积分教学中的一题多解三例

罗星海

（湖北交通职业技术学院，湖北武汉 430079）

一题多解教学是启发和引导学生从不同的角度，用不同的方法去解决同一数学问题的教学形式。高职数学中适当进行一题多解教学，可以通过探究问题的多种解法，激发学生的创造欲望，娴熟运用数学方法，训练学生发散思维，培养学生思维能力，加深学生对所学知识的理解，有效复习所学内容，拓展学生的创造性思维。引入 MATLAB 计算法，激发学生对数学软件的学习兴趣，让学生掌握积分的计算命令。下面列举在积分教学中一题多解的三例，通过这三例，可以涵盖不定积分、定积分、旋转体体积计算的常用方法，探讨其教与学，并引导学生小结归纳、举一反三，以便学生掌握相关内容的主要计算方法。

解法二：利用分部积分法

解法一：利用直接积分和凑微分法

解法三：利用换元积分法

所以 法三答案与法一、二相通。

解法四：利用MATLAB 计算

输入如下命令：

得结果如下：

解法一：利用公式法

解法二：利用凑微分法

解法三：利用分部积分法

解法四：查表法

查积分表有递推公式：

解法五：利用MATLAB 计算

例3：平面图形由y＝sinx（≤x≤π）和y＝0围成，试求该图形，见图1 。

图1 y＝sinx 平面图形

（1）绕x 轴旋转所成旋转体的体积；

（2）绕y 轴旋转所成旋转体的体积.

解法一：（1）绕x 轴旋转

以［0，π］上任一点处的函数y 为半径的圆面面积与dx 乘积为体积微元dVx＝πy2dx于是：

（2）绕y 轴旋转，见图2

图2 以x2 －x1 绕y 轴旋转求体积

以［0，1］上任点y 处的函数差x2－x1绕y轴旋转一周扫过的圆环面积与dy 乘积为体积微元

解法二：（1）绕x 轴旋转，见图3

图3 线x 轴旋转，求体积

以y 为底面圆半径、以x2－x1为母线的圆柱体侧面积为2πy（x2－x1）得体积微元：dVx＝2πy（x2－x1）dy

于是：

（2）绕y 轴旋转，见图4

图4 线y 轴旋转，求体积

以x 为底面圆半径、以y 为母线的圆柱体

侧面积为2πxydx

得体积微元：dVy＝2πxydx

于是：

显然，（1）用法一易，（2）用法二易。