图形变换问题在中考中的命题特点及主要解法

✿湖北省襄樊市第19中学 韩春见

“数学课程标准”中把“空间观念”作为义务教育阶段培养初中生具有一定的逻辑推理能力、实践能力，具有一定的解决问题能力和探究精神的一个重要学习内容.在初中阶段研究图形及其性质，培养识图、辨图能力及应用其性质解决问题不仅是学习“空间观念”的具体化，而且有利于培养学生的动手操作能力,形成空间观念和运动变化的意识.因此，图形变换问题既是新课标教材的一大亮点,也是各地命制中考压轴题的新宠.在近几年的中考试题中,出现了许多变化无穷、精彩纷呈、形式新颖的优秀试题,这已成为中考压轴题的一个新的发展趋势.

一、图形变换问题试题的特点

研究近几年的中考试题可以发现，图形变换问题大致有以下几类：平移、旋转、轴对称（折叠）和位似.这四类图形变换知识不仅在实际生活中应用广泛，还有利于培养学生的实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识,所以在中考中占有十分重要的地位.

图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等；作一个图形关于某一点的位似图形，要明确位似中心和相似比.

“数学课程标准”对图形变换基本要求：1.能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量、识图、作图等技能；2.探索、发现和认识图形的一些性质及关系；进一步丰富对空间图形的认识和感受；3.学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，提高空间观念.结合这一要求，中考中关于图形变换问题其常见的题型有填空、选择、作图、综合题等.主要以选择、填空题的形式考查“图形变换”的性质；以解答题的形式考查学生作图能力、对“图形变换”的基本运用水平以及计算能力；以创新探索题的形式考查学生的逻辑推理能力.创新探索题往往以“图形变换”为载体，结合轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考查学生的逻辑推理能力，一般难度较大.解这类题要求学生具备扎实的数学基本功.较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力.这类试题的特点是：一般先给出一个图形，并告诉学生或让学生探求一个结论，然后改变图形的位置或者改变图形的大小，现让学生结合新图形探索出新的结论.这样的试题，能客观地反映从特殊到一般的探索过程，着重考查学生观察、归纳、猜想和推理的能力.

因此，解图形的变换试题时要求学生具备扎实数学的基本功,要切实把握几何图形的运动过程,并注意运动过程中的特殊位置.明确图形旋转前后哪些是不变的量,哪些是变化的量；要有较强的观察力和丰富的想象力及综合分析问题的能力,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律.

二、重点题型解析

1.平移变换型问题

所谓平移，就是平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移.平移变换要把握两个要素：1是移动的方向；2是移动的距离.平移变换具有如下性质：（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．中考对图形的平移的基本要求是：（1）通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；（2）能按要求作出简单平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用.

例1：（2009年四川省凉山市）如下图，已知抛物线y＝x2+bx＋c经过 A（1，0）,B（0，2）两点，顶点为 D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图像的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

分析：（1） 可将A、B 的坐标代入y=x2＋bx＋c即可待定字母b、c的值，从而求得抛物线的解析式；（2）点B绕点A顺时针旋转90°落到点C的位置，可得C（3，1）.若将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图像的函数关系式，关键再于明确平移方向（即沿y轴向上移动还是向下移动）和平移距离，故可先找到点C平移前的对应点.由于沿y轴移动，对应点横坐标不变，可把x＝3，代入y＝x2-3x+2得 y＝2，知点 C 对应点坐标为（3，2）.由 2＞1知，可知原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．

解：（1）已知抛物线 y＝x2+bx+c经过 A（1，0）,B（0，2）,

所求抛物线的解析式为y＝x2-3x+2．

（2）∵A（1，0）,B（0，2）,∴OA=1,OB=2，

可得旋转后C点的坐标为（3，1）.

当 x＝3 时，由 y＝x2-3x+2 得 y＝2，

可知抛物线 y＝x2-3x＋2 过点（3，2），

∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．

∴平移后的抛物线解析式为：y＝x2-3x+1．

（3）∵ 点 在 y＝x2-3x＋1 上，可设 N 点坐标为[x，（x2-3x＋1）].

