勾股新证——岳麓书院藏秦简《数》的相关研究

肖 灿 朱汉民

(湖南大学 岳麓书院,长沙 410082)

勾股新证
——岳麓书院藏秦简《数》的相关研究

肖 灿 朱汉民

(湖南大学 岳麓书院,长沙 410082)

岳麓书院藏秦简《数》里有一道“圆材薶地”算题,与《九章算术》“勾股”章第九题相同,这说明了《九章算术》“勾股”章的内容在先秦数学著作中就有渊源,它为我们了解先秦 (或至迟秦朝)时代这类算法的情况提供了时代确切的直接材料。另外还有第二种可能性,即在《数》成书时,解答此题或可能是利用了相似直角三角形对应边成比例的性质。

秦简 《数》 勾股

岳麓书院藏秦简《数》中有一例算题“圆材薶地”非常重要,为我们了解先秦 (或至迟秦朝)时代这类算法的情况提供了确切的材料。原简释文是：

□有圆材薶 (埋)地,不智 (知)小大,斲之,入材一寸而得平一尺,问材周大几可(何)。即曰,半平得五寸,令相乘也,以深【0304简】一寸为法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材径也【0457简】。①原竹简首字残缺,2009年发表的文章中补为“[今 ]有……”,现将残字仍记为“□”。参见：肖灿、朱汉民《岳麓书院藏秦简〈数〉的主要内容及历史价值》(《中国史研究》,2009年第 3期,第 47页)和朱汉民、肖灿《从岳麓书院藏秦简〈数〉看周秦之际的几何学成就》(《中国史研究》,2009年第 3期,第 57页)。

在已知的出土简牍数学文献中,没有见到过类似的算题,而在传世文献《九章算术》里则有一例相同的算题,即《九章算术》“勾股”章第九题：

今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何。答曰,材径二尺六寸。术曰,半锯道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材径。

比较两道算题,如果忽略题设情景的描述以及语言表达的差别,只从条件、数据、解题方法几方面考察,则两题完全一样,可视为同一题;只是《九章算术》最终要求的是直径,而《数》最终求的是周长,要通过先求直径来达到目的。基于此,我们认为《数》所收录的这道“圆材薶地”算题直接说明了《九章算术》里“勾股”章的内容在先秦数学著作中就有渊源,此题为我们研究勾股定理在先秦时期被应用的情况提供了新材料。

下面我们将要述及的内容是：一,对算题的形成年代的推测;二,分析算题简文叙述的算法所运用的数学原理;三,基于对此算题的分析结果来讨论勾股定理在先秦的应用情况以及此题与《九章算术》“勾股”章算题的关联。

1 算题的形成年代

首先毫无疑问的是,“圆材薶地”算题的形成年代不迟于《数》的抄书年代。陈松长根据岳麓书院秦简中的《质日》所记载的信息推断这批简的抄写年代下限是秦始皇三十五年 (公元前 212年)[1],《数》的抄书年代自然也符合这一下限,也就是说“圆材薶地”算题的形成年代下限是公元前 212年。

接下来要讨论这道算题的形成年代上限。我们推测,这道算题的形成年代已经不是“学在官府”的时代,而是“礼崩乐坏、学术下移”的春秋战国时代 (公元前 722年至公元前221年)。做出这样论断的原因在于算题的表述形式。郭书春指出“‘学在官府’的时代,人们根据官方或权威部门的有关规定,以‘程’起首提出若干数学问题”,表述为“程曰……。今……,问……几何”,待到“‘礼崩乐坏’,学术下移,民间对人们生产、生活中的某些活动的数量关系作了一些约定”,这类数学问题不再用“程”字,而演变为“有……今……问……几何”,以及“今有……问……几何”的表述形式。[2]考察《数》里的算题,也见到一部分以“程……”和“有……”起首提出问题的算题。如“圆材薶地”算题正是用“□有”开头的,表述为“□有……,问……几可 (何)”的形式,这说明此题可能出现于春秋战国时代,形成年代上限就该在公元前 8世纪中叶。但是彭浩认为此说可疑,他指出,秦汉时期的著作中常见“程”字的这种用法,故不可以此作为断代的依据。我们以为,秦汉时期的著作当然可以延用“程”的表述,但不用“程”字起首而用“今有”、“有”的情况最早应该出现在春秋战国时代,因此“圆材薶地”算题可能的最早形成年代就是春秋战国时代,当然也可能形成于年代上限与下限之间的某一时期。另外,在确定此题的形成年代时,还需考虑此题涉及的算法和数学原理最早出现在什么年代。

