高等数学中配项法的应用研究

张洁萍

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

高等数学中配项法的应用研究

张洁萍

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

采用列举法探讨了配项法在求函数极限、不定积分和函数展开成幂级数等方面的应用，揭示了配项法在高等数学中的应用技巧，为配项法的应用提供了一种新的思路.

配项法 函数极限 不定积分 幂级数

配项法，即代数式中原本没有某项，但是为了在求解问题的过程中利用某公式、某定理、某结论，从而将代数式加上某项然后再减去某项，或者是乘以某项再除以某项，是解题中一种目的明确的变形技巧[1-2]，有些题利用配项法甚至可以简化计算过程.高等数学中有很多问题从形式上看让人无处下手，但是只要能巧妙地使用配项法，就会迎刃而解，能起到事半功倍的效果.接下来从以下三方面研究配项法在高等数学中的应用.

1 配项法在函数极限中的应用

配项法在函数极限中的应用并不陌生，比如用ε-δ语言定义证明，就需要通过适当的配项，设法在式子中保留｜x-x0｜，以利用｜x-x0｜<δ来得到｜f(x)-A｜<ε的结论.此外，配项法在函数极限的一些证明题和求解函数极限的问题中也有巧妙的应用[3-4],下面举例加以说明.

分析：本题前后两式形式差异不大，经过观察分析，通过应用配项法使两式联系起来，则很容易使本题得证.

证明先证充分性：

应用配项法可得到如下等式：

所以

再证必要性：

应用配项法可得到：

所以

分析：本题中的函数比较复杂，无法利用函数连续性以及极限的四则运算法则等来求解，但是观察到,这样对乘除配项，使之向两个重要极限的形式转化，再进一步求其极限.

2 配项法在求不定积分中的应用

求不定积分的方法主要有换元法和分部积分法.在计算过程中，这些方法往往需要和配项法相结合，使所求不定积分化为基本积分公式型积分，从而使问题简化[5].

分析：根据被积函数的形式，若要凑成ex的微分，则要对被积函数乘除配项，即被积函数乘以ex，再除以ex.

分析：本题是关于三角函数有理式的积分，可以利用代换使之转化为有理函数的积分，虽然可进一步求得其解，但是计算过程比较繁琐，重新审视被积函数，如果将分子应用配项法使之凑成分母和分母导数的线性组合，则可以很容易求得其解.

3 配项法在函数展开成幂级数中的应用

函数展开成幂级数的方法有直接法和间接法，用直接法将函数展开成幂级数计算量很大，所以通常我们用间接法将函数展开成幂级数，也就是根据已经证实的函数展开式，获得所求函数的展开式.这就需要对所给函数进行配项，使之转化成已经证实的函数[6-7].

而

所以有

得到

分析：观察本题中f(x)的结构特点，我们想到用乘除配项法来使f(x)转化为有利于求解的结构形式，即f(x)乘以(1-x2)再除以(1-x2)，进而利用 1 1-x=来求解.

解：当｜x｜≠1时，应用配项法可得到

从而可得到

4 结语

本文列举了配项法在求函数极限、不定积分和函数展开成幂级数中的应用，其实配项法的应用贯穿于整个高等数学的内容中[8-10]，面对众多原本复杂的问题，恰当使用配项法，可以巧妙地将其解答，从这点看，熟练掌握配项法在高等数学的学习中显得尤为重要.

[1]李晓萍.配项与凑微分法的巧妙应用[J].高等数学研究,2006,9(1):49-51.

[2]钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究[M].北京:科学出版社,1994:133-139.

[3]宋砚.求极限的常用方法[J].内蒙古民族大学学报,2008,14(2):4-5.

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[5]张霞.一类有理函数积分的简单方法[J].中国科技信息,2009(23):56.

[6]高宗升,孙道椿,王敏.关于两类幂级数系数的重排[J].数学物理学报,2002,22 A(1):91-98.

[7]方汉铭.关于一个函数展开成幂级数的若干解法[J].高等数学研究,2006,9(3):43-46.

[8]张建元.复变函数的K-积分[J].云南师范大学学报,2009,29(1):28-32.

[9]杨必成.一个反向的Hardy-Hilbert积分不等式[J].吉林大学学报,2004,42(4):489-493.

[10]刘华.关于变上限积分所确定的复合函数的若干性质与应用探讨[J].齐齐哈尔大学学报,2010,26(1):81-84.

Abstract:This paper,studying application of matching item in limit of function,indefinite integral and positive series by using listing technique in this paper,presents the acrobatics about the application of matching item,and offers the new thinking in the application of matching item.

Key words:matching item;limit of function;indefinite integral;positive series

〔编辑 高海〕

A Study on the Application of Matching Item in Higher Mathematics

ZHANG Jie-ping
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O13

A

1674-0874(2010)05-0013-03

2010-06-06

张洁萍(1982-)，女，山西定襄人，硕士，助教，研究方向：应用数学.