在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的探讨

廉海荣，赵俊芳，褚宝增

中国地质大学（北京） 信息工程学院，北京 100083

教学研究与改革

在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的探讨

廉海荣，赵俊芳，褚宝增

中国地质大学（北京） 信息工程学院，北京 100083

以激发学生的求知欲望和创新精神为目标，本文在教学实践的基础上, 探讨了在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的方法和途径。笔者通过适当引入常微分方程模型案例，注重理论和应用相结合, 加强计算机软件和实际算法实现等, 进一步发挥常微分方程对提高大学生数学思维能力和数学应用能力的重要作用。

常微分方程；数学建模；思想

一、“常微分方程”教学中融入数学建模思想的意义

恩格斯说过“只有微分学才使得自然科学不仅能用数学来表明状态，而且也能用数学来表明过程，即运动[1]。”常微分方程源于对物体运动过程的研究，它的雏形甚至比微积分的发明还要早。像纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，都是建立和求解常微分方程的过程[2]。

常微分方程在自然科学和社会科学领域如力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、航空航天及经济学等中都有着广泛的应用。近几十年来, 随着动力系统及非线性科学的迅猛发展，常微分方程的理论和方法得到不断扩充和完善。而社会上越来越需要一批将常微分方程的新理论和新方法应用到工程实践中的应用数学人才，这对“常微分方程”教学提出了新的要求[3]。

另一方面，“常微分方程”在大学数学学科课程设置中是“数学分析”和“高等代数”的后续课程，又是“数学物理方程”、“数值计算”、“控制理论”、“变分学”等课程的先修课程，因此，在数学本科教学中，它有着特定的位置。“常微分方程”作为一门理论体系严谨的数学专业课，在讲授时，有必要结合其广泛的应用背景和应用前景，顺应时代要求，以培养具有应用数学能力和创新能力的专业人才为首要目标。

如何加强培养学生的应用数学能力和创新思维呢？全国高等院校数学课程指导委员会提出的“加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养和训练”是一个有效方法[4]。数学建模是运用数学工具将理论知识和实际问题相结合，通过分析建立数学结构，解释现实现象，预测未来发展，优化控制，从而科学地指导社会生产和生活。将数学建模思想融入到“常微分方程”教学中，不仅可以使学生了解常微分方程建立的背景、途径和实际意义，活跃了抽象的动力模型理论讨论，而且还能帮助学生将常微分方程与计算机结合，提高学生的数学建模能力。

总之，在“常微分方程”教学中融入数学建模思想意义深远，这一教学改革非常必要。

二、如何在“常微分方程”教学中融入数学建模思想

在“常微分方程”教学中融入数学建模思想，主要通过在课程中适当引入常微分方程模型以培养学生的建模思维。模型的选取、讲解和分析宜精巧适度。

1.常微分方程模型内容的选取

在“常微分方程”教学中融入的每一个数学模型都应反映出常微分方程知识的本质，通过讲解这些模型让学生对常微分方程的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习常微分方程的兴趣。考虑到学生的心理特征和认知水平，模型的选取应具有时代性、实际性和适应性。模型内容不要求面面俱到但要重点突出。 例如，在讲常微分方程通解和特解的基本概念时，可以介绍自由落体运动，从而使学生自然地理解常微分方程定解问题的概念；在讲一阶常微分方程求解时引入跟踪模型(变量分离法)，RL串联电路(线性微分方程和常数变易法)，探照等反光镜(变量替换法)，捕食-被捕食模型(数值分析)等，会令用初等积分法求解常微分方程变得有声有色，有血有肉；在讲高阶常微分方程时选讲历史上著名的追线模型，如万有引力定律、弹簧强迫振动模型(降阶求解及动力系统模型)；在介绍常微分方程定性和稳定性理论时，可以继续分析捕食-被捕食模型(定性分析)等。模型选取不能喧宾夺主，且要起到点睛的作用，把抽象的常微分方程理论和方法变得有章可循，激发学生学习常微分方程的兴趣。

2.讲授模型中渗透数学建模思想

在讲授常微分方程模型时，要强调如何用数学语言描述和简化实际问题，利用了什么原理建立了常微分方程模型，如何求解和应用模型分析实际问题， 即“实际问题→常微分方程→求解→结果分析→模型改进→实际应用”的全过程。当然，不同的模型，突出的重点也需要作适当的调整。

例如在讨论RL串联电路模型这个问题时，可以强调简化假设的重要性[5]。已知电感、电阻和电流电压降组成串联电路，试分析合上电源后电路中的电流强度。我们可以作如下模型假设：假设电感、电阻和电流电压降在闭合电路前后是不变的；符号假设：假设电感为L，电阻为R，电流电压降为E，闭合瞬间时间为0，t时刻后电路中的电流强度为i(t)。在模型假设和符号假设下，利用电学中的基尔霍夫定律就可以得到一个一阶线性常微分方程初值问题，用积分因子法(或公式法,常数变易法等)求出模型的解，得到合上电源后电路中的电流强度。

再如在讲捕食-被捕食模型时，可以把重点放到模型的实际应用上。通过数值求解建立的非线性微分方程组，绘制积分曲线和轨线图，分析平衡点随参数的改变，从而可以得出农业上农药治虫“越打药，虫越多”的结论，用科学的手段解释了农药治虫的不合理性[6]。也可以通过选讲人口模型科学地验证计划生育政策的合理性，选讲传染病模型说明隔离传染病人的必要性等。

