均匀流场中螺旋桨线谱噪声的频域预报方法

谢剑波，周其斗，纪 刚，方 斌

(海军工程大学 船舶与海洋工程系，湖北 武汉 430033)

螺旋桨噪声是船舶辐射噪声的主要分量.螺旋桨噪声预报主要是基于声类比方程［1］，即先通过试验或计算流体力学等方法确定声源强度，再通过Ffowcs Williams-Hawkings方程求解由固体边界和Lighthill应力张量所辐射的声场，通常可分为时域法和频域法两种方法:时域法需要对每一个时间步长求解延迟时间方程，其解的输入输出都必须是时间的函数，与频域法相比，物理意义不清晰，求解复杂;频域法则是通过傅里叶变换用频谱来表示辐射声场，直观，物理意义清晰，并且叶片几何和运行条件都相当明了，尤其适应于计算远场噪声.螺旋桨噪声预报理论均需要对声源进行积分.在具有代表性的噪声预报理论中，Hanson的频域法［2］和Farassat的时域法［3］均需要假设无厚度的薄机翼理论，因此只能在螺旋桨投影平面上对声源进行积分.朱锡清等人［4-6］结合非定常升力面理论和声类比方法对船舶螺旋桨的低频线谱噪声和宽带谱噪声进行了研究，但由于其理论基础是Hanson的螺旋面理论，在对声源积分时仍需要假设薄机翼理论.因此，有必要研究一种能够在螺旋桨真实叶表面对声源进行积分的方法.在Lighthill声类比理论和Ffowcs William-Hawkings方程的基础上，运用具有平均流效果的格林函数，成功的导出了远场辐射线谱噪声的频域表达式，该表达式突破了投影面和薄机翼的界限，允许在真实桨叶表面对声源进行积分.应用该频域表达式数值预报了均匀流场中的R212桨的辐射线谱噪声，与实验结果进行了对比，并对线谱噪声指向性进行了分析.

1 线谱噪声理论推导

根据Lighthill声类比理论，在运动坐标系中存在固体边界时决定声场产生的声类比方程［7］为

式中:v(τ)为不可穿透固定表面S(τ)的外域，T为一相对较长的时间，fi=-ni(p-p0)+njeij为由边界施加给流体的单位面积表面力的第i个分量，eij为粘性应力的第(i，j)个分量，ni为表面 S(τ)的单位内法向矢量n的第i个分量，p0和ρ0分别为静态流体的压力和密度，Tij′= ρvi′vj′+eij为等熵流动的Lighthill应力张量.值得注意的是Lighthill应力张量为固定坐标系下度量的速度vi′=vi-δ1iU，而不是运动坐标系下的度量速度vi.

根据声波方程和Sommerfeld辐射条件，并运用Lorenz变换可得频域中格林函数G的形式为［8-9］

式中:μ =κ/β2，E=R+M(y1-x1)，ω 为角频率，κ =ω/c0为声波数，M=U0/c0为平均来流速度对应的马赫数，

式(1)中第一项为传播项与非线性扰动引起的四极子声源，第二项为叶片上负荷引起的偶极子声源，而第三项为叶片体积和旋转速度引起的单极子声源.考虑到船舶螺旋桨或亚音速航空螺旋桨其叶梢速度均小于音速，并且叶片为薄叶片，因此只需关注第二项，即叶片表面产生的偶极子声源.从而螺旋桨辐射声压可表示为

式(3)的积分中隐含了延迟时间τ，对其进行直接计算会有很大难度.因此，为简化计算过程，可将观察点 x=(x1，r，θ′)和源点 y=(y1，r0，θ0′)用平动坐标系来表示，该坐标系以速度U=(U0，0，0)向前运动，如图1所示.直角坐标系和柱坐标系具有以下关系:

在叶片固连坐标系中，观察点和源点可分别表示为 xb=(x1，r，θ)，yb=(y1，r0，θ0).运动坐标系和固连坐标系的转换关系为

图1 桨叶固连坐标系Fig.1 Blade-fixed coordinate system

考虑一个具有Nb个叶片的螺旋桨.将式(2)中的格林函数G代入到式(3)中，并对时间t进行傅里叶变换，可得到单个桨叶在均匀流场下产生的辐射声压:

在远场噪声分析中，有 r0、y1≪Rs，其中为声源中心点到观察点的修正距离，如图1所示.