将 y＝x2-3x＋1 配方得

①当0＜x＜时，如图①，

∵S△NBB1=2S△NDD1，∴

解得 x＝1，此时 y＝x2－3x+1=-1，∴N 点的坐标为（1，-1）．②当时，如图②，

同理可得1×1×x＝2× 1×1×（x－ 3），222

解得x=3，此时y＝x2-3x+1=1，∴ 点N的坐标为（3，1）．

综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）．

说明：本题以图形的平移旋转为载体，将二次函数这一初中数学重要知识有机结合起来，形成了一道非常精彩的计算探究题.试题将从特殊到一般的探究思想蕴含在图形的变化之中，搭建起一个让学生真正“动”起来的研究平台，以考查学生探索问题的能力.对于第2问也可求抛物线解析式，由于沿y由平移不改变抛物线的开口方向和对称轴的位置，故可设y＝x2-3x+m，代入点C的坐标，即可求m的值，从而求得抛物线的解析式.需要注意的是，点在坐标系中平移要把握以下两点:（1）左右平移，横坐标改变,纵坐标不变；（2）上下平移，横坐标不变,纵坐标改变.

2.旋转变换型问题

所谓旋转就是在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．构成一个旋转变换要有3个要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.旋转变换具有如下性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.中考对图形的平移的基本要求是：（1）通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；（2）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；（3）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.

例2：（2009年浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点 B（-8，6）、C（0，6） .将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．

（2）①如图 2,当四边形 OA′B′C′的顶点 B′落在 y 轴正半轴上时,求的值;

②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求△OPB′的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中,当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1） 当α=90°时，点A′旋转在y轴的正半轴上，则点P与点C重合，即BP的长等于BC＝8，PQ的长等于 AB＋BC＝6+8=14，可求得.（2）①通过图形可知△COP∽△A′OB′，利用相似三角形对应边的比相等可求出即再利用△B′CQ∽△B′C′O，同理可得CQ＝3，即BQ=BC+CQ=11．从而可求得②可看成折叠，即△OB′C′沿着矩形 OA′B′C′的对角线 OB′折叠，可得△OB′C，可知△OCP≌△B′A′P，利用勾股定理，可求得，从而求得

同理△B′CQ∽△B′C′O，

②在△OCP 和△B′A′P 中，

设 B′P=x，在 Rt△COP 中，（8－x）2+62=x2，解得

（3）存在这样的点P和点Q．

过点Q作QH⊥OA′于H，连结OQ，则QH=OC′=OC，

①如图1，当点P在点B左侧时，

OP=PQ=BQ+BP=3x，PC=BP+BC=8+x,

在 Rt△COP 中，PC2+OC2=OP2,∴（8+x）2+62=（3x）2，

②如图2，当点P在点B右侧时，

OP=PQ=BQ－BP=x，PC=BC－BP=8－x,

在 Rt△COP 中，PC2+OC2=OP2,∴（8－x）2+62=x2，

说明：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，问题设置成从简单到复杂渐次展开的形式，使学生在解决问题的过程中逐渐地认清问题的本质.另外此题（2）（3）两问的解决方法比较多，有利于学生个性思维特征的展示.由于图形旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，所以图形旋转问题要把握两点：（1）是旋转角和旋转半径；（2）是图形端点的旋转路径是一段弧，其长度为，其中n是旋转角的度数，R是旋转半径，即端点到旋转中心的距离.

3.轴对称变换型问题

所谓轴对称就是把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．轴对称具有如下性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上．中考对图形的轴对称的基本要求是：（1）通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；（2）能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；（3）能利用轴对称进行图案设计.

例3：（2009年湖北省恩施州）如下图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10,△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于E点.设DE=x以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.

（1）用x表示△ADE的面积;

（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；

（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；

（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

分析：折叠的实质就是轴对称，解题的关键是抓住轴对称的有关性质，寻找到折叠前后的不变量.对于（2），由于0＜x≤5，以DE为折线将△ADE翻折后，△ADE全部落在梯形DBCE的内部，故重叠部分部是△ADE；对于（3），由于5＜x＜10，以DE为折线将△ADE翻折后，△ADE部分落在梯形DBCE的内部，部分落在梯形DBCE的外部，故重叠部分部（如下页上图）是梯形DMNE，其面积等于△ADE的面积与△AMN面积的差.

（2）∵BC=10∴BC边所对的三角形的中位线长为5，

（3）5≤x＜10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形.

