高中数学探究实验室整体解决方案

■左传波

1 让技术为数学教育注入强劲的活力

1.1 在国际大环境下，数学越来越受到重视

2006年4月，布什政府签署了总统令：成立国家数学委员会。美国国家数学委员会启动了一个耗资2.5亿美元的数学计划，目标是让小学生拥有坚实的数学基础，提高后进中学生的数学能力，该计划还强调数学是教育成功的关键。2009年6月，奥巴马政府又斥资2.36亿美元，用于美国数学和科学教师的培训，以便能够提高数学教师的能力和素质，从而带动整个美国地区数学教育水平的提高。

1.2 数学教育面临着前所未有的挑战

今日之社会对数学教育无疑提出了比以往任何时代都更高的要求，数学的应用领域极大地拓宽了，应用数学的人群也不仅限于从事理工科工作的人员，更多的人在自己的工作中需要用到数学。然而，由于数学自身的高度抽象性，使得大多数学生无法真正理解数学的本质，只能疲惫于记忆数学的概念、定理和公式，以便应付无法逃避的考试。因此，数学枯燥、数学难学，成为越来越多的青少年对数学最直接的感受。

因此，数学教育以及数学教育的改革成为当今世界各国最为关注的课题。

观察和动手是了解、学习和研究自然现象不可或缺的重要手段。

1.3 技术为数学教育的发展带来了机遇

技术能否使抽象的数学变得更直观、更容易理解？技术能否让数学变得更有趣、更有引力？技术能否提高学生学习数学的兴趣和积极性？技术能否让更多的青少年提高数学成绩？动态几何软件（Dynamic Geometry System）的出现，让这种愿望变成了现实。

过去的10多年间，动态几何软件在数学教育中的作用和价值在全世界范围内得到了充分的肯定与广泛的认可。在我国，从2003年起，教育部在全国20多个省份的近1 000所学校组织了动态几何软件——Z+Z智能教育平台《超级画板》（以下简称“超级画板”），运用于数学课程改革的实验研究项目。大量案例和实验数据显示，超级画板在实施数学新课程的理念、帮助学生理解数学概念、改善学习方式、提高学习数学的兴趣、增强学习数学的积极性、提高数学成绩，尤其是提高数学基础较为薄弱的学生的成绩等方面发挥了积极、显著的作用。

2 数学探究实验室建设的可行性方案

2.1 数学实验

谈到实验，人们比较熟悉的是物理实验、化学实验、生物实验，医学实验、核实验等。而无论在自然科学的研究还是教学活动中，实验都起着重要的作用。

事实上，数学实验对我们来说并不陌生，它也是我们以往学习和研究数学的常见手段。例如，当研究两个三角板是否全等时，我们需要拼组的方式观察它们是否能够重合；当判断7×7，67×67，667×667、6 667×6 667的结果有什么规律时，我们需要首先进行计算。类似这种拼组、计算的操作过程都属于数学实验。

2.2 技术的发展让数学实验的日常化得以实现

对于一般人来说，利用笔、纸、直尺和圆规等工具，也可以开展数学实验。但由于中学阶段教学任务繁重，时间有限，不能对所有数学知识重新进行一一探索、研究和发现，而是让学生直接接受前人传承下来的知识。

毋庸置疑的是，如果学生有机会自己动手、操作、观察、发现、探索与验证，那么学习数学的过程中就会变得更加有趣、更有吸引力，就会加深学生对数学概念的理解，就会提高学生对数学本质的认识，就会帮助学生更加熟练地掌握的数学思想方法。

随着以计算机和计算器为代表的现代教育技术的迅速发展，在日常教学活动中开展数学探究实验得以实现。计算机和计算器的特点是工作效率高、运行速度快，能够大大节约数学实验的时间，减少重复机械性的劳动，提高数学教学和数学学习的效率。

