MEMS惯性测量组件的温度误差补偿模型研究

许德新，何昆鹏，梁海波

(哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

MEMS惯性器件对温度较为敏感，当功耗及环境温度发生变化时，会导致MEMS陀螺、加速度计的性能发生改变，从而对精度产生较严重的影响.为了降低温度对惯性器件精度的影响，目前常采用的有4种方法［1］:1)研制对温度不敏感的惯性器件;2)在结构中增加负温度系数的材料、元件，补偿温度对惯性器件精度的影响;3)尽可能地改善测试环境温度，或采用一定的硬件措施使惯性器件工作环境温度恒定;4)有计划地改变惯性器件测试环境或工作环境的温度，辨识出惯性器件静、动态温度模型，计算出相应的附加误差，进行实时补偿.前3种方法经济上耗资较大，并有一定的局限性，第4种方法具有较强的工程实用性.MEMS陀螺的性能随环境温度改变主要体现在零偏和刻度因数的变化［2］，因此通常的温度误差补偿的方法是:在各个温度下建立零偏、刻度因数的温度误差模型，实施补偿时将模型反推过来，先测量出惯性器件的温度和环境温度等，然后根据模型分别求出当前温度下的陀螺零偏和标度因数，再由陀螺输出电压、零偏和标度因数计算出陀螺敏感的角速度，加速度计同理［3-4］.然而，试验时发现，在标定过程中加速度计和陀螺的温度变化很快，如果采用多位置平均温度来拟合，这样势必会带来较大的模型误差;此外，由于零偏和标度因数的温度模型呈一定的非线性，很难建立合适准确的温度误差模型.受文献［5］中光纤陀螺温度误差补偿方法的启发，抛开通常的将零偏和刻度因数分开建模的思想，尝试将两者统一进行温度误差建模和补偿.分析MIMU全温度标定试验结果发现，它的零偏和标度因数随温度变化的趋势具有互补性，因为计算标定结果中的刻度因数误差和零偏相关性较强.但是仅凭这点还是无法确定前面假设是否完全正确，需要进一步分析和大量的试验来验证新标定方法的可行性.由全温标定实验可知，MIMU受温度影响较大，刻度因数误差能从-25%变到21%，常温时陀螺刻度因数一般约为12.5 mV/((°)/s)，MIMU从低温到高温环境转换时，它会变化5 mV/((°)/s)，以降低和补偿温度对惯性器件精度的影响非常有必要.

1 MIMU温度误差模型

考虑到将加速度计、陀螺的零偏和标度因数统一进行温度建模，那么可以认为加速度、角速度测量误差为陀螺输出电压V、器件温度Ti、器件温度变化率ΔTi、环境温度To和环境温度变化率ΔTo的函数，即ω=g(Vg，Ti，ΔTi，To，ΔTo);加速度测量误差为加速度计输出电压和温度的函数 a=f(Va，Ti，ΔTi，To，ΔTo)，假设二者都是四输入一输出的高阶多项式，这样就可以转化为多因素回归问题标定.如果多项式中温度和加速度计、陀螺输出电压和温度最高都取二阶，则多因素回归模型中有21个因素，加速度计和陀螺相应的模型为

式中:δa、δg分别为MIMU的加速度和角速度测量温度误差;ci、di(i=1，2，…，15)为待测模型系数;Va、Vg分别为加速度计和陀螺敏感输出电压值.

2 试验及结果分析

2.1 温度试验

目前实验室尚未购买带温控的转台，实验时首先将MIMU用保温效果较好的厚棉布包好，放入高低温箱冷冻，当温度稳定在-40℃时，将其取出，快速安装在三轴多功能转台上，进行前述的速率及多位置实验，采用全自动标定技术用时不超过3 min.

受试验条件和MEMS INS装置使用温度范围的限制，高低温试验温度设定范围为-40～60℃，试验所采用的高低温箱如图1所示，温度传感器测量精度为±1℃，所以设定温度试验标定间隔为5℃.那么总共需要做21次完整的标定编排，而每个惯性元件温度误差模型中需要标定的参数恰巧为21项，因此，温度误差模型中温度T和输出电压V最高都只能取二阶.至于21次试验数据是否足够能辨识出21项参数，这需要通过试验的结果来验证.如果标定结果发散，那只能再降低T和V的阶次.

图1 温度试验的高低温箱Fig.1 High and low temperature box used in test

2.2 非线性回归分析

陀螺和加速度计的温度误差模型属于非线性模型，在回归分析时，需要进行非线性到线性转换.

