两种无穷观对中学数学概念教学的启示

马翠萍,曹 纯

(西北民族大学计算机科学与信息工程学院,甘肃兰州 730030)

两种无穷观对中学数学概念教学的启示

马翠萍,曹 纯

(西北民族大学计算机科学与信息工程学院,甘肃兰州 730030)

文中分析了潜无穷和实无穷两种无穷观的思想,探讨了其对中学数学概念教学的启示,中学数学概念教学中可以适当地引入潜无穷和实无穷观念;结合数学史知识有利于理解数学概念;用辩证法进行数学概念教学及其应注意的问题.

无穷观;数学概念教学;启示

1 潜无穷和实无穷

远在古希腊时代,“无穷”这个包含着矛盾的概念就已经渗透进数学领域,成为数学中最有魅力的概念之一,并且在数学的发展过程中产生了两种针锋相对的“无穷”观——潜无穷和实无穷两种学说,为古今中外的哲学家和数学家所关注,探讨和争论.

潜无穷学说把“无穷”看成为永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的变程或进程)[1].例如,《庄子·天下篇》中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,说的是“一尺之棰”,今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的一半,总有一半留下,所以“万世不竭”,这个无止境的过程就是潜无穷的体现;实无穷是把“无穷”看成是可以自我完成的过程或无穷整体[1].例如,把自然数全体理解为一个无穷集合N={1,2,3,…,n,…}是实无穷的观点.显然,这两种无穷观是互不相容的.

两种无穷观思想分别在不同时期占据着不同的主流位置,一直争论着,并存着,既互不相容又无法否定对方,也因此许多哲学家和数学家就分成两大派别,即潜无穷派和实无穷派.举例言之,像亚里士多德、高斯、克朗内克、庞卡莱等属于潜无穷派.而像莱布尼兹、黑格尔、魏尔斯特拉斯、康托等都属于实无穷派.然而两种无穷观的此消彼长也带来了很多数学家或哲学家的伟大成就.芝诺的四个悖论、牛顿和莱布尼兹的微积分理论、柯西和魏尔斯特拉斯的极限理论以及康托的集合理论特别是关于无穷集合的理论,还有鲁滨逊的非标准分析等等都是对无穷不断探究得来的成就.

2 两种无穷观对中学数学概念教学的启示

2.1 适当地引入潜无穷和实无穷观念

(1)引入无穷观的必要性.中学数学教育处于小学数学教育与大学数学教育的中间阶段的地位,决定了其在认识“无限”方面具有承上启下的作用,是形成和发展科学的“无限”观的奠基时期[2].“无限”观念是数学观念的一个重要部分,“无限”的思想也是重要的数学思想方法之一,两种无穷观作为对“无限”概念的两种不同的理解,在互不相容的同时又有着一定的联系,首先,两者都不是有限的,其次,两者都不具有固定的末元[3].而事实上,两者之间的关系是对立统一的辩证关系[4].教师如果能把握好二者之间的关系并在此基础上引导学生深刻理解和掌握两种无穷观的实质,不仅能够帮助学生理解数学概念的内涵,同时有助于扩大学生的视野,提升学生的理性思维能力,更有着世界观和方法论的教育意义.

(2)潜无穷的引入.浙江省宁波效实中学的杨广文老师曾于 1998年做了关于学生对“无限”概念的认识的调查,结果显示多数学生是以潜无穷的观点来考查 0.9,把它当作一个无限变化着的不能完结的过程[5].可见,潜无穷的观念学生接受起来应该没有什么困难,只是学生不知道他们正在以“潜无穷”的观点去思考问题,需要教师加以引导,从而让学生接触“无限”的概念,了解“潜无穷”的思想.

例如,一个无穷数列,是按自然数序一个一个地离散地变化着,是一个不断创造着的永远完成不了的过程,体现了潜无穷的思想;再如渐近线的概念,曲线上的点M沿曲线无限远离原点时,点M到渐近线的距离无限接近于 0的过程,也是潜无穷的思想;又如新课程中的新增内容导数的概念,在函数的求导过程中,由于在此之前的小学数学中并没有关于无穷概念的教学任务,学生可能理解得比较困难,因此教师可以适当地引导学生去理解“无限缩小的过程”的观念,从而帮助学生加深对数学概念的理解和掌握.

(3)实无穷的引入.华东师范大学的汪晓勤等老师曾于 2006年做了“高中生对实无穷概念的理解”的测试,结果显示高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上数学家的理解困惑以及所用的策略是相似的[6].这说明高中生对“实无穷”的理解比较困难,有点茫然.因此,我们应该加强学生的实无穷观念,并让学生了解两种无穷观的发展过程,从而能解除他们在概念理解上的困惑.

高一数学中在学习集合的时候,教师可以特意设置一个比较两个无穷集合的大小的障碍,正整数集{1,2,3,4,5,…}中的元素是否比平方数集{1,4,9,16,25,…}中的元素多?在讨论并引导学生运用不同策略比较后,学生会发现一个互相矛盾的结果,由此引起学生的认知冲突,进而创造强烈的学习动机.接着教师可以引入实无穷的概念,并通过追溯自古希腊开始直到康托尔建立集合论之前实无穷概念的历史,强调亚里士多德、伽利略和波尔察诺等对实无穷的认识[6],使学生意识到自己对“实无穷”概念的困惑或错误理解是正常的,历史上的数学家曾经也有这样的困惑,因而不必对自己的理解能力感到怀疑.