2.3 数学实验室需为数学教育提供全方位的支持

在数学教学活动中，教师和学生需要进行画图、测量、计算、推理以及书写公式等各种各样的工作。根据国家规定的高中数学课程内容来说，这些任务又可以细分为以下几个方面：绘制平面或空间几何图形或构造几何关系；根据函数表达式或者方程绘制对应的曲线；根据通项公式或递推公式绘制数列的图像；进行动态的平移、旋转、放缩等变换过程；测量和计算，包括对测量结果的各种运算；基于平面几何或空间几何的推理与运算；设计并开展随机实验，并记录过程中的数据；收集和处理数据，绘制统计表格和统计图表；编写程序并运行程序，利用编程完成各种任务；控制点的运动过程，对所要研究的对象进行跟踪。

数学实验室的搭建应该为这些工作提供全方位的支持，使得这些基本的任务能够轻松而简单地实现。

任何事情，只有亲自体验了，才会有最真实、最深刻的感受，学习数学的过程也不例外。

2.4 动态几何软件和图形计算器是首要选择

超级画板是面向我国基础教育阶段数学学科的智能知识平台，是为我国数学教育量身定做的数学教育软件，它能够处理几何、代数、三角、概率、统计、算法、积分等数学知识中的绝大多数模块的内容。

可以说，超级画板是动态几何软件＋计算机代数系统＋随机过程模拟平台＋程序编写和运行环境＋动画控制和演示平台＋计算机自动推理系统。

超级画板基本能够满足高中数学教学中的各种需求。而许多图形计算器，也基本能够实现上述任务。但超级画板和图形计算器具有很大的互补性。例如，超级画板的优点是操作简便，图形清晰和美观，易于观察和展示；图形计算器的优点是方便携带，具有传感功能可以采集外部数据。

对于中学阶段的数学实验室来说，装备了动态几何软件超级画板和图形计算器之后，就能完成绝大多数类型的任务。

2.5 传统的工具和现代化的仪器设备也不可或缺

计算机、计算器和动态几何软件不仅让抽象的数学变得直观、形象，还能够帮助学生更加深刻地理解数学概念、认识数学本质、掌握数学思想方法。显然，如果学习者在现实生活中有机会参与操作、亲身体验这些数学概念、数学原理和数学方法，一定会拉近他们与数学之间的距离，一定会让他们体会到数学的魅力和趣味，一定会帮助他们正确认识数学与实际生产生活的密切关系。此外，传统的教学工具和现代化的科技教育装备也为数学学习者提供了学习目标实现的载体。

3 组建数学探究实验室主要设备

3.1 探究式数学软件

目前，国内外功能最完善、同时操作也最简便的探究式数学软件要数我国自主研发的Z+Z智能教育平台《超级画板》，它是由我国著名数学家、计算机科学家、中国科学院院士张景中教授主持开发的，是为我国数学教育量身定做的探究式教学软件。

“Z+Z”即“智能+知识”，表示它既是智能工具箱也是知识资源库。《超级画板》的“超级”二字取自“超级市场”的含义，指教师教数学、学生学数学所需要的工具、资源等一应俱全。具体来说，《超级画板》包括以下主要功能。

1）动态几何作图。通过鼠标或者命令，能够直接作出几十种常见的几何图形。图形可以被平移、旋转或缩放，但在变化过程中，其几何性质始终保持不变。例如，中点还是中点、垂直还是垂直等。

2）动态图形变换。在指定要进行的变换后，选择被变换的对象执行变换命令，即可得到变换后的图形。变换条件可以是动态的，可以是参数，从而轻松展示图形动态变换的过程。

3）动态测量计算。能够直接测量点的坐标、直线的方程、圆的面积等，测量的结果还可以进一步的参与运算；几何对象发生变化时，测量结果会同时改变。每一个测量表达式都有一个编号，利用这个编号可以实现嵌套测量，从而轻松实现数据的迭代功能。

4）函数方程作图。输入函数或方程的表达式即可作出对应的曲线。表达式可以是显性函数、参数方程、极坐标方程、超越方程等。表达式中能够带参数，变量的区间也可以是代数式，参数改变则曲线的性质相应发生改变。

