关于实对称带状矩阵逆特征值问题拟Lanczos算法的改进

李杰红,王 成

(1.天津科技大学理学院,天津 300222;2.唐山学院基础教学部,河北唐山 063000)

关于实对称带状矩阵逆特征值问题拟Lanczos算法的改进

李杰红1,王 成2

(1.天津科技大学理学院,天津 300222;2.唐山学院基础教学部,河北唐山 063000)

关于实对称带状矩阵的逆特征值问题,文章对拟Lanczos算法给出了一点改进,通过实际计算验证,该算法简单且数值稳定。

特征值;逆问题;拟Lanczos算法

1 问题的提出

1977年D.Boley和G.H.Golub提出了关于该问题的块Lanczos算法,此算法首先由矩阵A的p+1个有关的顺序主子矩阵的特征值来确定A的标准化的特征向量的前p列的分量,再用块Lanczos算法计算出矩阵A,该算法要求矩阵的半带宽 p能整除矩阵的阶数n,以及隔离条件(Ⅰ)成立。

对于这个问题,1985年殷庆祥在第一届逆特征值会议上提出了“关于实对称矩阵的逆特征值问题的拟Lanczos算法”[1],文中取消了块Lanczos算法的第一个要求,但保留了第二个要求,就 p=2(即五对角矩阵)满足隔离条件(Ⅱ),且p能整除n的情况给予了问题存在的证明。本文将这个问题进行扩展,即在隔离条件满足(Ⅰ)、取消 p能整除n的条件下给出问题解存在性的证明。

2 主要结论

定理 设J为n阶实对称矩阵,X为n阶正交矩阵,若A= XTJX为带宽是2p+1的实对称带状矩阵,且其最外超对角元素为正,则A和X由J和X的前p列(或后p列)唯一决定。

证明 记 X=(x1,x2,…,xn),其中 xi=(qi1,qi2,…, qin),i=1,2,…n。

其中A的第 j列为Aj=(0,…,ai-p,j,…,ajj,…,aj+p,j,…,0)T。

比较(1)式两端的第 j列,得

这里规定 xj=0。当 j>n或 j≤0时,aj-p,j=0,j-p≤0。然后利用 X列的单位正交性得

对上式两边取范数得

aj+p,j= ‖rj‖2,xj+p=rj/aj+p,其中 j=1,2,…,n。

因此,由 X的前 p列 x1,x2,…,xp可唯一决定a11,a21,…,ap1,由于 j=1时,aj-1,j,…,aj-p,j均为0,故 r1已知,这样 ap+1,1,xp+1可唯一决定,一般地,由式(3)可唯一决定 ajj, aj+1,j,…,aj+p,j,xj+p,因此 X,A的全部元素可由 X的前 p列和J唯一决定。证毕。

理论上讲,由式(3)计算出来的 xj(j=1,2,…,n)应该是正交的,但是由于舍入误差的影响,向量可能会失去正交性,因此,同块Lanczos算法、拟Lanczos算法一样,重正交化过程常常是必须的,因此该问题还有待进一步完善。另外一般的提法是指定了矩阵A的顺序主子矩阵A(k)=(aij),(i,j =k,…,n)的特征值,而在本文中使用的是A的倒顺序主子阵A(k)=(aij),(i,j=k,…,n)的特征值,因此,在利用本算法后,为了和一般的提法相符合,还要用矩阵对本文所求矩阵做相似变换。

3 结语

由于块Lanczos算法、拟Lanczos算法在本文的定理中都要求所求带状矩阵的最外超对角元素为正,这一条件我们认为太强,经过尝试,可以把该条件放宽为:所求带状矩阵的最外超对角元素非负。因此该问题还有待进一步完善。

[1] 殷庆祥.实对称带状矩阵特征值反问题的拟Lanczos方法[J].高等学校计算数学学报,1989,8(1):65-73.

(责任编校:李秀荣)

On the Im proved Algorithm of Quasi-Lanczos of the Inverse Problem for Real Symmetric Band Matrix

LIjie-hong1,WANG Cheng2
(1.College of Sciences Tianjin University of Science&Technology,Tianjin 300222,China;2.Tangshan College, Tangshan 063000,China)

This paper attempts to imp rove Quasi-Lanczos of the inverse problem for real symmetric band matrix which can be applied to all cases and this algorithm is simple with stable numerical value.

eigenvalues;inverse problem;Quasi-Lanczos algorithm

O241.6

A

1672-349X(2010)06-0022-01

2010-09-22

李杰红(1970-),女,副教授,主要从事计算数学方面的研究。