边坡位移时序预测的组合模型研究

金海元

(中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北武汉 437000)

边坡稳定性评价预测是目前研究的热点问题,针对该课题,国内外学者进行了不懈努力,取得了可喜的成果,建立了边坡位移时序预测的灰色预测模型[1]、神经网络预测模型[2]、指数平滑预测[3]、模糊理论预测[4]、非线性动力学预测[5]等众多预测模型和方法.然而,各种预测有其优点的同时,也存在着不足之处.例如,灰色预测模型无法解决数据样本超过一定数量后模型精度的退化问题,神经网络预测模型无法解决参数局部最优问题,非线性动力学预测在判断系统是否为混沌系统方面存在困难等.为利用多种预测方法提供的信息,1969年Bates J N和Granger C W提出了组合预测理论及方法,将不同的预测方法进行组合,以求产生较好预测效果.组合预测有线性组合预测、非线性组合[6]预测方法以及变权重组合预测方法[7]等,其中应用广泛的是线性组合预测模型[8].本文拟将边坡性态预测看作一个特殊的凸二次规划问题,以加权一阶局域法(AOLMM)、Lyapunov指数预报法以及神经网络预测方法(ANN)为基本预测方法,应用动态规划方法求解组合预测模型的最优解,以达到有效利用各种预测方法提供的信息提高模型预测精度的效果.

1 基本预测方法

1.1 加权一阶局域法

加权一阶局域法在天气预报[9]、水文预报和边坡变形预测[10]等领域取得了良好的应用效果.应用加权一阶局域法实现边坡位移时序预测的实施步骤如下:

(1)重构相空间.根据改进的C-C方法计算时间序列的嵌入维数和时间延迟,得到重构的相空间为Y(t)=(x(t),x(t+τ),x(t+(m-1)τ)),t=1,2,…,M,其中M为重构相空间的个数.

(2)寻找邻近点.在相空间中计算各点到中心点Yk之间的空间距离,找出Yk的参考向量集为Yki,i=1,2,…,q,并且点Yki到Yk的距离为di,设dm是di中的最小值,定义点Yki的权值为

式中,a为参数,一般取a=1.

(3)拟合预测.一阶局域线性拟合为

式中,e=(1,1,…,1)T.

当m=1时,应用加权最小二乘法有

对上式求解a,b,得到预测递推式:

然后构造下一个中心点及其临近点,继续计算下一点的预测值.

1.2 Lyapunov指数预报法

Lyapunov指数作为量化初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量,是系统的一个很好的预报参数,在岩石边坡变形预测等领域有着广泛的应用前景[11].如果最大的 Lyapunov指数λ1＞0,就认为该系统进入混沌状态,最大的Lyapunov指数λ1表示混沌系统状态误差增加一倍所需要的最长时间;同时该指标也是进行时间序列预测的一个重要指标,一般定义最长可预报时间尺度T=1/λ1,λ1越大,混沌序列的可预测时间T越短,可预测性越差.因此对时间序列进行预测前首先要判断该系统是否为混沌系统,如果是混沌系统,需要先确定最大的可预报时间尺度,进而基于Lyapunov指数进行预测.

混沌时间序列进行重构相空间后,设YM为预报的中心点,相空间的YM的最近的邻点为YK,其距离为dM(0),最大Lyapunov指数为 λ1,即:

式中,j为邻近点个数;YM,Yk,Yk+1为重构相空间中的点,Yk+1是重构相空间中Yk的下一点.点YM+1只有最后一个分量x(tn+1)未知,故x(tn+1)是可预测的,上式就是基于最大Lyapunov指数的预报模式.

1.3 神经网络预测方法

人工神经网络是人工智能领域发展最快的信息处理技术之一,在描述和表征自然界大量存在的非线性本质的形态、现象中具有其它学科难以比拟的优势.应用BP算法神经网络对边坡进行位移变形预测时,只需分别构造各一个输入层、隐含层和输出层组成的网络.

混沌BP神经网络预测算法将混沌科学引入到神经网络计算中,其计算过程如下[12]:

(1)记YM(t)为一维非线性时间序列,应用相空间重构算法确定输入层神经元数目,通过计算监测数据,得到其嵌入维,从而得到输入层神经元数目;为提高计算精度,把隐含层的神经元数目设置较多;因为输出层只有1个输出,故其神经元数目为1.

(2)构造训练样本训练网络.用时间序列YM(t)中前M-1个数据来构造一定数量训练样本.对其中某一点Yj(1＜j＜M-1),先找出Yj的邻近点Yji(1≤i≤n),并将Yji作为网络输入,Yj的下一点Yj+1作为网络输出.将训练样本输入网络,计算输出值和监测值的均方误差,通过误差控制,若计算结果在允许范围之内,可认为网络训练成功.

