试论数学危机与数学的发展①

宋述刚 谢作喜

(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

试论数学危机与数学的发展①

宋述刚 谢作喜

(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

数学这门学科始终围绕着数与形而展开。数学的发展并非一帆风顺,而是处处充满了危机。数学在其发展过程中经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景,分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用,对了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。

数学危机;毕达哥拉斯学派;微积分;集合论

一、引言

数学这门学科始终围绕着数与形而展开。在人类文明的早期,人们开始认识自然数、整数、有理数,正方形、三角形、一般直线形以及特殊的曲线形如圆、椭圆、抛物线等。数与形已有初步的结合。随着文明的进一步发展,人们又认识了无理数、复数乃至于一般抽象集合的元素,而对形的认识,则经历了从可度量的曲线形到一般的图形或空间点集。代数与几何有了更密切的结合。数与形经历了从有限到无限的过程,最终归结为集合,使集合论成为现代数学的基础。

数学的发展并非一帆风顺,而是处处充满了危机。所谓危机,是事物的一种已激化的非解决不可的矛盾,它深刻影响着事物的运动、变化与发展。数学虽然以精确严密著称,但矛盾无处不在,例如正数与负数,有理数与无理数,有限与无限,连续与间断,微分与积分,等等。当数学中的矛盾激化到影响数学的基础时,即产生数学危机。每消除、解决一次数学危机,都会极大地促进数学的飞跃与发展。

数学在其发展过程中,经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景,分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用,对我们了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。

二、第一次数学危机

古希腊文明在人类文明史上具有承前启后的重要作用。古希腊文明可追溯到公元前2000年以前,公元前600年到公元600年为其鼎盛时期。数学,特别是几何学在古希腊文明早期还孕育在哲学的母体之内。古希腊有一个著名的毕达哥拉斯学派,他们重视对自然与社会的理性研究,把几何、算术、天文、音乐称为四艺,追求宇宙的和谐及其规律性。这个学派的哲学观是“万物皆数”,他们认为整数是上帝创造的,整数与整数之比是人创造的,世间万事万物都可以归结为整数或整数之比。显然,他们的认识局限于有理数范围之内。

毕达哥拉斯学派对数学作出了杰出贡献,成就之一是发现了勾股定理(中国古代发现此定理较之更早)。在西方这一定理被称为毕达哥拉斯定理,也被认为是最美的数学定理之一。传说为了庆祝此发现,毕达哥拉斯学派曾举办过“百牛宴”。但正是由于此定理的发现,该学派的一名成员希帕索斯(Hippasus)发现了另一个惊人的事实:两直角边都为1的直角三角形的斜边不能归结为整数之比!这可反证如下:假设斜边为,其中m,n互素,则m,n至少有一个是奇数。由勾股定理,有

可得m2=2n2,则m必为偶数,将m=2k代入,又得n2=2k2,则n也必为偶数,矛盾。有可能毕达哥拉斯本人就发现了这一事实,但因它违背了该学派的哲学信条,使得毕达哥拉斯保持了沉默。不幸的是,希帕索斯却因为这一发现,被同伴抛进了大海,成为史上第一个为科学献身的人。

万物皆数在几何上表现为任意两条线段都可以公度。希帕索斯发现直角边都为1的直角三角形的斜边与直角边不可公度,也就是发现了无理数。由于毕达哥拉斯学派的巨大影响以及几何学在古希腊的崇高地位,无理数的发现在当时的古希腊学术界产生了极大震动,从而形成了第一次数学危机。