2 算题简文叙述的解题方法的数学原理

考察算题简文叙述的解题方法：“……即曰,半平得五寸,令相乘也,以深一寸为法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材径也”,将它写为算式：

可以看出,算题简文叙述的只是算法,实际上我们并不能从这样的算法断言它是运用何种数学原理求解的。如果依照现在的数学知识,则无论运用勾股定理、相似三角形相应线段成比例原理,或是圆的相交弦定理,都能推导出上面的算法式。运用圆的相交弦定理求解的可能性可以排除,因为它在中国传统数学中毫无踪迹。因此,当时此题的解答方法只有两种可能：一是运用勾股定理;一是运用相似直角三角形对应边成比例的性质。

第一种方案可以这样来理解问题的解答方法：由于《九章算术》“勾股”章第九题与秦简《数》的这个问题的数值和解法都相同,那么考察前者的解法及其刘徽注是有益的。刘徽注说：“此术以锯道一尺为勾,材径为弦,锯深一寸为股弦差之一半,锯 (道)长是半也”,“亦以半增之,如上术,本当半之,今此皆同半差,不复半也”。刘徽是把此题作为已知勾与股弦差求股、弦的问题来对待的。在此题的注中刘徽没有具体介绍如何求解。但此问题与前面的三个问题“引葭赴岸”、“立木系索”、“依木于垣”同型,而在注“引葭赴岸”、“立木系索”两问题时,刘徽利用勾股定理来解决问题。刘徽对“圆材薶地”的注释思路与其解释“立木系索”相同,可以解释为：以锯道长度、直径与 2倍锯深之差、直径分别为勾、股、弦,为便于理解,分别以它们的一半为勾 a、股 b、弦 c。令正方形 ABCD为弦幂 (c2),正方形 EBHJ为股幂 (b2),那么利用勾股定理,勾的平方 (a2)=弦的平方 (c2)-股的平方(b2)=正方形 ABCD-正方形 EBHJ=曲尺形 AEJHCD(矩幂),它可以化为以股弦差 (cb)为宽 (DF),以股弦并 (b+c)为长 (AG+CD)的长方形 (图 1)。因此,勾的平方 (a2)=股弦差 (c-b)×股弦并 (b+c),由此可知,勾的平方除以股弦差就得到股弦并,即 b+c=a2/(c-b),再加上锯深 (c-b),就是半径的 2倍 (2c)即直径。

图1 刘徽的解题方法

刘徽对这个问题的解法所作的注用到勾股定理和出入相补原理。

在传世文献中,勾股定理最早见《周髀算经》。书中记载西周初年数学家商高在回答周公的问题时说:“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。……故禹之所以治天下者,此数之所生也”([3],10—11页)。商高不仅提到勾三、股四、弦五的勾股定理之特例,而且还提到大禹治水就运用了勾股术。书中又记载另一个数学家陈子给出了一个方法,由太阳的高度、太阳在地面的正下方位置到观测者的距离来计算太阳到观测者的距离:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日”([3],20页)。这段话说明“陈子不是凑数而是确实知道普遍的勾股定理并且知道开平方法,即 c”[4]。陈子活动的年代,科学史家根据天象记录,拟定为公元前 7至公元前 5世纪之间,最迟不晚于公元前 4世纪[5—7]。由于出入相补原理是最直观、简单的原理,它在中国古代数学推导几何算法中是一个行之有效的基本方法,这个方法在春秋战国时代已经运用,因此前人推论中国人在先秦时期就利用这一原理推导和认识了普遍的勾股定理[4]。

这一观点和秦简《数》“圆材薶地”问题正好可以互相发明。先秦已认识勾股定理和出入相补原理,说明先秦能提出并解决“圆材薶地”问题决非偶然,当时存在处理这类问题的理论和方法;刘徽利用勾股定理和出入相补原理来解释这一问题的算法,其具体细节可能有出入,但体现了一种渊源有自的数学传统。秦简《数》记录这一问题,不仅说明《九章算术》的这个问题有着更早的来源,而且它的时间下限为中国人在先秦就认识了勾股定理 (更不用说出入相补原理)的观点提供了更明确和直接的支持。

另外,对于“圆材薶地”算题的解答,我们还考虑过第二种可能性,即当时人们有可能利用相似直角三角形对应边成比例的性质解题。如图 2所示,因为 Rt△ABC与 Rt△CBE及 Rt△ACE相似,如果利用相似直角三角形对应边成比例的性质,也很容易得出“圆材薶地”算题简文叙述的算法式。