说明：折叠的实质就是轴对称，本题要能够抓住轴对称的有关性质，并要借助于方程的思想来解决.题目的第（2）问以图形的轴对称为载体，巧妙地将三角形的外接圆、勾股定理、图形的相似等知识融合在一起，重在考查学生逻辑推理的能力.点在坐标系中对称要把握以下3点：①关于x轴对称，横坐标（符号）不变,纵坐标（符号）改变；②关于y轴对称，横坐标（符号）改变,纵坐标（符号）不变；③关于（坐标）中心对称，横坐标、纵坐标（符号）都改变（改为原坐标的相反数）.

4.位似变换型问题

所谓位似就是如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比，因此它具有如下性质：①位似图形对应线段的比等于相似比；②位似图形的对应角都相等；③位似图形对应点连线的交点是位似中心；④位似图形面积的比等于相似比的平方；⑤位似图形高、周长的比都等相似比.中考中常利用位似可以将一个图形放大或缩小.中考对图形的轴对称的基本要求是：了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.

例4：（2009年黑龙江省绥化市）如图甲，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）．

（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；

（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；

（3）△A′B′C′与△ABC 是位似图形，请写出位似中心的坐标：___________；

（4）顺次连结 C、C1、C′、C2，所得到的图形是轴对称图形吗？

分析：（1）将 向右平移3个单位，就是将A、B、C的坐标分别加3、纵坐标加1，即可得出其对应点坐标分别为 A1（1,4）、B1（0,3）、C1（2,2）；（2）将△A1B1C1绕原点旋转 180°，就是将 A1（1,4）、B1（0,3）、C1（2,2）的横坐标、纵坐标（符号）都改变，改为原坐标的相反数，即可求得其对应点坐标分别为 A2（-1-,4）、B2（0,-3）、C2（-2,-2）.（3） 要求出△A′B′C′与△ABC 的位似中心的坐标，就是找出△A′B′C′与△ABC的两对对应点，对应点所在直线的交点即为位似中心.（4）要判断顺次连结 C、C1、C′、C2，所得到的图形是否是轴对称图形，首先要判断四边形C C1C′C2的形状.根据 C、C1、C′、C2的坐标，可知其为菱形，故是轴对称图形.

解：（1）画出平移后的图形为△A1B1C1如图乙；

（2）画出旋转后的图形为△A2B2C2如图乙；

（3）△A′B′C′与△ABC 的位似中心坐标为（0，0）.

（4）顺次连结 C、C1、C′、C2，所得到的图形是轴对称图形.

说明：本题是一道集平移、旋转、轴对称、位似图形知识和直角坐标系知识为一体的考题，考查了综合利用所学知识求解问题的能力．其求解的步骤为：首先按要求可出相应点的坐标，再根据问题中建立的坐标系，找到各个图形中所求图形对应点的位置，画出相应的图形即可．将图形的变换放在平面直角坐标系中，考查学生对数形结合思想的运用.需要注意两点：（1）已知位似中心作一个图形的位似图形时一般可以作两个图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称；（2）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

三、图形变换中考命题趋势预测

通过以上分析，可以对中考作以下预测：

1.在基础题（选择和填空题）上继续考查图形变换的单一考点知识，如平移、轴对称图形，中心对称图形（旋转）、位似等.

2.解答题中，将会在书本知识的基础上，进行原题改造创新，变成具有数学背景或时代特征的新题.

3.在压轴题中往往以“图形变换”为载体，融入全等、相似、函数，勾股定理，以及其他平面几何知识，将试题设计成集合探索性、开放性于一体，综合考查学生的逻辑推理能力，多种数学思想方法并存的综合题，一般难度较大.

根据以上情况，它提醒我们在中考复习中要做到：

一是立足教材，理清概念，注重操作，通过复习，熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能；二是重视提高分解、组合图形的能力，在平时的学习中要充分挖掘一些基本图形或者模型，会解答题基本图形，逐步提高综合分析和解答的能力.如先从单一的图形变问题入手，慢慢过渡到综合问题中；三是加强图形与图形变换知识与方程（方程组）知识、函数知识、面积知识、网格知识、相似三角形知识、图形设计知识及其他学科间知识的联系，提高自身综合运用数学知识的水平；四是重视对课本例题、习题的研究，能进行适当变式与引申，积极进行开放型、探求型问题的训练，开展数学思想方法的研究，提高自身用所学知识和能力去分析、解决新问题的能力；五是总结图形变换的辅助线添法.要特别注重等腰三角形、正方形、菱形中这些辅助线的添加构造.适当地应用对称、平移、旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算与证明，以培养逻辑思维能力，空间想象能力及综合运用的能力.