第一次数学危机揭示了无理数的存在,涉及到了无限与无限过程,遗憾的是,古希腊人并没有马上认可无理数,而是将其归结为几何量之比,对无限也是敬而远之。大约在一个世纪之后,才由毕达哥拉斯学派成员的学生欧多克斯(Eudoxus)提出新的比例理论而暂时消除危机。尽管这样,第一次数学危机给人们警示:直觉与经验并不可靠。只有通过推理证明了的结论才是可靠的。从此,希腊的哲学家、数学家纷纷对宇宙展开理性的研究与讨论:伊利亚学派的芝诺(Zeno)提出了四个著名的悖论;德谟克里特(Democritus)建立了原子论;特别是稍晚的亚里士多德(Aristotle),被称为古希腊百科全书式的人物,创立了古典逻辑学。这些理论极大地促进了演绎数学的发展。受柏拉图(Plato)、亚里士多德的影响,欧几里得(Euclid)首次在数学中运用公理方法撰写了《几何原本》等数学著作,建立了欧氏几何学,最终古希腊成就了初等数学的基本体系。

三、第二次数学危机

随着中世纪的结束与文艺复兴运动的兴起,欧洲近代数学蓬勃发展。17世纪对数的发明促进计算技术的改进,解析几何的诞生带来数学方法的革命,天文学、力学、运动学等自然科学以及资本主义工业生产提出了大量诸如求曲线的切线、运动物体的瞬时速度、函数极值、曲边形面积等初等数学不能解决的实际问题。为了解决这些问题,法国数学家笛卡儿(R.Descartes),费尔马(Fermat),德国天文学家、数学家开普勒(Kepler),意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri),英国数学家巴罗(Barrow)等都进行了研究。终于在17世纪后期,由英国科学家牛顿(Isaac Newton)与德国哲学家莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)创立了微积分理论。

微积分的创立,是数学史也是科学史上的里程碑。一方面,它在数学上的进一步发展形成了近现代的分析数学,包括微分方程、复变函数、微分几何实变函数、泛函分析等。另一方面,它极大地促进了物理学、化学、天文学等自然科学与工程技术的发展。但是,微积分创立之初,其基础很不严格。以牛顿求导数(牛顿称为“流数”)的“首末比方法”为例:

为了求y=xn的导数,首先设x变为x+ο,其中ο是x的增量,牛顿称为“瞬”,ο≠0,则函数增量为…,函数增量与自变量增量构成所谓的“最初比”:nxn-1++…,最后,设增量ο消失,即令ο= 0,得“最终比”即导数为nxn-1。

上述自变量的增量ο到底是0,还是不为0,引起了极大争论,最令人震撼的抨击来自英国哲学家伯克莱(Berkeley)主教,他于1734年发表了小册子《分析学家,或致一位不信神的数学家》,攻击牛顿在流数论中关于无穷小量的混乱假设,同时,对莱布尼兹的微积分也竭力非难,说其中的正确结论是从错误的原理出发通过错误的抵消所获得。虽然伯克莱的攻击主要是出于宗教的动机——保卫基督教教义,但他的许多评判确实切中要害,客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷。这些对微积分基础的怀疑批评甚至攻击,造成了数学史上的第二次危机。

第二次数学危机的出现,也涉及到了无穷与无穷过程。它刺激了牛顿、莱布尼兹之后的数学家们为建立微积分的严格基础而努力。18～19世纪,欧洲的著名数学家如法国的达朗贝尔(J.d’Alembert)、柯西(Cauchy),德国的魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、康托尔(Cantor)为分析的严格化作出了杰出贡献。他们给出了函数、极限的近代概念以及无穷小分析。到19世纪末,形成了建立在实数理论之上的极限理论,为微积分理论奠定了坚实的基础。此外,微积分理论也发展得更加丰富多彩。

四、第三次数学危机

19世纪末20世纪初,以康托尔集合论的建立为标志,数学步入现代数学时期。时至今日,集合论已成为现代数学的基础。

集合论的建立并非一帆风顺,康托尔在研究三角级数的“唯一性点集”时,自然而然地碰到实数“集合”的子集问题。这引导他去考虑一般的集合理论。研究发现,有理数的集合都是可以“数”的,而全体实数则不然,这说明无理数、超越数要比有理数多得多。但康托尔却连一个具体的超越数也未列举出来。此外,集合论中也发现了一些矛盾,这引起当时的一部分数学家的怀疑甚至愤怒。虽然有很多数学家如戴德金(Dedekind)、希尔伯特(Hilbert)的支持,但柏林学派的领袖人物克洛耐克(Kronecker)极力反对集合论,认为只有他研究的数论与代数才可靠。集合论遭遇的冷遇与压力,导致康托尔晚年精神抑郁,1918年1月6日病死在精神病医院。