5）智能文本公式。在文本框中输入数学表达式后，即可同步显示为传统格式的数学公式。文本内的变量或公式还能够参与运算，大大提高输入数学公式的效率。

6）数值符号运算。能够方便进行一般浮点数的数值运算，可以显示小数点之后的15位有效数字。同时能够进行大整数的运算，精确地显示出结果中的每一位数字。还能够对分数、无理数、变量等进行精确的符号运算。另外，系统内部还提供了进行各种数学运算的函数，同时也支持自定义函数。

7）程序运行环境。支持赋值、判断、循环等语句结构，能够自定义函数，与一般的高级程序语言中的语法习惯一致，能够满足基础教育阶段利用算法解决一般数学问题的需求。

8）随机过程模拟。根据系统提供的随机函数，以及屏幕自动刷新的机制，可以直观模拟翻硬币、抛豆子、掷骰子、布丰投针等随机过程，并自动记录统计数据，计算统计结果。

9）统计表格生成。统计表格能够自动记录某一项或几项表达式的测量结果，亦可通过手工输入数据。统计表格方便地变为折线图、条形图、扇形图等形式。

10）自动推理证明。系统能够自动记录用户作图过程中对象之间的几何关系，然后根据内部的规则（定理）进行推理和计算。根据推理得到的信息用户可以得到或简或繁的解答过程。

3.2 图形计算器

1）代数功能。常见运算，如数值求解，符号运算，二进制、十六进制运算，逻辑运算，三角函数，双曲函数，最小公倍数，最大公约数，因式分解，多项式展开。

微积分运算，如求导数、积分、极限、函数最大值、最小值、切线、解微分方程、对隐函数求微分。

矩阵运算，包括特征值、特征量的计算、LU Decomposition、QR 因数分解、包含符号元素的矩阵。

2）作图功能。函数作图、参数作图、极坐标作图、数据统计作图、图形变换、圆锥曲线作图、不等式作图、函数值列表等。

3）几何功能。创建和研究几何形状、模拟点在图形上的运动并研究其性质、研究几何的变换，有利于平面几何的学习。可以实现函数作图形式、参数方程作图形式与数据统计作图形式并存在同一个坐标系下，有利于平面解析几何的学习。

4）统计分析功能。 对一元或二元变量进行统计、对函数进行回归与拟合操作、进行多种假设检验（T-test, Z-test, ANOVA等）、计算并绘制多种分布的图形（散点图、x-y线图、直方图、箱形图、回归线、正态概率图、假设检验图）、排列组合、随机数、推论统计等。

5）金融计算功能，包括货币的时间价值（TVM）、不均匀现金流、分期付款、利率转换等。

6）编程功能，主要包括简单易学的编程语言，用户可根据自己的需求来编写不同的应用程序。

3.3 传统教具与现代科教设备

1）传统教学工具。主要包括三角尺、圆规、磁性白板、几何体模型、圆锥曲线模型、凸凹多面体模型、平摆线形成模型、渐开线形成模型、简明数学史挂图、球面几何教学挂图、对称与群教学挂图。

2）现代科教设备。目前，符合数学现代教学的科教设备有很多，下面列出一些品目，并对它们的作用进行说明。

★汉诺塔：有三根杆子A、B、C，B杆上有若干碟子，每次移动一块碟子，小的只能叠在大的上面，要想把所有碟子从B杆上全部移到A杆上，求移动的方法。通过对汉诺问题的分析，从而学习和理解编程中递归算法的作用。

★正方形车轮：平时在水平路面上所见到的车轮为什么都是圆的？如果在水平路面上行驶的汽车的车轮不是圆的会有什么样的后果？如果车轮是正方形的，那么应该如何设计路面才能使车子平稳地向前行驶？通过对正方形车轮问题的分析，帮助学生深刻理解滚动的本质。

★哈密顿随机实验：当一个小球经过一个三岔路口，它有两条路可以选择，它会选择哪条路？当1 000、10 000个小球经过这个三岔路口时，会有多少个小球选择其中一条路，而又有多少个小球会选择另外一条路继续前行呢？