我们之所以这样推测,是因为西周初年商高至少已认识到有一个公共角的相似直角三角形对应边成比例的性质,而春秋战国时期则认识了直角三角形对应边成比例的一般性质 ([8],505—506页)。《周髀算经》记载：“商高曰,平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远。环矩以为圆,合矩以为方”([3],17页)。商高说的“偃矩以望高”,按钱宝琮先生的意见可以解释如下：矩尺 ABC,待测高度 EF,视线 AF,交点 D(如图 3)。那么 EF=BD ×AE÷AB,这是由 Rt△ABD相似于 Rt△AEF,依据比例关系得出的。其实《九章算术》第 9章的第 17题到第 24题也都是测量问题,也完全可以运用相似直角三角形相应线段成比例的原理解答。如若再考察世界数学史,不难发现,在欧几里得 (Euclid)《几何原本》(Elem ents)第 6篇里,就是利用第 5篇的比例理论来讨论相似形的。可见,利用比例来认识相似形,是很自然的思维发展过程。先秦数学中对比例原理的运用已经达到了很高的水平,当时人们有可能把比例观念运用到某些相似几何图形如直角三角形上,通过两个直角三角形在一定条件下相应线段之间存在比例关系的原理来解决问题 ([8],115—120、501—506页)。再有,《周髀算经》里商高说的“环矩以为圆”可能就是圆的内切直角三角形的概念,也就说明当时人们已经知道了直径所对的圆周角为直角的性质[9]。既然“相似直角三角形对应边成比例”的性质和“直径所对的圆周角为直角”的性质都可能是已知的,那么图 2所示的解答方法也就有可能被运用,或者说不能完全排除这种可能。当然,由于上述图 2中的直角三角形相似,要基于一些在中国传统数学中难以找到根据的几何原理 (如同弧所对的圆周角相等,或直角三角形两锐角之和为一直角),所以,我们认为第二种推测只是一种可能性很小的复原方案。

图2 用相似三角形解题

图3 矩尺测高

3 由算题引出的关于勾股、旁要、《九章算术》的推论

其实我们推测的两种解题思路之间是有联系的。在中国古代数学中,人们认识相似直角三角形对应边成比例的性质和勾股定理的时间都很早。钱宝琮[10]和刘钝[11]都认为“从旁要取”来测量的《九章算术》“勾股”章的最后八个问题,可能是古代的旁要,这些问题用到的相似直角三角形对应边成比例的性质,是中国古代“旁要”术的实质。关于“旁要”,韩祥林有过论证：“‘旁要’就是利用直角三角形中所容正方形或矩形 (腰)两边 (旁)的两个小勾股形对应边成比例,来进行间接测量”,“旁要、重差、夕桀都是我国古代的测量术,其实质皆为相似勾股形”[12]。也就是说“旁要”术利用了相似直角三角形对应边成比例这一性质。《数》的“圆材薶地”算题虽然不是“勾股容方”的典型“旁要”问题,但如按上述第二种方案,它却有可能运用了与“旁要”密切相关的相似直角三角形对应边成比例的性质,那么此算题是不是“旁要”的变化运用实例呢?

《数》的“圆材薶地”算题出现于先秦时期,它又出现在《九章算术》的“勾股”章,而“九章”源于“九数”,其中勾股源于旁要,那么《九章算术》的“勾股”章所收录的算题,会不会包含一些原先是运用“旁要”解答的算题?如果“圆材薶地”算题原属于旁要,那么汉编《九章》把它纳入“勾股”也是可能的。

以上关于“旁要”的说法多是猜测,应该说《数》的“圆材薶地”算题最可能是勾股问题。由于在张家山汉简《算数书》里,没有发现“勾股”类算题,而《算数书》的成书时代在《九章算术》之前,所以有学者认为《九章算术》里“勾股”章的形成时间比较晚,是在《算数书》出现之后才逐步完成的。现在《数》的“圆材薶地”算题说明了勾股问题已出现在先秦时期的数学著作里,算题也较复杂,需要熟练地将勾股定理变化运用。但是在《数》里我们只见到这一个算题属于勾股问题,所以也不能说《数》里已形成“勾股”章。至于《九章算术》里“勾股”章的第九题,也不一定是摘录改编自《数》的“圆材薶地”算题,可能只是有相同的源头。迄今,我们虽已发现《数》的许多算题与《九章算术》的算题相同或近似,但仍不能说《数》对《九章算术》产生了直接影响。关于《九章算术》的成书问题,郭书春已提出一些证据说明《九章算术》的主要内容成于先秦[13,14]。邹大海则更详细、更充分地论述了《九章算术》的主要内容和方法形成于先秦[8,15,16]。在汉编《九章算术》之前,一定存在很多数学著作,张家山汉简《算数书》只是其中的一种,它对《九章算术》没有直接的影响[17,18]。秦简《数》支持这一意见。类似地,正因为在汉《九章算术》之前一定存在很多数学著作,不能仅凭《数》与《九章算术》有一些相同的算题就断言两者有直接的关联,这个问题很复杂,还需进一步研究。

