两弹塑性非赫兹接触粗糙表面温升的分形模型

田红亮 朱大林 秦红玲

(三峡大学机械与材料学院,湖北宜昌 443002)

1 赫兹接触理论的3个缺陷

接触力学起源于1882年赫兹发表的经典论文《论弹性固体的接触》[1].赫兹接触理论作了4个假设[2]:(1)表面连续光滑、非同曲;(2)应变小;(3)接近接触区时,每个固体都视为半空间弹性体;(4)表面无摩擦.

在滑动过程中,大部分摩擦能量消耗于塑性变形而被直接转化为接触面表层材料的热能.塑性变形加剧了原子晶格的振动,产生一种叫光子的声波,声能最终转化为热能.接触弹性变形的0.1%～10%能量损失消耗于光子.在粘弹性变形中,弹性滞后也会产生热能.在无润滑剂的条件下,这些热量通过接触点传入两个滑动体.因此,摩擦界面的温升计算十分重要.

1909年和1915年努塞尔(Nusselt)的两篇论文对强制对流和自然对流的基本微分方程及边界条件进行量纲分析,获得了有关无量纲数之间的原则关系,从而开辟了在无量纲数原则关系正确指导下,通过实验研究求解对流传热问题的一种基本方法,有力地促进了对流传热研究的发展.布洛克[3]对微接触点的闪温进行了理论性分析.阿查德[4]分析了圆形微接触点的温度分布.耶格尔[5]推导了不同滑动速度范围的温度分布.Wang和Komvopoulos[6]改进了MB模型[7],提出了低速滑动区域界面温度分布的分形理论.Ray和Roy Chowdhury[8]对纳米表面粗糙度滑动体的接触闪温进行了预测.Czichos和Kirschke[9]建议用载荷、速度、体积温度这3个参数来表示摩擦擦伤条件.当载荷增加时,相对较软的表面将会变形.软表面的分形维数将改变.粗糙表面将更平滑,分形维数增大.问题是分形维数是如何改变的,改变了多少.当载荷继续增加时,软表面将不再具有分形特征,分形理论不再适用.孟凤英等[10]对影响粘性土壤破碎体分形维数的因素进行了实验研究,这种通过对研究对象进行破坏性实验测定分形维数的方法不适合于那些不宜用外力激振的设备(如高精密数控机床、高档数控机床),也不适合于用力锤或激振器无法激振的超重型机床.

上述理论模型一般采用赫兹接触理论能够预测接触点的最大温升和平均温升,但不能确定实际接触面积上的温度分布,且大多数模型没有考虑表面粗糙度对温度分布的影响.事实上,根据赫兹接触理论的第3和4个假设,赫兹接触理论的第1个缺陷是局限于无摩擦表面及理想弹性固体.根据第1个假设,赫兹认为[11]表面互相不协调的物体最初在一个点或一条线上接触,甚至在载荷作用下,与物体本身的尺寸相比,接触面的尺寸通常也很小,在这些情况中,接触应力构成局部应力集中,它与两个物体体内的应力无关.另一方面,表面相互协调一致的物体可能会在一块面积上接触,接触面的大小可以与这两个物体的有效尺寸相比,于是接触应力就变成整个物体内一般应力分布的一部分,而不能从中分离出来,因此第2个缺陷是赫兹接触应力不适用于两接触同曲表面.赫兹接触理论的第3个缺陷是没有考虑塑性变形.

MB模型是原创性定量计算方法,被公认为分形理论的奠基石,为了使MB模型在算法上达到完美,田红亮等[12]指出MB模型存在3个缺陷,修正了MB模型的后两个缺陷,本文以修正后的MB模型为计算基础.螺纹联接中振动能量的耗散机理很复杂,也很少有人研究.能量耗散的重要根源是螺纹间及相配零件接合处的摩擦,以及接触表面的互相撞击.此外,随着振动,接合处的联接零件也会产生弹性变形[13].本文考虑表面粗糙度和塑性变形,适当处理接触物体交界面处的摩擦,将赫兹接触理论以更符合实际的方式推广到滑动接触,根据球形微凸体的赫兹接触理论和MB修正模型,对微接触点的温升进行了分析,得到了低速滑动区域内的分形区域实际接触面积温升的补充累积概率分布函数的封闭形式表达式.

2 两弹塑性接触表面的温升

实际表面上粗糙峰顶的形状通常是椭圆体,由于椭圆体的接触区尺寸远小于本身的曲率半径,因而粗糙峰可以近似地视为球体,两个平面的接触可视为一系列高低不齐的球体相接触,单个粗糙峰简称单峰.对非球体,单峰顶端是使表面轮廓曲率半径取最大值的某一点.单峰顶端的干涉量[14]为

式中,pa为微接触点的平均压应力,下标a表示平均(average);E′为两接触粗糙表面的复合弹性模量;R为赫兹接触的等效峰顶曲率半径;G为分形粗糙度参数;D为表面轮廓分形维数为一个微接触点的平截面积;r′为一个微接触点的平截半径.