对源点与观察点之间的距离R在Rs附近进行展开，并忽略二阶小量，有

R ≈ Rs- ［y1cos ψ + β2r0sin ψcos(θ0′- θ′)］.(9)式中:cos ψ =x1/Rs，sin ψ =r/Rs.

将式(9)代入式(8)，并将格林函数G对桨叶固连坐标系中的柱坐标y1、r0和θ0进行求导，有

均匀流场中螺旋桨叶表面压力为定常压力分布，因此，可将叶表面单位面积上的力表示为式中:(yb)为叶表面的定常压力分布，n={n1，nr，nθ}为桨叶表面向里的单位向量.

注意到指数函数有如下性质:

式中:Jm(Z)为第一类型的贝塞尔函数，将式(12)对θ和Z分别进行求导，有

将式(11)至式(14)代入式(10)中，并对时间积分，经过进一步的数学处理后，可得到均匀流场中的螺旋桨远场辐射线谱噪声:

式中:Z=κr0sin ψ，Nb为桨叶叶数，l为辐射阶次，m=Nbl为叶频数，dS(yb)表示在叶片真实表面对声源积分.

贝塞尔函数有如下性质J-m(-Z)=Jm(Z)，所以第l阶叶频处压力可以表示为

则均方根声压可由下式给出

从而第l阶叶频处的声压级就可表示为

式中:参考声压pref=2×10-5Pa.

2 数值计算及其与实验结果的比较

本节利用上节中推导的螺旋桨辐射线谱噪声预报理论，以工作在均匀流场中的Dowty Rotor R212四叶航空桨为算例进行了计算.Trebble于1987年对此桨在均匀流场中的线谱噪声进行过试验测量［10-11］，图 2 所示为螺旋桨转速 7 000 rad/min，来流速度U=50 m/s时测得的线谱噪声值.

图2 n=7 000 rad/min，U=50 m/s时测量的噪声谱Fig.2 Measured tone noise level at n=7 000 rad/min and U=50 m/s

首先对R212桨在U=50 m/s时的均匀流场下的定常压力进行CFD仿真计算，计算采取“动-静”区域相结合方法，即将流域划分为2个区域:一个是包含螺旋桨的较小区域，该区域以角速度ω转动;另一个是包围前一个流域的外围区域，该区域相对地面静止.图3所示为计算出的吸力面压力系数分布图.

将螺旋桨桨叶离散成有限个三角形单元，并确保单元尺寸小于最大频率声波对应波长的1/8或1/10，从而螺旋桨表面积分就可转化为三角形单元积分的叠加.将应用CFD方法得到的单元表面定常压力(yb)代入螺旋桨线谱噪声预报公式(15)中，可得出各阶线谱噪声的声压，再由声压级表达式(18).可最终得到各阶叶频处的预报声压级.图4为前11阶叶频处预报的线谱噪声声压级及其与试验值的比较.

图3 R212螺旋桨吸力面压力系数分布Fig.3 Distribution of pressure coefficient at suction side of R212 propeller

从图4中可以看出，除第一阶叶频处预报值比试验值偏大7 dB外，其他阶次处预报值误差均不超过1.5 dB，因此可以认为建立的均匀流场中螺旋桨辐射线谱噪声预报理论具有相当高的预报精度.另外从图中也可以看出，随着频率的增加，线谱噪声值逐渐减小.

图4 预报声压级与试验值比较Fig.4 Comparison between predicted and measured tone noise level

图5 线谱噪声指向性Fig.5 Tone noise directivity

图5 给出了频率为 f=466.7 Hz、1 400 Hz和2 333 Hz下的线谱噪声声压级指向性.极角Ψ是与x1轴的夹角(x1轴与螺旋桨运动方向相反)，在x2=0平面上测量的观察点距离为Rd=50 m.从图中可以看出，指向性主瓣与螺旋桨运动方向垂直，而在轴向上的辐射为零.并且随着叶片通过频率的增加，主瓣宽度相应减小.

3 结束语

本文对均匀流场中的螺旋桨辐射线谱噪声进行了详细的理论分析，推导并建立了可对声源在螺旋桨真实叶表面进行积分的预报线谱噪声的频域方法，并对R212空气桨进行了数值计算.

对R212桨的数值计算及与试验数据的比较证明了文中所给出的线谱噪声公式的有效性和准确性.文中建立的频域表达式将在后续文中进一步拓展应用于非均匀流场中的螺旋桨离散谱噪声和广谱噪声预报.

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