关于正态分布，偏态分布的等距分组

贾振声

（重庆三峡学院经管学院，重庆万州404000）

关于正态分布，偏态分布的等距分组

贾振声

（重庆三峡学院经管学院，重庆万州404000）

一组数据进行等距分组，到底分多少组？为此我们对正态分布进行研究，通过公式得出了计算分组的算法.

均值 方差 拟合函数 全距 四分之一距

各种统计方面的书，在讨论等距分组的时候，对经验公式或者只把它当作参考，或者干脆不用.原因是经验公式，组距只与数据个数有关，而与数据拟合的函数形状无关.

对服从正态分布的数列，我们进行了研究,得出求组距的方法,这个方法简单适用.其次，推出的公式对偏态分布也适用.

1 直方图及组距的上界

1.1 直方图

（1）观测量x1，x2，…,xN；找出其最小值x*1和最大值

R为全距.一般的l≥2，即分组，分5个组或5个组以上.d-c记为

我们把R*叫做闭全距.

分布数列呈钟形分布，表现对称分布.设对称轴x＝μ，它拟合的密度函数为

根据样本值的情况，将其分为2i＋1组，各组的范围为

并记mi为区间

内的样本数，i＝0，1,…,l

作表

此表称为样本分组频数分布表.显然

得到的直方图见图1.

图1 直方图

且有

取对数：

得

由此等式

这里a取极大值，应满足的条件：

a取一般值可写为：

（1）两边同乘以2得：

又

进而有

即

当然有

定理1一组数据呈正态分布，它拟合得密度为单调递减的函数.l固定，S有极大值，而没有极小值对a求偏导：

已知闭全距为R*，等距分类，组距极大值满足（1）.

1.2 由等式（1）推导a的上界

由直方图，共2l＋1个；Si（0，1,…,2l）中，所有数据分布在内，99.7%分布在（μ－3σ，μ＋3σ）内.所以有

因为l≥2，故

进一步

又因为（1），又有

当l≥3时，有

当l≥4时，有

2 主要定理的证明

2.1 定义

定义3N个数据分布R*上表示每个数据所占平均距离.

2.2 主要定理的证明

E.贝肯巴赫所著《不等式入门》，有些不等式我们常用，故作为一个引理.

引理2N个数据依正态分布，R*是闭全距，每个数据所占的平均距离为.则有i，使得

定理1一列正态分布的数列，则至少有2个相似区间.

证明依引理2，有

定理2正态分布的树立在中存在一个相似区间，这里a表示组距.

所以M内有一个相似区间.由于对称性还有一个相似区间.

3 利用定理3,可找出求组距方法

1）把资料从小到大排列.并计算资料组的平均数μ，方差σ.

2）求出闭的全距R*并计算

3）s1…sn个数分别为.不妨设满足

5）一份资料分组的时候，应注意组与组的衔接.衔接好了，体现整体的趋势.设数据链为：b0≤b1≤…≤bn≤bn+1…其中一组包括了b1，b2，bn，如何截取才能使这一段嵌入数据链中去呢？我们规定：这一组应包括在（a，c）内，其中：

6）若遇到偏态分布，也用上面的方法处理，也不过作两次，可参看下列例子.

4 例子

对城市居民的家庭生活情况抽样调查，得到54户家庭人均月收入的资料.

1） 已排列的54户家庭人均月收入资料

本组资料最小值为810，最大值为2380.本组资料均值

c＝800，d＝2400，闭全距为

2）因为它不是完全对称，分成两个步骤.从800到1497.2共有27个数据，27个数据之间的平均距离

这13个点每个点所占平均距离，应考虑区间为

说明选相似区间时，向右倾斜.所以在下面的讨论中删去990.

等价于：

进一步我们可以确定：1148.6右边的点至多是2个点.即1160,1200

若不然，右边有3个点，那么左边的点必须有3×2.45＝7.35个点才能平衡，而这是不能的.

因为左边的点共有6个点：1050,1070,1080, 1100,1120,1120

不难发现在（1020，1220）内共有8个数据，它们是：1050,1070,1080,1100,1120,1120,1160 1200.

故（1020，1220）为相似区间.S＝8,a可选200.

5）令y＝x－μ从1497.2到2400，共有27个数据，27个数据之间平均距离:

半全距

而这个点在资料数据中没有,所以叫做虚坐标，它位于1940与1970之间.

不难看出在1800～2000之间共有六个数据，1840,1860,1870,1880,1940,1970，

它与F2＝33.4相似（F′2≈F2）.

故1800～2000之间的六个数据组成相似区间.S＝6.相似区间应选（1805～2015），可结合取整的方式进行可选（1800～2000）.此种方法已被多数人认可.

7）设a′为组距，那么6×33.4＝200.4,为a′的估值.而a′的上界为

a′取值为200.

总之：由上面的结论.取200.通过进一步整理，得到分布数列：

表1 某市居民家庭人均月生活费收入次数分布表

[1]E.贝肯巴赫,R.贝尔曼.不等式入门[M].北京:北京大学出版社,1985:23.

[2]谢启南,韩兆洲.统计学原理[M].6版.广州:暨南大学出版社,1991:53-64.

[3]吴传生.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2004:128-144.

Abstract：Because of thinking only the number of data but not fitting function，we would be adequate to take a farther afield when calculating group data with empirical formula.We have proved the three theorems based on studying the normal distribution，and then reach the conclusion there is a better method to do the same work.The method is simpler and more practical than empirical method and also work well with any skewed distribution.

key words:mean value;variance;fitting fuction;vange;quarter range

〔编辑 高海〕

The Isometric Group about Normal and the Skewed Distribution

JIA Zhen-sheng
(School of Economical Trade，Chongqing Three Gorges University，Chongqing,404000)

O213

A

1674-0874(2010)05-0005-05

2010-01-25

贾振声（1952－），男，河北徐水人，教授，硕士生导师，研究方向：数理统计.