四阶累积量阵列扩展的传播算子测向方法

刁 鸣，陈 超，杨丽丽

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

近年来，在DOA处理领域里，针对非高斯信号源发展起来许多高阶累积量阵列处理方法.文献［1］提出了基于四阶累积量的MUSIC-LIKE方法;Dogan和Mendel［2-4］等提出了虚拟阵列的概念，成功地将阵列的孔径扩大，但累积量矩阵中冗余数据过多导致计算量过大的问题一直是高阶阵列处理方法的一个弊端.文献［5-6］分别应用不同的方法对MUSIC-LIKE算法进行简化，在一定程度上减少了计算量.本文基于MUSIC-LIKE算法，结合最小冗余线阵的扩展原理［7］，形成一种新的四阶累积量阵列扩展算法.将Marcos等人针对二阶方法提出的传播算子算法［8］推广到四阶累积量矩阵，从而提高了阵列扩展能力并且降低了运算量.

1 MUSIC-LIKE算法及阵列扩展

假设空间有D个独立的同中心频率的窄带远场非高斯信号分别以角度θi(i=1，2，…，D)(这里θi是指信号来向与线阵法线的夹角)入射到一个间距为d=λ/2的M元均匀线阵上，λ为入射信号波长，假设天线阵元在观测平面内是无方向性的，各阵元输出的噪声是统计独立的加性高斯噪声，且信号与噪声相互独立.M个阵元接收的数据可以表示为

对累积量矩阵C进行特征分解，M2-D个较小的特征值对应的特征向量构成了噪声子空间UN，MUSIC-LIKE算法的空间谱为

其中，

图1为M元均匀线阵经过四阶累计量扩展形成虚拟阵列的示意图.实心圆为原物理阵元，空心圆为扩展成的虚拟阵元.最后形成的扩展阵列为实心圆和空心圆叠加的结果.

图1 MUSIC-LIKE虚拟线阵形成示意图Fig.1 Virtual array of MUSIC-LIKE

由式(4)和图1可以看出，M2个导向矢量元素中只有2M-1个不同的元素，其余的元素都是这些元素的重复，扩展后的等效阵列流型可表示为

2 基于MRL的四阶累积量构造

假设空间有D个独立的同中心频率的窄带远场非高斯信号分别以角度θi(i=1，2，…，D)入射到一个M元一维线阵上，天线阵元各向响应一致.用［d1d2… dM］(d1=0)表示所有阵元的位置，dp为非负整数，表示第p个阵元与第1个阵元(参考阵元)之间的半波长归一化距离，则阵列接收数据可以表示为

式中:

用与MUSIC-LIKE算法相同的方法构造四阶累积量矩阵C，则得到

其中，

图2所示为一个四元最小冗余线阵，其阵元位置分别为λ/2［0 1 4 6］经四阶累积量阵列扩展的示意图.

图2 基于MRL的四阶累积量虚拟线阵形成示意图Fig.2 Virtual array of fourth-order cumulant based on MRL

表1将阵元数为3～9的MRL在二阶相关函数和四阶累积量中的应用进行了对比，相同阵元数的MRL阵元位置不唯一［10］，表中仅列出其中一种(M表示真实物理阵元数目，M2表示二阶相关函数MRL扩展后的等效阵元数，M4表示四阶累积量的MRL扩展后的等效阵元数).

表1 基于MRL二阶相关函数和四阶累积量扩展阵列对比Table 1 Comparison of virtual array between correlation function and fourth-order cumulant based on MRL

可见，在给定M的前提下，M2与M4有如下关系:M4=2M2-1，对于最优的MRL，经四阶累积量进行阵列扩展后仅在参考阵元位置上有M个重合的阵元，而非最优的MRL，除在参考阵元位置上有M个重合阵元外，还在其他某些阵元上存在一定的冗余性.

3 传播算子算法

假设导向矩阵A是列满秩的，A中有D行是线性独立的，其他行可由这D行线性表示.假设其前D行是线性独立的.将导向矩阵分块为

式中:A1和A2分别为D×D维和(M-D)×D维的矩阵.

传播算子P定义为满足式(13)的线性算子:

令

可得

式中:IM-D表示(M-D)×(M-D)维的单位矩阵.上式表明，Q的列向量与导向矢量a(θ)正交，而a(θ)和信号子空间张成相同的子空间，由信号子空间和噪声子空间的正交性，可以证明，Q的列张成的空间就是噪声子空间.

可得PM算法的空间谱为

传播算子P可由接收数据X或阵列输出的协方差矩阵R估计得到，对应本文中算法，P则是由累积量矩阵C估计得到.

对累积量矩阵C进行如下形式的分块:

式中，C1和C2分别为D×M4维和(M4-D)×M4维的矩阵.

值得提出的是，对信号源数目的适当过估计可以改善OPM算法的性能，本文的仿真试验部分即采用了这样的处理方法.

4 算法步骤

四阶累积量与MRL相结合实现阵列扩展的传播算子DOA估计方法的实现步骤可分为如下几步:

1)按照表1设置最小冗余阵列获得如式(6)所示的阵列接收数据;

2)按照式(8)构造累积量矩阵C;

3)根据式(11)所示的等效导向矢量，对累积量矩阵C中的数据进行重排;

4)使用OPM方法对累积量矩阵C进行处理，求解信号的DOA.

5 仿真实验

为验证算法的正确性及有效性，分别进行了3组仿真实验.实验中，信源为非高斯复信号源，信号间不相关，噪声为加性高斯噪声.

