数学建模方法在超市经营中的应用

邢台医学高等专科学校 贾水峰

随着市场经济的逐步完善，以及全球经济一体化的进一步形成，人们的经济生活越来越丰富，具备了越来越多的可选择性。而且，目前已经进入微利时代，消费者也变得越来越聪明。这一切都在要求商业实体的高层决策人士和管理人员，必须提高自身和全体职员的综合素质。作为经营决策层，必须明白，这一系列经济模式的背后，都有着各自的数学法则。本文分析了超市经营的关键环节，给出了相应的数学模型，使超市经营更加科学化、专业化。

1 超市存储量的数学模型

1.1 问题的提出

超市在经营中必须有一定的商品存储量，以满足市场的需要。下面通过建立适当的数学模型，研究如何根据超市实际情况，确定存储量，从而使超市存储和订货的总费用最小的问题。

1.2 实例分析

某超市出售一种商品，每周需求量为900件，要求不允许缺货，如果存储费用为每周0.01元/件，每次订货费为50元，订货后，货可立即到达。试求：

(1)最优存储方案。

(2)一年的存储费和订货费最少是多少？

解：设D表示需求率，D=900件/周，t表示订货周期，Cd表示每次订货费，Cd=50元，Cs表示单位物品的存储费用，Cs=0.01元/周，每次订货量为Q=Dt；存储量最大为Q，最小为0，所以平均存储量为1/2Q；由(1)得订货周期T=Q/D，每周平均订货费为Cd/T=CdD/Q；每周的存储费用为1/2QCs，每周的总费用C(Q)=CdD/Q+1/2QCs；对以上公式式两边求导，并令导函数为0得：经济订货量Qo=(2CdD/Cs)平方根≈2317(件)；最优订货周期周t0=(2Cd/DCs)平方根≈1.28周(约9天)；每周最少费用C(Qo)=CdD/Qo+1/2QoCs =39.21(元)；每年按52周计算的存储费和订货费最少为39.21×52=2038.92(元)。

1.3 问题的一般数学模型

假设超市某商品的需求率D不变，经营中不允许缺货，订货后货可立即到达，Cd表示每次订货费，Cs表示单位货物的存储费用，Q为每次订货量，则总费用函数为C(Q)=CdD/Q+1/2QCs(模型)；经济订货量Qo=(2DCd/Cs)平方根，最优订货周期t0=(2Cd/DCs)平方根，库存和订货的最少费用C(Qo)=CdD/Qo+1/2QoCs。

2 新产品上市的市场预测模型

2.1 问题的提出

面对日新月异的市场需求，超市必须不断推出新产品，才能不断满足消费者，从而使超市的经营处于良性的循环中。那么作为超市的经营者，如何判断一种新产品在推向市场后的受欢迎程度呢？

2.2 实例分析与解答

某超市欲推出一款新产品，已知目前在市场上有三种同类产品，为了了解这种新产品在市场上的受欢迎程度，在推向市场前，超市进行了一定的市场调查，四种产品分别记为A、B、C、D，其中A代表新产品，表中的数据含义为：最近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概率)，例如：表中第一行数据表示当前购买产品A的顾客，下次购买产品A、B、C、D的概率分别为75%，10%，5%，10%，试求新产品A未来的市场份额大概是多少？

表1

解：本例中的问题是一个离散型动态随机过程，也就是马氏链(Markov Chain)。上表实际上是转移概率矩阵，每行的元素之和肯定为1，只要计算稳定状态下每种产品的概率，就可分析出新产品A未来的市场受欢迎度。

记N为产品种数，产品编号为i(i=1，2，3，....,N)，转移概率矩阵的元素记为Tij，稳定状态下产品i的市场份额记为pi 。

因为是稳定状态，所以应该有pi=∑Tjipj，i=1，2，...，N

不过，这N个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的，好在我们还有另一个约束条件，即N中产品的市场份额之和等于1：∑pj=1。

本问题可以使用LINGO软件进行求解，可知，从长远看来，这种新产品A的市场份额应该是47.5%，看来很受市场欢迎，可以放心上市。

3 超市收费服务的数学模型

3.1 问题的提出

服务的快慢直接取决于超市收费通道的设置。主要分为手提篮通道和手推车通道两大类。本文主要研究了如何通过科学的计算，来确定收费通道的数量,从而提高超市的服务效率,有效地降低服务成本。

3.2 实例分析

某地一超市，顾客按5人/分钟的速度到达服务台,其中手提篮顾客约占30%,手推车顾客约占70%。手提篮服务通道服从μ1=2人/分钟的负指数分布,手推车顾客服从参数μ2=1人/分钟的负指数分布,每个服务设备单位时间的成本为0.1元,每个顾客在系统逗留单位时间的损失率为0.05元,试确定通道的最佳设置方案,使得单位时间内的平均总费用最低。

不同手推车柜台数量对应等待的概率，数据如下：

服务柜台数量：7个，平均队长3.57个，等待概率P(%)：8；服务柜台数量：6个，平均队长3.57个，等待概率P(%)：18；服务柜台数量：5个，平均队长4.38个，等待概率P(%)：38；服务柜台数量：4个，平均队长8.67个，等待概率P(%)：74；

不同手提篮柜台数量的个数对应等待的概率，数据如下：

服务柜台数量：1个，平均队长2.64个，等待概率P(%)：63；服务柜台数量：2个，平均队长0.87个，等待概率P(%)：20；服务柜台数量：3个，平均队长0.75个，等待概率P(%)：0.1；服务柜台数量：4个，平均队长0.75个，等待概率P(%)：0.02；

分析：解决此问题所需要的推导理论公式为:

平均队长:p+Pc/(1-Pc)2·Pc；平均等待队长: Pc/(1-Pc)2·Pc；等待时间:Nq/λ；超市的服务台可分为两大类,因此整个系统可看成独立的M/M/C/∞系统。

假定每个服务台单位时间成本为e2u元,每个顾客在系统中逗留的损失费用e1元,不同的C值对应不同的平均总费用。当f(c)值取得最小值的时候,所对应的C值即为最优值。

根据边际分析法,求最佳的C*,应满足条件:

F(C*)≤f(C*-1),F(C*)≤f(C*+1)，得：f均值(C*)-f均值(C*+1)≤ue1/e2≤f均值(C*-1)-f均值(C*)

依次对C取不同的数值,求出不同的f均值(c),并计算两个之差,检查ue1/e2落入上面不等式的哪个区间,从而确定最佳的C值。

经计算可知,当手推车柜台为6个时,其平均总费用最小,对应的等待概率为18%；当手提篮柜台为2个时,其平均总费用最小,对应的等待概率为20%。

3.3 模型评价

本模型运用了应用数学的分支——排队论的一些基本方法,并将这些基本方法运用到超市收费系统的设计中。该方法具有普遍性,并方便利用计算机进行操作计算。

综上所述，针对超市中几个最重要的经营环节，我们建立了几个对应的数学模型。这些模型分别揭示了超市存储量、新产品上市、以及收费系统中所涉及到的数量关系，给出了有效的解决方案和决策依据。本文所建立的数学模型，对任何一个超市、商场、特卖场等都具有借鉴意义，也可以通过建立数学模型的思想方法处理其他相关问题。

[1]Mark Meerschaert：Mathematical Modeling[M].SanDiego:Academic Press,2007.

[2]陈婷婷,王菲,郑红.基于模糊数学的商场柜台服务中非量化要素的质量评价[J].商场现代化,2008,(22).