临界平均压应力为

式中,Kf为摩擦校正系数[15],下标f表示摩擦(friction);σy=H/K为较软材料的屈服强度,下标y表示屈服(yield);H为较软材料的硬度;K为相关系数,0.5≤K≤3.

式中,f为摩擦因数.

将式(5)代入式(1),可得接触点材料初始屈服时的临界干涉量为

将式(4)代入式(7),得

式(8)除以式(2),得

式中,a′y为划分弹塑性区域的临界平截微接触点面积.

确定实际接触面积中弹性变形和塑性变形接触面积大小的研究表明,由式(9)可得当δ＞δy或a′＜a′y即压应力较大,接触点处于塑性变形;当 δ＜δy或a′＞a′y即压应力较小,接触点处于弹性变形.两固体表面受法向力作用,单峰尖端接触,实际接触面积很小,压应力很高,产生塑性变形,然后当载荷增加时,实际接触面积逐渐增大,这些塑性变形点合并成为一个较大曲率半径的接触点,从而释放压应力,直至压应力降到屈服点σs,形成弹性接触状态,此过程当然会涉及加工硬化(下面会详细讨论),大的接触点处于弹性变形,因为几个小的接触点结合在一起,成为一个大的接触点,这时肯定有相互作用.MB模型没有考虑相邻微凸体之间的作用.这些分析结果与MB模型得出的结论相同,与经典GW 模型[16]得出的结论相反.

球形压痕头塑性转变的准则[17]为

式中,σf为流动应力,下标f表示流动(flow).

式中,下标pt表示塑性(plastic)转变(transition).

一个弹塑性微接触点的平均压应力为

式中,β为量纲一应变;下标aep表示平均(average)弹塑性(elastoplastic).

式中,ε为球形压痕头的总应变;n为应变加工硬化指数的倒数.

系数B满足下式

将式(16)、(15)代入式(18),得

将式(19)代入式(13),得

式(1)的干涉量是理论值.当考虑应变加工硬化时,实验干涉量小于式(1)的理论干涉量.实验干涉量称为穿透深度.压痕头压入半空间的穿透深度[18]为

由式(21)可得一个弹塑性微接触点的面积为

当n=1,可得赫兹理论一个弹性微接触点的面积为

由式(3)、(15)得

微接触点温升的弹塑性校正系数为

式中,下标t表示温度(temperature).

将式(20)、(22)～(24)代入式(25),得

当n=1,Kt=0.1π(2-ln0.6)=0.788 8,与 β 无关.微接触点温升的弹塑性校正系数随量纲一应变的变化如图1所示.

图1 弹塑性校正系数随量纲一应变的变化

在实际接触面积上的温升概率分布密度(单位是℃-1)为

式中,Ts=Tm-T0为稳态摩擦温升,下标s表示平稳(steady);Tm为熔点,下标m表示熔化(melting);T0为整体温度(bulk temperature);C=0.5/ln(0.5π);Tsmax为分形区域的最大温升.

量纲一最大Jaeger参数满足

式中,ρ为密度;c为比热容,单位是J/(kg◦℃);k为热导率;a′L为一个最大微接触点的平截面积,下标L表示最大(Largest).

温升的补充累积概率分布函数为

将式(27)代入式(31),得

由式(27)可得平均温升为

稳态摩擦温升Ts的二阶原点矩为

温升的标准差为

由式(33)可以看出,平均温升是最大温升的0.4023倍,文献[19]的平均温升是最大温升的π/4=0.7854倍,因为该文献假定接触压应力为赫兹应力,而赫兹接触理论是近似的.由式(22)和(23)可以看出,aep≥aHertz,所以赫兹接触理论低估了微接触面积,高估了接触压应力.应用赫兹接触理论造成平均温升偏大的另一个原因是,赫兹接触理论认为作用在弹性体上的集中外力F1与作用在刚性平面上的接触支反力F2相等,即F1=F2,事实上由于物体的惯性等原因,F1＞F2,张朝晖[20]用ANSYS对钢球和刚性平面的赫兹接触进行了分析,集中外力传递到接触表面后,力衰减的百分比为(F1-F2)/F1=(5 000-4754.92)/5000=4.9016%,其中F1=5000 N为球顶承受的法向集中力;F2=4754.92 N为刚性平面的接触支反力.本文考虑了表面的摩擦、法向接触的非弹性特征及塑性转变,所以平均温升偏小.