分析的严格化与集合论的创立,一度使数学家对数学基础变得大为放心。法国大数学家庞加莱(Poincare)在1900年巴黎国际数学家大会上乐观地宣称:“现在我们可以说,完全的严格性已经达到了。”可话音未落,集合论中的悖论就产生了。事实上,康托尔早先就发现了所谓的“最大集合悖论”,但没有引起人们的重视。其后,英国哲学家、数学家罗素(Russell)发现了更为惊人的“理发师悖论”,用集合的语言描述为:将集合分为两类,第一类是集合不是它本身的元素;第二类是集合是它本身的元素。考虑全体第一类集合的集合A,问A到底属于哪一类?如果A∈A,根据定义,A的元素不该属于A,即A∉A;反过来,如果A∉A,同样根据定义,不是它自身元素的集合应该属于第一类,即A∈A。这是一个逻辑矛盾,它仅用了三个集合论最基本的概念:元素、属于、集合。后来,罗素又用理发师悖论来形象地说明:一个乡村理发师,宣称专门给那些不自己刮脸的人刮脸。请问:这个理发师该不该给自己刮脸?

罗素的理发师悖论虽然简单明了,却产生了极大的震动,形成了数学史上的第三次危机。法国数学家弗雷格(Frege)在其当时刚刚完成的数学著作《算术基础》中写道:“一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了,即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃,当这部著作即将付印之际,罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”

为了消除悖论,数学家们首先考虑将康托尔所谓的“朴素集合论”加以公理化。1908年策梅洛(Zermelo)提出了第一个集合论公理系统,后经弗兰克尔(Fraenkel)改进,形成了现在常用的策梅洛—弗兰克尔公理系统(简称ZF系统),它包括外延公理、空集公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无限公理、选择公理、代换公理、正则公理等。此公理体系可以证明:任何集A都有A∉A,一切集合所组成的“集合”不是集合,从而避免了罗素悖论。但是,策梅洛—弗兰克尔公理系统的无矛盾性至今未被证明。任何公理系统都要求具备独立性、相容性(无矛盾性)、完备性。

第三次数学危机引起了哲学家、逻辑学家和数学家的共同关注,用数学的方法研究逻辑以及用逻辑的方法研究数学基础成为20世纪的一个发展方向,形成了数理逻辑学、数学哲学等数学基础方面的现代学科。由于观念的不同,关于数学基础有三大流派:以罗素为代表的逻辑主义、以布劳尔(Brouwer)为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。对于公理系统的相容性,1931年,奥地利数学家哥德尔(Godel)证明了“哥德尔不完全性定理”,说明一个包含自然数算术的公理系统的相容性在该系统内是不可证明的。至此,第三次数学危机逐步淡化。

按照一定的特征,数学这门科学可分为四个部分_:

如果说基础数学与应用数学是开疆拓域的话,数学史与数学基础则是打扫清理战场,并为前者提供思想方法的部分。

[1]胡作玄.第三次数学危机[M].成都:四川人民出版社,1985.

[2]朱梧贾.几何基础与数学基础[M].沈阳:辽宁教育出版社,1987.

[3]张锦文.公理集合论导引[M].北京:科学出版社,1991.

[4]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.

责任编辑 强 琛 E-mail:qiangchen42@163.com

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2010-06-09

宋述刚(1961—),男,湖北荆门人,教授,主要从事函数论及数学史研究。

① 本文属长江大学教学研究项目(J Y2009013)产出论文。