讲授学生能接触到的生活现象，引导同学们一边学习常微分方程理论，一边也有意识地用数学解决或解释现实问题。用常微分方程建模讨论求解，给出合理的安排和解释，将枯燥的常微分方程概念和理论变得生动起来，寓教于乐，使同学们能够比较轻松地学习新知识。

3.常微分方程模型教学后的创新追求

在“常微分方程”教学中加入数学模型，意在培训学生的建模思想。思想犹如一盏灯，要让它指引学生挖掘自身的理论创新潜力。本科“常微分方程”教学主要是线性系统理论和方法的介绍，而此时的学生还没有泛函分析基础，所以没有解决非线性系统问题的工具，这就给常微分方程模型教学后的科研创新意识培训提供了一个很好的机会。例如建立的捕食-被捕食模型，是一个二维的非线性齐次微分方程组，我们可以很好地利用解的存在唯一性定理，得到该模型初值问题有解，在这个前提下，不去求解，而是利用定性和稳定性分析解的性质[5-7]。这样就可以让学生充分认识到解的存在唯一性定理和解对初值的连续依赖性这些抽象理论建立的重要性，不仅增强他们的理论创新的动力，而且也提供了一次很好的创新尝试。再如通过悬链线模型引入边值问题，通过值模拟Lorenz系统解释出热门话题——混沌运动等[7]。这些模型不仅可以让学生在认识到非线性问题的复杂性，也让学生接触到常微分方程新的研究方向，让“常微分方程”课程结束的时间成为学生开始深入钻研的开始，吸引他们继续在常微分方程领域进行科学研究。

综上所述，在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的实施中应注意到：（1）配置的模型对说明常微分方程理论和方法是有益和必要的，要准确切入；（2）模型的选择要贴近学生生活现实，激发学生的好奇心和求知欲；（3）融入的数学模型要具有一定建模流程的简单模型，不能贪大贪多，不能偏离学习常微分方程的主线；（4）要让数学建模的思想深入脑海，引导学生对常微分方程进行科学研究。

三、数学建模思想在“常微分方程”教学后的巩固

“教”与“学”是统一体，在注重“常微分方程”中融入数学建模思想的教学内容和实施的同时，也要加强学生的课下巩固，让学生不仅仅局限于对常微分方程概念、结论和建模技能的记忆、模仿和接受，同时培养他们独立思考、自主探索、动手实践、查阅文献和合作交流的能力。

当然，作为一门课程，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，为关注学生的主体参与，师生互动，我们特别采取了如下尝试：(1)一堂课结束后，留出一个明确的常微分方程建模题目，提供一些可以参考文献，让同学们回去练习，通过校园网网络教学平台进行交流和跟踪，共享解题答案。(2)在讲课结束时，明确部分同学提前准备部分常微分方程模型，在教学过程中创设适当的问题情境，让学生参与到课堂上，采取启发式教学。(3)课下习题及期末考试中增添应用性题目，给学生提供一定的练习素材和空间。对一门常微分方程模型的深入学习，除了课堂上教师的指导，课堂上下学生的积极参与，也需要有一个浓厚的科研氛围。积极地鼓励学生参加专家的学术报告也是一个有益的尝试。

在实施教学互动的尝试中，学生出乎意料的思维方式让教师也受益匪浅。通过学生参与和讨论，课堂气氛热烈而轻松，学生成为了互动式教学的主体，同时也加强了应用能力的训练。 当然并不是所有的学生都喜欢这样的尝试，所以常微分方程模型的讨论和练习点到为止，要注重培养学生形成良好的数学应用习惯，积极探索的态度和不断进取的学风。

四、结束语

在“常微分方程”教学中融入数学建模思想是一个系统工程，需要长期细致深入、循序渐进的展开。在这项教学改革的尝试中我们得到了绝大部分学生的肯定，他们感觉数学模型的融入不仅帮助他们更好地学习常微分方程知识，而且激发了他们的兴趣，扩大了数学视野，提高了应用数学的能力。“学而不思则罔，思而不学则殆。”在今后“常微分方程”的教学中我们需要不断融入数学建模思想，同时对该数学课程的教学模式继续进行改革和创新。

[1] 恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1959.

[2] 张良勇，董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].高等函授学报(自然科学版)，2006，20 (3)：34-36.

[3] 张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003，(1)：19-21.

[4] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，(1)：9-11.

[5] 丁同仁，李承志.常微分方程教程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6] 姜启源，谢金星.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2006.

[7] 葛渭高，李翠哲，王宏洲.常微分方程与边值问题[M].北京：科学出版社，2008.

Discussion on Permeating M athematical M odeling Thought in Ordinary Differential Equation Teaching

LIAN Hai-rong, ZHAO Jun-fang, CHU Bao-zeng
China University of Geosciences, Beijing 100083, China

In order to stimulate students’ enthusiasm and innovation in mathematics, this paper discusses the methods and approaches on permeating mathematical modeling thought in ordinary differential equation teaching, which is based on the teaching practice. By introducing appropriately ordinary differential equation modeling materials, integrating theories w ith practices, strengthening the computer software and actual algorithm and so on, the authors enhance the important role of ordinary differential equation in improving college student’ mathematical thinking ability and application ability.

ordinary differential equation; mathematical modeling; thought

G642

A

1006-9372 （2010）04-00101-03

2010-09-10。

中央高校基本科研业务费专项基金（2010ZY30）；中国地质大学（北京）研究生教改项目资助。

廉海荣，女，讲师，主要从事常微分方程的教学和研究工作。