★轮子形成的摆线：先前滚动的车轮，经过某个位置是压到了香口胶，香口胶黏在了车轮上，而车轮继续前行。那么车轮在继续向前滚动的过程中，香口胶在空中经过了一条什么形状的路径？直线？圆形？抛物线？椭圆？还是其他什么曲线？亲自动手操作、观察实验一下吧。

★滚动圆得到的直线：一个物体在滚动过程中，其边沿上一点所生成的曲线就叫做摆线。由于滚动物体的形状和滚动路面的形状不同，所得到的摆线也各不相同。这是一个直径为大圆半径的一半的小圆，在大圆内的滚动过程，观察一下得到的摆线是什么形状的曲线？

★最速降线：一般认为，从一点运动到另一点最近的距离是直线，但在有些特殊的场合，这种概念却值得仔细思考。如，当你同时激发两个质量一样的小球，分别沿着倾斜的直线轨和倾斜的摆线轨滚动而下的时候，你会看到那概念与实际情况出现了什么样的不同。

★正弦曲线：演示周期函数——正弦函数的图像形成的过程。

★莫比乌斯带：平时我们手上所带的手环或者手镯有几个面呢？通常情况下，它的外面磨损得很厉害了，里面还完整如新。显然，它们都有两个面。然而，你见过一个面的手环吗？你摸摸这个带子的发光二极管，发光的二极管会逐步亮起来，依次触摸发光二极管一圈后，你会发现它竟然只有一个面！

★百发百中：或许你曾经打过桌球，但是你有百发百中的经历吗？在一个椭圆形的桌球面上，上面有两个焦点，根据椭圆的性质，小球从一个焦点弹出，经反弹后必经过另一焦点，从而实现百发百中的效果。

4 数学探究实验室整体配置方案

4.1 高中数学探究实验室配备标准（见表1）

表1 高中数学探究实验室配备标准

4.2 高中数学探究实验室布局

每张桌子坐两位学生，每两名学生共用一台计算机或计算器，学生面朝讲台，显示器位置调低，并略向后倾斜。这样，是在数学实验室也能进行日常的数学教学活动，有利于学生和教师之间的交流，有利于教师的演示性教学的开展。

5 数学探究实验的组织与实施

装备了数学实验室，不等于能够成功开展了数学实验。哪些数学内容和教学活动需要在数学实验室开展，具体到每一个活动环节该如何开展，这些都是在建立数学实验室之后亟待解决的问题。

★双曲狭缝：通常人们使用点、线、面描述我们生活的立体三维空间，借助数学的方法，人们还在创造着世界，双曲狭缝就是通过数学的方法，证明了一根倾斜的直棍绕z轴旋转时，其产生的单叶双曲面被垂直于x、y的平面相切时产生的双曲狭缝情形。

★双曲造型：我们知道，点动成线、线动成面，直线的运动能够得到什么形状的面？最简单的莫过于平面，然而一根运动的直线，只要满足以下条件：它绕一根与它是异面直线保持一定距离的直线轴转动，它的运动轨迹就是一个双曲面。这种由一条直线连续运动所生成的曲面线叫直纹面。

与物理实验和化学实验所不同，数学实验没有严格规定的实验步骤，对于同一个数学知识点，开展数学实验的方式可能有几种。而数学实验的设计需要有丰富的教学经验，需要分析教材、分析学生，另外非常重要的是需要数学教师对技术有充分的认识和深层的理解。然而，在短时间内要求数学教师对技术熟悉程度达到炉火纯青也是不现实的，这需要数学教师将大量的时间用在钻研技术方面。

我们坚持，数学实验室的建立能够在提高教学效率和教学质量的同时，也能减少数学教师的工作时间，从而减轻数学教师的劳动负担。基于这个目的，我们组织了一批教学经验丰富、教学成果突出，并长期致力于将开展技术应用于数学教学工作、具有很深造诣的数学特级教师、高级教师团队，研发了一套《高中数学实验》丛书。利用这套丛书，在数学教师的指导下，学生可以在实验室的环境里开展以下几个方面的学习活动。