2.2 结合数学史知识有利于理解数学概念

在引入实无穷的过程中,教师应及时追溯历史,联系数学史中“无穷观”的发展过程,这将有利于解除学生们在概念理解时造成的困惑,否则有可能使有些学生由此怀疑自己的能力,进而丧失学习的信心.在数学概念教学中,恰当地向学生讲述数学史不仅丰富了数学的文化内涵,而且在提高学生的文化素养的同时又可以提高学生的学习积极性,从而帮助学生理解数学概念提高数学成绩.新的《高中数学课程标准》的课程目标中也提出:要激发学生学习数学的兴趣,使学生树立学好数学的信心.认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学思考的理性精神,欣赏数学的美学魅力,形成批评性的思维习惯,从而进一步树立辩证唯物主义世界观.因此教师如何使数学教学包含更丰富的内涵,从而唤起学生学习数学的兴趣,并达到树立正确世界观的目的就显得更为重要.

数学是以概念为起点,以公理、定理为依托,用各种思维方法总结出来的一个学科体系.新课程中增加的许多数学概念,如极限、连续、导数、微积分、概率等等学生理解起来比较困难,而一个概念只有在与其历史背景联系时,才能容易被人所理解、所接受[7].因此,在教学中可以结合数学史提供各种数学问题的历史背景,让学生理解有关概念的来龙去脉,以获得真正的理解,也能把握数学发展的整体概貌,组织起结构良好的知识网络.

作为一名数学教师,由于数学学科本身高度抽象的特点,教师如果仅仅把数学作为一门知识传授给学生,不仅违背了素质教育的理念,而且容易使学生感到数学文化的枯燥和乏味,从而可能失去学习数学的兴趣.因此,教师应该通过讲述数学史让学生领悟到数学的丰富的文化内涵,也应该让学生经历数学家们的种种困惑,通过探索得来的知识不仅理解透彻而且印象深刻.

2.3 用辩证法进行数学概念教学

任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面,徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确提出“两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映.”实际上既不存在没有潜在无限的实无限,也不存在没有实无限的潜无限,实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程,潜无限都是某一个实无限的初始片断[8].可见,无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法内涵,这一点也同样给我们的数学概念教学以不可忽视的启示——恰当利用辩证法进行数学概念教学.

在向学生灌输无穷思想的同时运用辩证法思维把握好二者的关系,面对不同的教学内容不同阶段的教学任务,相应地向学生介绍不同观点的侧重点[9],不仅能够开拓学生的思维,也能促进学生对教学内容的理解,更灵活牢固地掌握数学方法,同时也加深了学生们对基础观念的理解.例如,中学数学中“数列极限”的定义 (以人教版高中数学第三册(选修Ⅲ)为例):一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于 0),那么就说数列{an}以a为极限,或者说数列a是数列{an}的极限,记作在无穷数列里没有一个项的值能够达到严格地等于它们的极限,当数列{an}的项数n无限增大时,an无限地逼近数a,因为数列的无穷性,所以这个逼近过程是无止境的,因而所指称的是潜无穷,但当数列的项数n无限增大时,当我们忽略了数列{an}的项的值与它们的极限之间的差异时,这个逼近过程就完成了,此时它所指称的又是实无穷.在这个教学过程中,教师既要通过两种无穷观的对立统一规律来帮助大家理解极限的定义,又不能让学生引起矛盾心理,这就需要教师正确把握教学目的,明确这一阶段的教学任务和侧重点,否则会适得其反.

2.4 引入潜无穷和实无穷要注意的两个问题

中学阶段是学生形成科学的“无穷观”的重要时期,对“无穷”的认识既渴望又模糊,因此教师在教学中不能盲目地引入潜无穷和实无穷,应该注意以下两个问题:首先,由于学生受生活经验的影响,对不同的“无穷”的认识存在不同的心理倾向,因此,教师应该针对不同的教学任务分析学生的心理倾向,正确恰当地引入“潜无穷”或者“实无穷”;其次,“潜无穷和实无穷”是数学基础中研究的问题,教师在引入的时候应把握好教学重点,不要把两种无穷观的争论及无穷观的进一步思考作为了课堂重点.

3 结束语

无穷概念是数学中的一个基本而重要的概念,对两种无穷观的认识直接影响到初等数学与高等数学的接轨,潜无穷和实无穷两种学说还充满着矛盾争议,因此我们应该从两种无穷观的思想中汲取有利于发展教学和研究的因素,而不应该因为它的矛盾和争议就怀疑数学,甚至去否定它,更不应该让它干扰我们对无穷概念的理解和掌握,从而影响了我们对数学概念的理解.

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.

[2]蔺云.对中学生数学“无限”观念的教育庶谈[J].数学教育学报,2007,16(1).

[3]朱梧槚,肖奚安,宋方敏,等.无穷观问题的研究 (Ⅰ)—历史的回顾与思考[J].南京:南京航空航天大学学报,2002,34(2):101-107.

[4]马翠萍.两种无穷观的辩证法讨论[J],西北民族大学学报:自然科学版,2008(3).

[5]杨广文.关于学生对“无限”概念认识的启示[J].数学教学,1998(2).

[6]汪晓勤,周保良.高中生对实无穷概念的理解[J].数学教育学报,2006,15(4).

[7]康光伦.发挥数学史作用提高数学教学质量[J].四川文理学院学报:教育教学研究专辑,2008(8).

[8]王德闪.对“无限”概念的理解[J].雁北师范学院学报,2003,19(2).

[9]刘嘉祥.数学史中无穷概念发展轨迹及其对教学的启示[J].教育与探索,2007(6).

G642

A

1008-7974(2010)02-0104-03

2009-10-06

马翠萍(1983-),女,湖北十堰人,西北民族大学计算机科学与信息工程学院硕士.

(责任编辑:王宏志)