Boussinesq类方程描述有限沙坝地形Bragg反射的性能比较

张俊，张日向，张永刚

（1. 大连理工大学海岸及近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023；2. 海军大连舰艇学院军事海洋系，辽宁 大连 116018）

Boussinesq类方程描述有限沙坝地形Bragg反射的性能比较

张俊1，张日向1，张永刚2

（1. 大连理工大学海岸及近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116023；2. 海军大连舰艇学院军事海洋系，辽宁 大连 116018）

利用Boussinesq方程，采用线性摄动展开法，求解波浪正向通过有限沙坝地形的一阶反射波解，研究比较Boussinesq类方程描述沙坝地形对波浪的反射作用的性能。通过研究反射系数并与势流理论结果及实验结果对比，发现：邹志利的高阶方程、张永刚及Madsen的方程适用的水深范围较广，而Nwogu和Peregrine的方程仅在共振点附近有效；当入射波的波长为沙坝波长两倍时，反射波产生共振效应（即Bragg 反射），反射系数与沙坝振幅和水深的比值以及地形中沙坝的条数成正比；相对势流理论的共振时的反射系数，以张永刚为代表的一系列Boussinesq方程色散精度越高，适用水深范围越广，而高阶方程适用的水深很浅。

Boussinesq类方程；有限沙坝；线性摄动展开；一阶反射波解； Bragg 反射

Boussinesq方程能够用于模拟表面重力波传播过程中的折射、绕射、反射及浅化，非线性作用等现象。为改善经典Boussinesq方程的色散性和非线性，许多科学工作者提出了一系列改善色散性的技术和高阶方程，形成Boussinesq类方程[1]。致力于改善线性色散性具有代表性的是张永刚等[2]采用不同的两个水深层水平速度变量组合导出的新型Boussinesq方程，选择方程中的速度变量，该方程代表一系列不同型式的Boussinesq方程，例如Peregrine[3]、Madsen[4]及Nwogu[5]的方程。对于高阶方程，有代表性的有Madsen等[6]精确到的方程及邹志利[7]适应任意海底地形的非线性和色散性精确到的方程。

近海岸附近通常存在数条周期变化的呈一定间距的规则沙坝。关于沙坝的形成机理及其与波浪的相互作用，最先是二战盟军诺曼底登陆时提出该课题，Keulegan通过实验发现平底沙滩上，在长期的正弦波浪入射下，会沿着波浪破碎线形成一些周期的沙坝[8]。Davies[9]基于势流理论，利用线性摄动展开法求解得波浪通过有限正弦沙坝地形的远场理论波解，发现当入射波的波长为沙坝波长的两倍时，反射波将会发生共振，即Bragg 反射，并给出反射波共振时的反射系数公式。该结论随后由Heathershaw[10]及Davies[11]的实验所证实，并引发了人们利用人造沙坝来保护岸线的思路。

由于近岸通常是浅水条件，Boussinesq方程具有较好的适应性。本文利用Bossinesq类方程中的几个代表方程，忽略底部摩擦及波浪传播过程中的能量损失，采用线性摄动展开法求解出沙坝地形引起的反射波解，给出Bragg反射发生时的反射系数公式。将上述Boussinesq类方程描述Bragg反射的结果与Davies 势流理论结果及Heathershaw的实验结果作对比，发现不同Boussinesq方程描述沙坝对波浪的反射效应的性能有差异，为选用Bossinesq方程研究Bragg反射提供理论依据。

1 有限沙坝地形

图1 有限沙坝的轮廓图Fig. 1 Profile of finite sandbar topography

2 Boussinesq类方程中的代表方程

张永刚等[2]采用两个水深层水平速度变量组合导出的新型Boussinesq方程的一阶线性形式如下：

邹志利[7]适用于任意海底地形的新型高阶方程，方程的色散性近似到O(µ4)阶，其一维线性形式如下：

3 Bragg反射问题求解

以张永刚等的Boussinesq方程为例，采用摄动法求解波浪通过有限沙坝地形的反射波解。

零阶方程组:

一阶方程组:

零阶方程组(3.1)描述平底时波浪的传播；一阶方程组(3.2)反映缓慢变化地形对波浪传播的作用。

3.1 零阶方程的波解

同时有：

3.2 一阶方程的波解

3.2.1 一阶方程傅立叶变换（变量x） 由傅立叶变换定义，方程组(3.2)变换为：

联立方程组,消去uα1、uβ1，有：

式(3.9−3.10)中：

对方程(3.10)进行傅立叶逆变换，得到一阶波面升高：

3.2.2 无穷积分 无穷积分式(3.13)可记为：

式(3.14)中各项关于变量λ的无穷积分被积表达式可表示为（C=x或者和Qiλ分别5次和7次多项式。该类积分可以通过围道积分来实现。的三个实根将对应沙坝地形上的周期波解，而虚根对非传播态的波解有贡献。由于非传播态波解随传播距离快速衰减，这里不予考虑。利用留数定理有[13]，C＞0时，有：

可以证明，C＜0时，有：

式(3.16)证明从略。

根据留数定义，有：

给出x＜0侧的反射波波面升高如下：

定义反射系数为反射波波幅与入射波波幅比值，得到反射系数为：

同理，利用邹志利的高阶方程求解出描述有限沙坝Bragg反射的反射系数公式，形式同上，结果略。

4 结果分析与验证

由式(3.20)及(3.21)可见：反射系数和沙坝振幅同水深的比值成正比；入射波与沙坝波长满足时，反射波发生共振，此时，反射系数与沙坝地形包含单位沙坝条数成正比。

Davies[9]给出水平海床上含有数条小波幅的沙坝时的反射系数公式：

图2给出本文由不同形式的Boussinesq方程求解的有限沙坝共振系数（式(3.21)）与相对水深的变化关系，并与式(4.2)的Davies结果对比。图中假设，地形中的沙坝条数m=10，入射波长等于两倍沙坝波长。

