子弹打木块问题的图像解法

王秀芳 王建中

(1.山西省长治市华北机电学校基础部,山西 长治 046000;2.山西省长治市长治学院附属太行中学,山西长治 046000)

子弹打入木块后可能穿出,也可能不穿出,如果木块被置于光滑的水平面上,那么子弹水平击入木块的过程中总动量一定守恒,同时还存在着子弹动能向木块的传递和向内能的转化,这就是所谓的“子弹打木块”问题.该问题常用的解法是列动量守恒和能量转化的方程,而在“打击条件变化后结果判断”类选择题中,利用速度图像来判断将更准确,也更便捷.

1 利用速度图像表示子弹打击木块的过程

情形1.一子弹水平击中放置在光滑水平面上的木块中最终没有穿出,试用图像法分析木块及子弹的运动情况.

图1 -0

分析:设子弹质量为m,木块质量 M,子弹初速度 v0,作用时间为 t,则子弹和木块受同样大小的作用力,方向相反,设此力大小不变,则子弹作匀减速而木块作匀加速运动,由于子弹没有穿出,故最终二者达到共同的运动速度,如图1-0.其中图线①为子弹的图像;图线②为木块的图像;图线③为最终共同运动的图像.图线①、②的斜率绝对值分别表示子弹打入木块过程中子弹和木块加速度的大小;三角形Opt0的面积表示子弹打入过程中木块发生的位移,而梯形 Ov0Pt0的面积表示子弹打入过程中子弹发生的位移,阴影部分即三角形OPv0的面积就等于子弹相对于木块的位移,即子弹打入木块的深度.

讨论:(1)如果子弹初速度增大;(2)如果子弹质量增大;(3)如果木块质量增大……,在子弹不穿过木块且相互作用力不变的条件下,图线将有何变化?木块位移s木、子弹位移s子、打入深度 d、打入时间 t、共同的末速度 v共又将如何变化?

答:(1)如果子弹初速度增大;子弹的速度图线将上移,子弹和木块的加速度均不变,此间木块位移 s木和子弹位移s子均增大、打入深度d和打入时间t也增大、共同的末速度 v共也增大,如图1-1所示.

图1 -1

图1 -2

图1 -3

(2)如果子弹质量增大;子弹的速度图线将变缓(加速度变小),木块位移 s木增大、子弹位移s子也增大、打入深度 d增大、打入时间 t增加、共同的末速度 v共增大,如图1-2所示.

(3)如果木块质量增大,子弹的速度图线不变而木块的速度图线将变缓(加速度变小),使木块位移 s木减小、子弹位移 s子增加、打入深度 d增加、打入时间 t增加、共同的末速度 v共减小.如图1-3所示.

图2 -0

情形2.子弹穿过木块时,图像如图 2-0,其中图线①为子弹的速度图线;图线②为木块的速度图线;图线③为射出后子弹的速度图线;图线④为子弹射出后木块的速度图线.斜率的绝对值分别表示打入过程中子弹和木块加速度的大小;而阴影部分的面积就表示木块的长度.

讨论:(1)如果子弹初速度增大;(2)如果子弹质量增大;(3)如果木块质量增大……,而相互作用力不变,图线又会有何变化?木块位移 s木、子弹位移s子、打入时间 t、各自的末速度 v子、v木又将如何变化?

答:(1)如果子弹初速度增大时,子弹的速度图线将上移,木块位移 s木减小、子弹位移 s子减小、打入时间 t缩短、各自的末速度 v子增大、v木减小,如图 2-1所示.

(2)如果子弹质量增大,子弹的速度图线将更缓,木块位移 s木减小、子弹位移 s子减小、打入时间 t缩短、各自的末速度 v子增大、v木减小,如图2-2所示.

(3)如果木块质量增大,子弹的速度图线不变而木块速度图线变缓,木块位移 s木减小、子弹位移 s子减小、打入时间 t缩短、各自的末速度 v子增大、v木减小,如图2-3所示.

2 举例(分析过程略)

例1.一颗速度较大的子弹,水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块,设木块对子弹的阻力恒定,则当子弹入射速度增大时,下列说法正确的是

(A)木块获得的动能变大.

(B)木块获得的动能变小.

(C)子弹穿过木块的时间变长.

(D)子弹穿过木块的时间变短. 答案:(B)、(D).

例2.一颗速度较大的子弹,水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块,设木块对子弹的阻力是恒定的,则当子弹的质量增大时,下列说法正确的是

(A)木块获得的动能变大.

(B)木块获得的动能变小.

(C)子弹穿过木块的时间变长.

(D)子弹穿过木块的时间变短. 答案:(B)、(D).

例3.一颗速度较大的子弹,水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块,设木块对子弹的阻力是恒定的,则当木块的质量增大时,下列说法正确的是

(A)木块获得的动能变大.

(B)木块获得的动能变小.

(C)子弹穿过木块的时间变长.

(D)子弹穿过木块的时间变短. 答案:(B)、(D).

3 木块在平板车上的运动与子弹打木块相似

图3 -0

例.如图3-0所示,光滑的水平面上有质量为 M的长平板车以初速度v0向右运动,此时将一质量为 m的物块轻放在平板车的最右端,设m与M间动摩擦因数为μ,欲使m不从M上掉下来,M的长度至少应为多少?

分析:当物块 m放到小车M上以后,由于摩擦力的作用,物块m 将做匀加速直线运动:而小车则做匀减速直线运动.物块 m不从小车M上掉下来,意味着最终 m将与M达到相同的速度.

物块m放到小车M上后由于水平方向不受外力,因此动量守恒.设共同速度为 v共,则有 Mv0=(m+M)v共.

图3 -1

解法1.利用牛顿运动定律,如图3-1.对物块

对小车2a车s=v02-v共2.

解法2.根据摩擦生热规律,有

解法3.利用图像求解,作 v-t图像,如图3-2所示.

图3 -2

如果m掉不下来,设经时间t0二者速度相等,则在 t0时间内 M运动的位移为

在t0时间内m运动的位移为

所以平板车的最小长度为