3 工程实例、实验与结果分析

作为工程结构陶瓷材料,有以Si3N4和SiC为主要成分的高温结构陶瓷;有以Al2O3为主要成分的刀具结构陶瓷.陶瓷材料的主要特点是:硬度极高、耐磨、耐腐蚀、熔点高、刚度大以及密度比钢铁低等.陶瓷材料常被形容为“像钢一样强,像金刚石一样硬,像铝一样轻”的材料.目前,陶瓷材料已应用于密封件、滚动轴承和切削刀具等结构中.但是陶瓷材料的主要缺点是比较脆,断裂韧度低,价格昂贵,加工工艺性差等.4种陶瓷的力学和热物理性能见表1,表中平均摩擦因数取0.15.

表1 4种陶瓷的力学和热物理性能

4种陶瓷弹塑性区域的临界平截微接触点面积、一个最大微接触点的平截面积见表2.3种情况皆可以得到a′L＞a′y,故发生弹塑性变形,因为 :根据文献[21]的式(3),可得到 0＜a′≤a′L,再根据该文献的式(4),可认为a′是积分变量,积分区间(0,a′y)+[a′y,a′L],在积分区间a′∈ (0,a′y)发生塑性变形 ,在积分区间a′∈[a′y,a′L]发生弹性变形.

表2 临界平截面积、最大平截面积

采用最小二乘法对实验数据进行曲面拟合,滑动速度、名义压应力和温度对摩擦因数的影响如图2所示.根据图2(a),摩擦因数首先随名义压应力增大而增大,然后随名义压应力增大而减小;摩擦因数随滑动速度增大而减小.根据图2(b),摩擦因数首先随名义压应力增大而增大,然后随名义压应力增大而减小;摩擦因数首先随温度增大而增大,然后随温度增大而减小,温度较高时,摩擦因数相对低温时要稳定,没有出现热衰退现象.根据图2(c),摩擦因数随滑动速度增大而减小;摩擦因数首先随温度增大而增大,然后随温度增大而减小.

分形区域的最大温升随滑动速度的变化如图3所示.根据图3,分形区域的最大温升随滑动速度增大而线性增大.ZrO2的最大滑动速度为0.1852m/s,Al2O3-TiC的最大滑动速度为1.951 m/s,WC的最大滑动速度为2.969m/s,金刚石的最大滑动速度为176.1m/s.在低速滑动区域,金刚石具有最大的速度范围,因为金刚石的热扩散率最高.对于给定的滑动速度,ZrO2的最大温升最高,因为ZrO2的比值E′/k最大.

图3 分形区域的最大温升随滑动速度的变化

实际接触面积的温升概率分布密度随一个微接触点的温升的变化如图4所示.根据图4(a),非零域随滑动速度增大而扩展.对于固定的滑动速度1.951 m/s,Al2O3-TiC实际接触面积温升概率分布密度的稳定水平常数值(即纵坐标的最大值)比WC的低,因为此时Al2O3-TiC所受的最大温升更高.根据图4(b),对于固定的量纲一分形粗糙度参数,最大温升随分形维数增大而减小;对于固定的分形维数,最大温升随量纲一分形粗糙度参数增大而增大.

当Tm=69℃,T0=25℃时,温升的补充累积概率分布函数随滑动速度的变化如图5所示.根据图5,温升的补充累积概率分布函数随滑动速度增大而增大,表明非润滑面积在加大;温升的补充累积概率分布函数还随分形维数增大或量纲一分形粗糙度参数减小而减小.对于相同的滑动速度、分形维数和量纲一分形粗糙度参数,Al2O3-TiC的温升的补充累积概率分布函数比WC的高.

图5 补充累积概率分布函数随滑动速度的变化

4 分形维数与分形粗糙度参数

在滑动过程中,分形维数-时间关系如图6所示.根据图6,分形维数随时间增大而增大.

图6 分形维数-时间关系

在滑动过程中,分形粗糙度参数-时间关系如图7所示.根据图7,分形粗糙度参数首先随时间增大而增大,然后随时间增大而减小.

图7 分形粗糙度参数-时间关系

5 结 语

根据球形微凸体的赫兹接触理论和MB修正模型,对微接触点的温升进行了分析,得到了低速滑动区域内的分形区域实际接触面积温升的补充累积概率分布函数的封闭形式表达式.

分形区域的最大温升随滑动速度增大而线性增大.非零域随滑动速度增大而扩展.对于固定的量纲一分形粗糙度参数,最大温升随分形维数增大而减小.对于固定的分形维数,最大温升随量纲一分形粗糙度参数增大而增大.温升的补充累积概率分布函数随滑动速度增大而增大,随分形维数增大或量纲一分形粗糙度参数减小而减小.平均温升为最大温升的0.4023倍,温升的标准差为最大温升的0.24倍.

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