由图2可见，Davies势流理论求解的反射波发生共振时的反射系数随相对水深增大而减小，相对水深达到0.6时，反射系数接近零。相对势流理论的结果，本文选用的以张永刚等人的方程为代表的Boussinesq方程，线性频散精度越高，在描述Bragg反射时适用相对水深范围越大：Peregine方程在0.15倍波长水深范围内与势流理论结果误差控制在5%，随相对水深增大，反射系数相对势流理论结果偏小；误差控制在5%时，Madsen方程适用相对水深范围为0.25，Nwogu方程达到0.33，张永刚等的方程能达到0.47，且三者的反射系数均随相对水深增大而偏大；而本文选用的高阶方程虽然色散精度达到0(µ)4，但描述Bragg 反射的反射系数时，适用水深很浅，相对水深在0.1以内时误差控制在3%，随相对水深增大，相对势流理论结果偏大。

图2 发生共振时，本文选用的五个Boussinseq方程计算的反射系数与Davies势流理论的结果的比较Fig. 2 Comparison of reflection coefficient when oscillation

为验证Davies[9]势流理论结果，Heathershaw[10]在Coastal Engineering Research Center, Virginia进行了物理模型试验。在水槽中设置振幅b=0.05m,条数m=10，波长的刚性正弦沙坝，沙坝与水深比值。通过调整入射波波长L，在范围内给出实测反射系数。

图3给出在该实验参数下，本文选用的Boussinesq方程计算结果(式(3.20))与由式(4.1)计算的Davies[9]理论结果以及Heathershaw[10]实验结果的关于反射系数随的变化关系的对比。

由图3可见，在该实验参数下，2k/ kd在(0,1.2)范围内（即入射波长与沙坝波长满足L＞1.67Ld）时，由邹志利、张永刚等及Madsen方程计算的结果与Davies势流理论得到的结果一致吻合，但随着入射波长减小，即相对水深增大，Boussinesq方程的结果呈周期振荡并逐渐增大，与实际经验背离；Peregrine和Nwogu的方程仅在共振点附近与势流理论比较吻合，浅水时结果偏小，而在水深较大时结果振荡并偏大，与实际不符。需要指出的是，该实验中,共振点处的相对水深为，高阶方程的计算结果偏大，而Peregrine的结果偏小，这与图2的结论是吻合的。另外，入射波长与沙坝波长满足时，邹志利、张永刚等及Madsen的方程的结果与试验结果趋势一致，基本吻合，但是在共振点处Boussinesq方程的结果偏大。

图3 本文选用的五个Boussinesq方程的计算结果与Davies理论结果及Heathershaw实验结果的对比Fig. 3 Comparison of Davies’ Potential Theory result and Heathershaw’s experiment result about Reflection Coefficient with several Boussinesq equations.

5 结 论

本文采用线性摄动展开法，导出基于一组Boussinesq类方程的波浪通过含有数条沙坝地形时的反射波面升高，通过研究其反射系数并与势流理论结果及实验结果对比发现：

1、当入射波的波长等于沙坝波长的两倍时，反射波发生Bragg反射；此时，反射系数与沙坝振幅和水深的比值、沙坝地形中沙坝的条数成正比。

2、Boussinesq方程描述沙坝地形对波浪的反射作用时，本文所选取的五个方程中邹志利的高阶方程、张永刚及Madsen的方程适用的水深范围较广，而Nwogu和Peregrine的方程仅在共振点附近有效；当时，高阶方程适用水深范围最浅（0.1倍波长水深范围内相对势流理论的反射系数误差控制在2%），其他方程色散精度越高适用水深范围越广（反射系数误差控制在5%时，Peregrine、Madsen、Nwogu及张永刚等的方程适用相对水深范围分别为0.15，0.25，0.33，0.47）。

附录A

致谢：感谢威尔士大学的A G Davies教授提供相关文献资料及关于围道积分的建议及大连理工大学倪汉根教授的关于围道积分的帮助。

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[5] Nwogu O. An alternative form of the Boussinesq equations for nearshore wave propagation [J]. waterway, port, coastal and ocean Engineering. 1993, 119: 618-638.

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Comparison among several Boussinesq-type equations about the character of describing Bragg resonance

ZHANG Jun1, ZHANG Ri-xiang1, ZHANG Yong-gang2
（1. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China；2. Department of Military Oceanography, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China）

In order to make a comparison of the character of the Boussinesq-type equations when these equations are used to describe the Bragg resonance, this paper utilized Linear Perturbation Method on the basis of several types of Boussinesq equations to derive the first order reflection wave solution. Through focusing on the reflection coefficient and making comparisons with both Potential flow theory and experiment data, it demonstrated that Zou Zhili’s higher order equation, the equations of Zhang Yonggang and Madsen are appropriate for a wide range of relative water depth,by contrast, Nwogu’s and Peregrine’s are only available in the vicinity of L=2Ld. For the special cases, where the Bragg Resonance occurs, the reflection coefficient is proportional to both the ratio of amplitude of sandbar to the water depth and to the number of bars; in addition, for these Boussinesq-type equations interpreted by Zhang Yonggang, the one with higher precision of the linear dispersion is applicable to wider range of relative water depth, while the higher order equations of Zou Zhili are only appropriate for the relatively shallow water.

Boussinesq-type equations; finite sandbar; linear perturbation method; first order reflection wave;Bragg resonance

TV139.2

A

1001-6932(2010)02-0295-07

2009-09-14；

2009-10-19

张俊(1984－)，男，硕士，主要从事近岸水动力研究。电子邮箱：zhangjun.dlut@gmail.com