假设变量y与x的关系为p次多项式，且在xi处对y的随机误差，εi(i=1，2，…，n)服从正态分布N(0，σ)，则

令xi1=xi，xi2=x2i，…，xip=xpi.则上述非线性的多项式模型就转化为多元线性模型，即

对式(2)的模型可以进行线性回归分析，线性回归分析是用来分析和拟合方程与数据集合的一种方法，它主要以选取回归变量(自变量)的某一线性函数来预测响应变量(因变量)，使预测偏差的平方和达到最小，并在分析中对该线性关系式的可信度进行统计分析，以检验各回归变量对响应变量影响是否显著［2］.

数学方法描述:假设考察m个变量x1，x2，…，xm，与变量y之间的关系，共有n组试验数据，其中第 i组试验数据为 x1i，x2i，…，xmi，yi.如果变量 yi与xi(i=1，2，…，m)之间存在线性关系，则有

式中:βi(i=1，2，…，m)为比例系数，εi(i=1，2，…，m)为相互独立且服从同一正态分布的误差量.那么对于参数 βi(i=1，2，…，m)的最小二乘估计为 β^=(XTX)-1XTY.

当得到 x1i，x2i，…，xmi后，利用下列回归方程估计=β0+β0x1i+… +βmxmi.令，可以证明总的离差平方和等于回归平方和与误差平方和之和，即S=u+Q.令复相关系数R2=u/S，它可用作衡量回归方程优劣的指标.

采用通常的最小二乘法，对实验数据进行递归回归分析得到MIMU温度试验标定结果，表1和表2列出了加速度计和陀螺温度误差模型中的各参数辨识结果，表3中列出21次试验数据拟合误差的平均值、最大值、方差以及复相关系数R2，从标定的结果初步看来，加速度计和陀螺标定参数比较正常，拟合误差与常温时误差量级相当，而且R2最小大于0.6，这说明这次温度试验较好地辨识出了各模型中的参数，而模型是否最优，需要进一步分析.

表1 加速度计温度误差模型参数辨识结果Table 1 The parameters of accelerators＇error model as temperature changed

表2 陀螺温度误差模型参数辨识结果Table 2 The parameters of gyros＇error model as temperature changed

表3 温度试验标定结果Table 3 The results of calibration tests as temperature changed

2.3 模型优化

在处理陀螺、加速度计测量数据时，大多按经验直接选择模型变量进行建模［7-8］，从统计意义而言这样的模型并不一定是最优的.一般来说，系统所要求的精度不同，需要的误差模型也不同，随着要求精度的提高，需要考虑的误差模型项数也得增多.因此，需要对模型方程进行优化，从而使MIMU的测量模型更趋合理.

从统计学角度出发，对实验数据的处理，应采用一种有效的方法从众多的影响因素中，挑选对响应变量贡献大的因素，从而建立最优模型.由于复相关系数反映了响应变量与回归变量之间的密切程度，因此可以把R2值最大作为寻优条件来选择自变量，以此选择最优变量，从而建立最优回归方程.

根据寻优过程的不同，可采用前进法、后退法、逐步回归分析法和子集比较法等4种方法进行自变量的最优选择［6］.其中，逐步回归分析法综合了前进法和后退法两种方法，当被选入的自变量的作用在新情况下变得微不足道时将它剔除;而已被剔除的变量，当它的作用在新情况下变得重要时将它重新选入回归方程，构成以前进法为主，自变量可进可出的回归方法.在对加速度计、陀螺温度误差模型进行优化时，考虑到程序设计的简便性和计算量等因素采用逐步回归分析方法，并利用北京七维公司1stOpt软件包，剔除不重要的因素，得到MIMU的加速度计和陀螺分段优化模型(以X轴为例).

1)加速度计温度误差补偿模型:

2)陀螺温度误差补偿模型:

表4 温度误差模型分段标定结果Table 4 The parameters of segment temperature error model ×10－4

表5 模型优化后温度试验标定结果Table 5 The parameters of temperature error model after optimization

优化后的模型参数和标定结果见表4和表5，可以看到:

1)从残差检验看来，优化后的模型拟合误差减少了，同时，复相关系数R2较之前也有一定的提高;

2)从分段模型看出，低温时加速度计和陀螺误差模型非线性都比较严重，而常温和高温时模型相对简单;

3)加速度计和陀螺温度误差都受4个温度因素影响，与器件本身的温度关系更为密切.

温度误差分段标定时，是对陀螺温度Ti进行分段，它的温度与外环境温度To相比有一定差别，所以建模时将两者分开，都作为模型自变量参数.另一方面，由于目前没有温控箱，试验条件受限，试验建立的模型是否合理需要做进一步的检验.

3 精度检验

3.1 模型方程显著性检验

为了提高模型的可信度，一般需要对模型方程显著性进行判别.一般用单个自由度的回归平方和(回归均方和)与单个自由度的误差平方和(误差均方和)之比值作为判别模型方程显著性的依据.由于这一比值是符合于概率统计中的F分布规律，可以用F统计量来检验，根据试验中所取得的数据，可以计算出

从式(6)看出，该F值代表了在仪表输出中系统误差与随机误差影响之比，F值越大，模型方程越显著.如果F值接近1，说明系统误差和随机误差两级相近，模型方程就没有实际意义.