5.1 突破思维，释惑解难

相对初中数学来说，高中阶段的数学内容变得非常抽象、难懂，这是很多学生在进入高中后的共同感受，因此，有些同学进入高中阶段后数学成绩急剧下降。在这种情况下，同学们可以走进数学实验室。通过动手操作、观察，让抽象的数学概念在计算机或计算器的屏幕上直观、形象地展示出来，将难懂的问题变得容易理解了。同时，由于技术在展示动态图形方面的优势，能够让复杂的问题变得简单，让枯燥的知识变得生动，从而帮助学生建立具体的、形象的认识。最后，再进一步通过形象思维上升到抽象思维。

5.2 学以致用，科技创作

数学实验室的建立能够在提高教学效率和教学质量的同时，也能减少数学教师的工作时间，从而减轻数学教师的劳动负担。

与传统教学过程中需要整天面对的概念、定理、公式、例题和作业相比较来说，漂亮的图形、生动的变换和动画更能吸引学生的注意力，这些处在中学阶段的学生正具有强烈的动手的欲望和创作能力，数学实验室正是为学生提供了一个动手创作的活动空间。而与一般的游戏和手工所不同，在数学实验室中，作的是数学图形、用的是数学知识、玩的是数学问题、比的是数学水平、提高的是数学素养。

在学生们尝试着去完成一项工作的过程中，总会在不知不觉中运用所学习过的知识，同样也就在不知不觉中巩固了之前学习过的内容，加深了对数学概念的认识，提高了对数学本质的理解，促进了数学思维的培养。

5.3 勇于攀登，开展研究

正是有了技术、有了动画的图形，才能够激发学生去思考和提出许多以前从来没考虑过的问题。

提出一个问题比解决一个问题更加困难，也更加可贵。中学生正是处在爱提问、爱质疑的年龄。事实上，数学教科书上并不能将所有问题都解释的非常清楚，也由于受到中学所学知识的限制，书上无法将一些问题解释透彻。当教师的解答也难以让学生信服的时候，学生不妨到数学实验室开展实验、进行研究，有了技术的帮助，让图形动起来，很多问题便迎刃而解了。

要解决这些问题也许还需要不少周折，也许有的甚至还没有被完全解决。学生们去操作、去尝试、去思考，最后未必都能一一解决，但他们收获的是提出问题的能力、思考问题的角度、研究问题的方法，以及解决问题的勇气。

5.4 水到渠成，提高成绩

现实问题无法回避，我们还处在“应试教育”的社会文化背景，这使得我们的学生个个都成为考试的机器，整日埋头做题、归纳考题类型、总结解题方法，这样的思维模式导致他们在面对一个考题时，总是先在大脑中搜索其类型，以及对应的解题方法。若遇到的是一个以前不熟悉的类型的问题时，则无从下手。事实上，题海战术只能让他们重复性地、机械性地应付考题。

如何将一个困难、复杂的问题讲得深入浅出？如何让学生觉得解决问题的方法淳朴自然？如何让学生自然而然地找到解决问题的突破口？在数学实验中，在技术的帮助下，利用动态的图形和变化的数据，能让数学问题的条件与结论的关系一览无余地展示在学生面前，从而让学生感到对问题的理解豁然开朗，解决问题的思路水到渠成。

6 数学实验室需要在不断实践中完善

数学实验的成功开展需要学校的高度重视和教师的极大热情，随着各地数学实验室的逐步建立，以及数学实验的开展为数学教育带来的积极影响，数学实验室会成为越来越多学校的选择和重点建设的项目。

当前，虽然越来越多的学校建立了数学实验室，开展了数学实验，但所配备的上述工具不一定能够完全满足数学实验的所有需求，这就需要我们进一步调查和研究，根据实际需求，研发更多适合高中学校开展数学实验的软件和设备，逐步完善数学实验的装备。

[1]金召霞.浅谈数学实验对学生学习数学的重要性[J].中国现代教育装备,2010(4)

[2]金海云.数学实验教学中的能力培养[J].中国校外教育,2010

[3]张景中,彭翕成.动态几何教程[M],北京:科学出版社,2007