致 谢本文写作得到中国科学院自然科学史研究所郭书春教授、邹大海教授,湖北省荆州博物馆彭浩教授的指导。

1 陈松长.岳麓书院藏秦简内容综述[J].文物,2009,(3)：75—78.

2 郭书春.试论《算数书》的理论贡献与编纂[A].法国汉学[C].第 6辑.北京：中华书局,2002.505—537.

3 钱宝琮校点.算经十书·周髀算经[A].李俨钱宝琮科学史全集[Z].第 4卷.沈阳：辽宁教育出版社,1998.

4 邹大海.从先秦文献和《算数书》看出入相补原理的早期应用[J].中国文化研究,2004,(冬之卷)：52—60.

5 章鸿钊.周髀算经上之勾股普遍定理：“陈子定理”[J].中国数学杂志,1951,1(1)：13—15.

6 梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社,1981.331—332.

7 席泽宗,程贞一.陈子模型和早期对于太阳的测量[A].古新星新表与科学史探索[C].西安：陕西师范大学出版社,2002.426—435.

8 邹大海.中国数学的兴起与先秦数学[M].石家庄：河北科学技术出版社,2001.

9 李俨.中国数学大纲[A].李俨钱宝琮科学史全集[C].第 3卷.沈阳：辽宁省教育出版社,1998.22.

10 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社,1981.44—45.

11 刘钝.大哉言数[M].沈阳：辽宁教育出版社,1995.404.

12 韩祥林.“旁要、夕桀、重差”释义[J].曲阜师范大学学报 (自然科学版),2001,27(1)：106—108.

13 郭书春.古代世界数学泰斗刘徽[M].济南：山东科学技术出版社,1992.98—105.

14 郭书春.张苍与《九章算术》[A].刘钝,韩琦等.科史薪传——庆祝杜石然先生从事科学史研究 40周年学术论文集[C].沈阳：辽宁教育出版社,1997.112—121.

15 邹大海.出土《算数书》初探[J].自然科学史研究,2001,20(3)：193—205.

16 邹大海.睡虎地秦简与先秦数学[J].考古,2005,(6)：57—65.

17 邹大海.从《算数书》与《九章算术》的关系看算法式数学文献在上古时代的流传[J].赣南师范学院学报,2004,(6)：7—10.

18 邹大海.出土简牍与中国早期数学史[J].人文与社会,2008,2(2)：71—98.

Abstract This article analyzes a problem in Qin bamboo manuscripts on mathematics,Shu,collected by the Yuelu Academy of Hunan University in Changsha.The problem is about how to calculate the diameter of a buried log.It is interesting that the same problem can be found inthe N ine Chapters on M athematical Procedureswhich is the most important of all ancient Chinese mathematical texts.After analysis,this problem is believed to be documentary evidence showing that the ancient Chinese were aware of a particular case of the Pythagorean Theorem.And the article speculates the mid-8th century BC to be the earliest date of this Pythagorean Theorem problem.But it still have doubts about the problem. It is also possibly associated with another mathematical principle,that corresponding sides of two similar right triangles are proportional.

Key words Qin bamboo Manuscripts on Mathematics,Shu,the Pythagorean theorem

A Pythagorean Theorem Problem in Qin BambooManuscripts on Mathematics,Shu,Collected by Yuelu Academy

X IAO Can,ZHU Hanmin
(Yuelu Academy,Hunan University,Changsha410082,China)

N092∶O112

A

1000-0224(2010)03-0313-06

2009-03-17;

2010-04-26

肖灿,1976年生,湖南湘潭人,湖南大学岳麓书院博士生,讲师,研究方向：中国思想文化史;朱汉

民,1954年生,湖南邵阳人,湖南大学岳麓书院教授、博士生导师,主要研究方向：中国思想文化史。

国家社会科学基金项目《岳麓书院藏秦简的整理与研究》(批准号：09BZS001)