4.应用

[1]北京大学数学系代数[M].高等教育出版社，1988.

[2]史荣昌.矩阵分析[M].北京理工大学出版社，2005.

[3]张凯院，徐仲.矩阵论[M].西北工业大学出版社，2004.

[4]刘丁西.矩阵分析[M].同济大学出版社，2003.

[5]罗家洪.矩阵分析引论[M].华南理工大学出版社，2000.

[6]林金火.矩阵幂级数的收敛性质[J].荆门职业技术学院学报，2007.

[7]Horn R A，Johnson C R. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press，1985.

The convergence property and apply of the matrix power series

According to the definition of matrix power series and the convergence property of the power series, using the type compare method, on the basis of original knowledge, the thesis summarized and verified part convergence properties of the matrix power series.

matrix power series; norm; convergence property

孙延彬（1982-），硕士研究生，平顶山学院团委助教。

2010-03-27