(3)混沌预测.对所需预测值YM+1,先用YM来构造一个输入样本,其方法与训练样本构造方法一样,即找到YM的邻近点构造输入样本.将已构造的样本输入到训练过的网络中,即得到了所需的预测值YM+1.

(4)预测YM+2的值.更新训练样本,即可将应用YM构造出的训练样本添加至原有训练样本中;对网络重新训练一次,应用YM+1构造出YM+2的输入样本,并以此作为YM+2的预测值.若不更新训练样本,尽管可对YM+2进行预测,但精度降低.

2 组合预测模型

对某一预测问题,假设有多种预测方法,有N期统计观测值,yt为第t期观测值,fit为第i种预测方法第t期拟合值,其拟合误差eit=yi-fit,第i种预测方法的拟合预测误差向量为:Ei=(ei1,ei2,…,eiN)T,i=1,2,…,n;t=1,2,…,N;各单一预测方法的误差平方和为n.记ft为组合预测第t期的预测值,wi为第i种预

提高组合预测模型精度即要求组合预测误差平方和最小,因而可建立如下组合模型:

其中:En=(1,1,…,1)T;W≥0.

组合预测模型(4)式为一特殊二次凸规划问题[13],在可行域内或其边界上存在唯一最优解,但一般情况下无法直接求,但可以在Kuhn-Tucker条件下,将其转化为线性规划问题,再找出最优解,但其求解过程繁琐[14],一般不予采用,本文探讨应用动态规划法求解所表示的非线性规划问题.

应用动态规划解法[15],原模型可以表示为

于是模型的求解可以转化为一个多阶段决策问题,可把整个问题分为几个阶段,每种预测方法作为一个阶段,阶段变量为k=1,2,…,n,决策变量即组合权重wk,状态变量Sk=wk+wk+1+…+wn,状态转移方程为

其指标函数即为组合预测值的误差平方和,即

3 工程应用

西南某水电工程边坡地质条件复杂,以其左岸边坡的变形时间序列作为工程应用实例,应用上述建立及求解模型的步骤,应用Matlab编程语言,分别按上述加权一阶局域法(AOLMM)、Lyapunov指数预报法和神经网络预测法(ANN)进行初始预测,并应用上述组合模型实现组合模型预测.

图1 孔口位移实测曲线

表1 重构相空间后数据表

以位移计孔口相对位移监测数据为原始数据,首先利用C-C方法求得该时间序列的嵌入维m=6和时间延迟τ=1.于是形成了一个6维相空间,共有n-m+1个相点,即120-6+1=115个点.用该重构后的相空间代替原有的状态空间,而此相空间中的每个点都表示了系统在某个瞬时后的状态,而这些点的连线就构成了点在相空间中的轨迹,这条轨迹线便表示了系统状态随时间的演化情况,可以利用这些点来建立预测模型.

计算此时序的最大Lyapunov指数为0.115,则说明此时间序列为混沌序列,其可预报最大尺度为:Tm=1/λ1=1/0.115=8.7,即利用该位移时间序列进行未来位移预测时,在精度损失不太严重的情况下,最大预测时步为8步.由于监测时间间隔为7 d,因此,最大预测时间为Tm×7=56d.

应指出的是,位移预测精度并非在最大预测时间内均为一样,一般随着预测时间的增大而降低,随着预测步数的增加,预测误差逐渐增大.

人工神经网络法则将重构后的时间序列构造学习样本,样本取前107个点,预测样本(测试样本)取后8个点.神经网络预测中,输入层神经元数目为107;为提高计算精度,隐含层的神经元数目设置较多;而输出层,因仅有1个输出,所以输出层神经元数目是1.

各方法预测结果见表2,可以看出,组合预测结果的相对误差均小于10%,且多数小于5%.从图2可以看出,虽然各种预测方法的预测结果都达到误差精度范围,但组合预测结果更优于单一方法预测结果,证明本文提出的组合预测方法的可行性和准确性.

表2 某边坡变形量的实测值及模型预测值

图2 各模型的预测值时序曲线

4 结 论

在边坡的位移变形预测中,应用加权函数组合预测模型把几种预测方法的预测结果进行加权组合,应用动态规划求解法,将求解模型转化为多阶段单目标决策问题,并通过使得组合预测误差平方和最小的方式得到组合权重,以此得到的变形预测结果精度有很大的提高,能很好地满足工程实际需求.运用现代非线性动力学理论,对边坡变形的预测问题进行探索性研究,把混沌时间序列理论中的相空间重构理论、Lyapunov预测方法、加权一阶局域法引入到边坡工程研究中,结合了人工神经网络预测方法以及组合预测法,并在西南某水电站左岸边坡变形预测方面得到了应用,充分证明了非线性动力学方法及神经网络方法在岩石边坡反演及变形预测方面应用的可行性,为该理论在岩土工程领域的应用提供有利支持.

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