时滞脉冲微分方程解的全局吸引性

陈攀峰

（宿州学院计算机科学与技术系，安徽宿州234000）

时滞脉冲微分方程解的全局吸引性

陈攀峰

（宿州学院计算机科学与技术系，安徽宿州234000）

本文研究一类一般情况时滞脉冲微分方程解的全局吸引性，并得出该方程全局吸引性的结论。

微分方程；时滞；脉冲；全局吸引性

文[1-5]研究了脉冲时滞微分方程解的全局吸引性，本文利用类似的方法研究更具一般形式的脉冲时滞微分方程解的全局吸引性

其中a（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），τ＞0，bk＞-1，k=1，2，3…，0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，且=∞.f（t，u）关于u满足lipschitz条件，当t≠tk时关于t连续，当u=0时，f（t，0）=0；当u≠0时，uf（t，u）＞0.假设函数f（t，φ）满足如下条件

其中p（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），Mt（φ）

定义：若存在x（t）（t∈[-τ，+∞）满足方程（1），且当t≥-τ时，x（t）左连续，当t≥0时，满足方程（1）.则称x（t）为方程（1）的解。

引理1[1]：假设条件（2）成立，且有

则方程（1）的每一最终正解和最终负解都趋于零。

证明与文献[1]中的方法相似。

引理2[1]：假设（2）成立，且有则方程（1）的每个振动解都趋于零。

证明利用文[1]中类似的方法，方程（1）的任一振动解设为x（t），先证x（t）有界。由（6），对∀a∈（1，），存在T1＞0，当t≥T1，t≠tk时，

由（5），∀ε＞0，∃整数N，当n＞N，对于∀m＞0，使同时使得（1＋ε）＜1.取T＝max{ T1，tN}，T0＝min{ t:x（t）＝0，t≥T}.

用反证法，假设x（t）无界，那么存在c＞T0，对∀t≤c时，.不妨设x（c+）＞0.如果x（c）是x（t）的左极大值，由（1）、（2）

又x（c）＞0，x′（c）＞0，所以由（1），存在ξ∈[c-τ，c]，使得x（ξ）=0.且当t∈[ξ，c]时，x（t）≥0；当t∈[ξ，c]，tτ≤ξ，对上述不等式从t-τ到ξ积分，得

对上式从ξ到c积分，结合（7）得

对（9）、（10）分别从ξ到η、η到c积分，得

由上面两式消去x（η），得

化简得（11）。如果x（c）不是x（t）的左极大值，设T0＜tl＜tl+1＜…＜tl+k＜c.此时如果x（tk+l）＜x（c），那么x（t）在x（tk+l，c）内存在最大值并记为，用上述的方法

如果x（tk+l）不是x（t）的左极大值，则有且x（t）在x（tk+l-1，tk+l）内有最大值，记为用上述方法可得（16），

所以

也得（16）。由递推法，最后，如果x（tl）不是左极大值，那么x（t）在（T0，tl）内有最大值设为，易证（16）。

所以

即得（16）。

此外如果x（c+）＝x（c），则由（12）式推得（1+ε）≥1，（16）式推得，均与假设矛盾。

若x（c+）≠x（c），则存在tk，使，即x（c）＝x（tk），x（c+）=（1+bk）x（tk）=（1+bk）x（c）≤（1+ε）x（c），

所以x（t）有界。

从而得

取点列{cn}，满足T′＜c1＜c2＜…，且x（cn）＝0.当t∈[c2i-1，c2i]时，x（t）≥0，当t∈[c2i，c2i＋1]时，x（t）≤0.

于是推出

不妨设c2i-1＜t1＜tl+1＜…tk+l，若x（tk+l）不是左极大值，此时，若在（tk+l－1，tk+l）内有最大值，用上述方法，对（17）式进行处理得

所以（20）成立。利用上述方法递推，最后若x（tl）为x（t）的左极大值，推得

若x（ts）不是x（t）的左极大值，则x（t）在（cwi-1，ts）内最大值为，用上面证x（t）有界方法对（16）式处理得（20），从而

得（20）式。用相似方法讨论xi，可得

k→∞

定理1假设（2）成立，且有

则方程（1）的每个振动解都趋于零。

由引理1，引理2直接得出.

定理2假设（2）成立，且有

则方程（2）的每个振动解都趋于零。

取ε＞0，使a（1+ε）2＜1，又由（26），∃整数N，当n＞N，∀m＞0，使，取T=max{ T1，tN}，记T0=min{ t≥T，x（t）=0}，反设x（t）无界，则存在c＞T0，使t≤T0时，，不妨设x（c+）＞0，用引理2中同样的方法得

若x（c）为x（t）的左极大值，则x（c）＞0，x′（c）≥0，从而存在ξ∈（c-τ，c），使x（ξ）=0，对（9）从ξ到c积分得，若x（c）不是x（t）的左极大值，若x（tk+l）不是x（t）的左极大值，不妨设

用引理（2）的方法可得x（c）≤a（1+ε）x（c+）.另一方面用引理（2）中方法可得，x（c）≤a（1+ε）2x（c+），若x（c）=x（c+），综上有a（1+ε）≥1或a（1+ε）2≥1，均矛盾，故x（t）有界。

这样令lim supx（t）=v，lim infx（t）=u，-∞＜u≤0≤v＜+∞，同样可得（14），（16），所以有

令i→∞，ε→0，得v≤-au，u≤-av，于是v≤-a2u.若v≠0，则a2≥1，矛盾，故v＝0，从而u＝0，所以

下面定理也可以得出一样的结论：定理3假设（2）成立，且有

则方程（1）的每个非振动解都趋于零。

定理4假设（2）成立，且有

则方程（1）的每个非振动解都趋于零。

[1]刘玉记.具有脉冲的时滞微分方程的全局吸引性[J].应用数学，2001，14（3）:13-18.

[2]李迈龙.一类脉冲时滞微分方程的全局吸引性[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2003，16（3）:7～16.

[3]燕居让.非线性脉冲时滞微分方程的全局吸引性[J].山西大学学报（自然科学版），2007，30（2）:129～132.

[4]陈凯，周立新.一类脉冲时滞微分方程的全局吸引性[J].桂林航天工业高等专科学校学报，2005，38（2）:56～57.

[5]侯淑轩，杨殿武.一次时滞微分方程零解的全局吸引性[J].山东建筑工程学院学报，2004（4）:62～64.

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[7]陈凤德，陈晓星，林发兴，史金麟.状态依赖时滞单种群对数模型的正周期[J].福州大学学报自然科学版，2003，31（3）:261-264.

[8]Yoneyama T.On thestability theorem for one dimension delay differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.1987，125:161～173.

Abstract:In this article,we discuss the global attractivity of differential equations with impulses and delays,and some results are derived.

Key words:differential equations；delay；impulse；global attractivity

责任编辑：宏彬

THE GLOBAL ATTRACTIVITY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES AND DELAYS

CHEN Pan-feng
（Department of computer SuzhouCollege,SuzhouAnhui234000）

O175

A

1672－2868（2010）03－0016－07

2010－02-25

安徽省教育厅项目（项目编号：KJ2009B279Z），宿州学院2008年校级教学研究项目（项目编号：szxyjy200802）。

陈攀峰（1977-），女，安徽宿州人。硕士，讲师，研究方向：泛函分析。