5.1 实验1

入射信号为功率相等的远场平面波，2个信号源分别从［10°，25°］入射，快拍数为 200，信噪比从0dB变化到30dB，对应每个信噪比做300次独立的仿真实验.实验中采用了4种方法进行比较，分别为OPM算法，采用四阶累积量的OPM算法(Cum-OPM)，采用MRL的OPM算法(MRL-OPM)和四阶累积量与MRL相结合的OPM算法(Cum-MRLOPM).其中前2种算法的接收阵列是四元等距均匀线阵，阵元间距半波长;后2种算法的接收阵列是一个如图2所示的四阵元最小冗余线阵，阵元位置为［0 1 4 6］.仿真中，分辨概率定义为成功分辨2个信号源的次数与总实验次数的比值(实验中设定估计值与真实值间绝对偏差在1°以内为估计成功).

由图3～4可以看出，在同样使用OPM算法进行DOA估计的前提下，用Cum-MRL进行处理的算法其均方根误差明显小于其他3种算法，而低信噪比下的分辨概率则明显高于其他3种算法，仿真试验证明了Cum-MRL-OPM算法在测向性能上的优越性.

图3 测角均方根误差Fig.3 RMS error of DOA estimation

图4 检测成功概率Fig.4 Successful probability of estimation

5.2 实验2

考虑图2中阵元数为4的最小冗余线阵，经四阶累积量矩阵可以等效为13阵元的均匀线阵，理论上可以估计出12个非高斯独立信号源，获得了比MUSIC-LIKE更大的阵列扩展能力.图5所示为用四阵元的Cum-MRL-OPM算法估计四信源时真实角与估计角的对比图，4个信号源分别以角度［-30°，-10°，10°，30°］入射，快拍数为 200，信噪比从 0dB变化到30dB，对应每个信噪比做50次独立的仿真实验.图6所示为相同实验条件下估计六信源时真实角与估计角的对比图，6个信号源的入射角度分别为［-48°，-37°，-16°，5°，21°，45°］.图 7 所示为信噪比10dB、估计7个信号源的谱峰图，七信号源的入射角度分别为［-65°，-32°，-15°，-5°，8°，25°，49°］.

图5 估计4信号效果图Fig.5 DOA estimation for 4 signals

图6 估计6信号效果图Fig.6 DOA estimation for 6 signals

图7 SNR=10 dB时估计七信号Fig.7 DOA estimation for 7 signals with SNR=10 dB

由图5～7可以看出，基于四阵元MRL的四阶累积量正交传播算子方法可以对4个入射信号进行有效分辨，在中高信噪比下估计六信号也可达到较好分辨效果.值得提出的是，当入射信号源较多时，OPM方法无法对信号源个数进行较好的过估计，因此测向性能会有所下降.

5.3 实验3

在四阵元MRL的四阶累积量算法的基础上分别采用正交传播算子算法和矩阵特征分解来进行最后的测向运算，通过比较2种方法求噪声子空间的运算时间来验证传播算子在运算量方面的优越性.分别进行10次独立实验，得到的数据结果如表2所示.

表2 OPM算法与矩阵特征分解的计算量比较Table 2 Comparison of computation between OPM and eigen-decomposition

6 结束语

本文采用四阶累积量处理方法，结合最小冗余线阵，提出了一种新的四阶累积量阵列扩展算法，该算法有以下几个优点:1)无需简化过程即摒弃了原MUSIC-LIKE方法应用于均匀线阵所产生的大量冗余数据;2)原来的冗余数据形成了新的扩展阵元，更进一步提高了算法的阵列扩展能力;3)将传播算子算法推广到四阶累积量矩阵，可以减小运算量、缩短运算时间.

仿真试验表明，新算法阵列扩展能力强，运算速度快，四阶累积量对高斯噪声的抑制作用也弥补了传播算子算法在低信噪比条件下性能不佳的缺点，具有较强的实用意义.

［1］PORAT B，FRIEDLANDER B.Direction finding algorithm based on high-order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1991，39(9):2016-2024.

［2］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part I:aperture extension and array calibration［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(5):1200-1216.

［3］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part II:non-Gaussian noise suppression［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(7):1663-1676.

［4］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part IV:direction finding in coherent signal case［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1997，45(9):2265-2276.

［5］武思军，张锦中，张曙.基于四阶累积量进行阵列扩展的算法研究［J］.哈尔滨工程大学学报，2005，26(3):394-397.WU Sijun，ZHANG Jinzhong，ZHANG Shu.Study of array extend based on fourth-order cumulant［J］.Journal of Harbin Engineering University，2005，26(3):394-397.

［6］刁鸣，吴小强，李小刚.基于四阶累积量的测向方法研究［J］.系统工程与电子技术，2008，30(2):226-228.DIAO Ming，WU Xiaoqiang，LI Xiaogang.Study on DOA estimation based on fourth-order cumulant［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2008，30(2):226-228.

［7］ABRAMOVICH Y I，SPENCER N K，GRAY D A.Positive-definite Toeplitz completion in DOA estimation for nonuniform linear antenna arrays-part I:fully augmentable arrays［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1998，46(9):2458-2471.

［8］MARCOS S，MARSAL A，BENIDIR M.The propagator method for source bearing estimation［J］.Signal Processing，1995，42(2):121-138.

［9］SHAN Zhilong，JI Fei，WEI Gang.Extension music-like algorithm for DOA estimation with more sources than sensors［C］//IEEE Int Conf Neural Networks＆ Signal Processing.Nanjing，China，2003:1281-1284.

［10］王永良，陈 辉，彭应宁.空间谱估计理论与算法［M］.北京:清华大学出版社，2004:359-365.