因为温度试验进行了21次，所以n=21，由于偏差平方和 S中有平均值的约束，其自由度为n-1=20，当加速度计温度误差分段模型方程中的自变量k=8时，即输入的改变有k个机会时，因此u的自由度应为k，根据自由度保持不变的原理，因此误差平方和Q的自由度为n-k-1=12.再根据温度误差标定试验的实际情况，设定显著水平α=0.9.因为前面已经计算出了复相关系数R2，则可以很方便地计算出各个加速度计和陀螺温度误差模型的F值，然后通过F分布表查到Fα(k，n-k-1)的规定值.

表6 温度误差模型显著性检验Table 6 The prominence of temperature error model

按上述方法，计算模型的F值，结果列入表6中，可以看到优化的模型的F计算值都大于F分布表规定值，所以显著水平α=0.9下，加速度计和陀螺分段优化模型是显著的.

3.2 模型方程各系数显著性检验

模型方程是由多项误差项组成，而每一个误差项对仪表输出的影响并不相同，因此需要根据随机误差比较来判别模型方程中各误差项是否显著.

对于模型方程(3)，假设随机误差 ε1，ε2，…，εn相互独立，且都服从正态 N(0，σ)，则 β^j服从正态N(kj，σj)，其协方差，即，式中 Cjj为［XTX］-1矩阵对角线的相应元素，对模型方程各系数的标准差可以用t统计量来检验其显著性，t统计量的计算如下

当测试中取数据总数个数为n个，设显著水平为α，查t分布表可得tα(n-k-1)值，如果计算的t值大于表上查的值，则认为该项系数在显著水平α时是显著的.按上述方法计算加速度计和陀螺温度误差模型中各系数的t计算值，并与t分布表中的值比较.表7中列出了加速度计第1段模型系数t计算值，可以看出各系数都具有显著意义.

表7 温度误差模型系数显著性检验Table 7 The parameters＇prominence of temperature error model

3.3 试验验证

为了验证温度误差模型的有效性，在与温度标定同样的试验条件下，进行各种试验验证.

首先将 MIMU置于低温箱内，温度设定为-40℃，保温2 h后，将其固定在速率转台上，MIMU的X轴指天，作为转台角速度输入敏感轴，转台以20(°)/s转动，采样 1 min，采样频率 2 kHz.速率试验后，MIMU保持静止状态，这时MIMU温度传感器显示的温度为-38℃，同样采集1 min的X轴加速度计数据.对同样的试验数据，离线计算陀螺和加速度计温度误差补偿前后的结果如图2所示.由于试验时的室温比MIMU的温度高，会发生热交换，惯性器件的温度一定将慢慢增大，尽管2 min内温度变化不明显，但是从图2中还是可以很看到，陀螺和加速度计测量误差经补偿后发散比补偿前要慢，这说明温度误差补偿起着一定作用.

图2 温度误差补偿前后陀螺、加速度计测量精度比较Fig.2 Comparison of gyro and accelerator measurement accuracy before and after compensation

当温度降至-35℃，速率转台转动20(°)/s，记录5 s的陀螺角速度测量数据，然后静止，采集5 s加速度测量数据，取平均值.每次间隔5℃，直到25℃.再将MIMU置于高温箱内，加热约1 h，当陀螺温度传感器显示温度和高温箱温度均指示为60℃时，重复低温时的速率和静止试验.试验记录的结果如图3所示，补偿后的精度均有提高，特别是低温时比较明显，最大约10倍.经过补偿后的加速度计在全温范围内误差保持在0.01g以内，陀螺误差在0.04(°)/s以内.

图3 全温范围内陀螺、加速度计测量检验结果Fig.3 The results of gyro and accelerator measurement in the whole temperature range

4 结束语

温度对惯性器件精度的影响主要与环境温度、温度变化速率、温度梯度有关.从惯性器件结构机理定量分析温度影响，建立机理模型比较困难，因此尝试从试验的角度建立补偿模型，将零偏和标度因数统一标定，建立以器件温度、器件温度变化率、环境温度、环境温度变化率和输出电压等5个量为输入，角速度、加速度测量为输出的MIMU全温范围内温度误差补偿模型，然后采用逐步回归方法，得到优化的MIMU分段误差补偿模型.这样有效地消除了温度非线性对MIMU测量精度的影响.试验结果表明，该方法在很大程度上降低了高低温对MIMU的测量影响，从而提高了MIMU在全温度范围内的测量精度，达到了工程实用的目的.

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