三维非线性异向介质的频率特性

武立华，王政平，武法美

(哈尔滨工程大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

早在20世纪40年代，就有人提出了负折射的概念［1］.1968年，Veselago报告了同时具有负介电常数和负磁导率的介质，称为双负材料(double negative material，DNG)的电动力学性质，指出这种介质具有奇异的物理特性，如反多普勒效应、负折射、反切伦柯夫辐射等［2］.因为在这种物质中，波矢、电场强度与磁场强度三者之间遵循左手螺旋关系，故亦称这种材料为左手材料(left-handed materials，LHMs).30 年后人们分别在理论［3-4］和实验［5］上证明了用金属线和裂环谐振器(split ring resonators，SRRs)构成的周期性结构实现LHMs的可能性与可行性.目前，国际上学者将由人工设计的、具有特异电磁性质的结构安排制备形成的材料统称为metamaterial，其中除了LHMs外，还包括那些仅有负的介电常数的材料，称为电单负材料(epsilon-negative，ENG)及仅有负的磁导率的材料(称为磁单负材料，mu-negative，MNG).相应地将同时具有正介电常数和正磁导率的介质称为双正材料(double positive materials，DPSs)或右手材料(right handed materials，RHMs).

迄今为止，大多数对metamaterial的研究还主要集中在其线性特性方面，即认为材料的介电常数和磁导率与外加电场和磁场强度之间呈线性关系.但要实现材料的可控性，则需要了解材料的非线性特性.为此本文将推导埋入在非线性介质中由Wires和SRRs构成的三维周期性结构metamaterial的有效磁导率表达式，计算了该有效磁导率的非线性频率响应特性.

1 模型及理论分析

由Wires和SRRs构成的三维周期性metamaterial的结构如图 1 所示［6］.

图1 Wires与SRRs阵列构成的3-D metamaterial的结构示意图Fig.1 Schematic diagram of the 3-D metamaterial created by arrays of wires and SRRs

在存在外磁场情况下，由微观磁场H′和宏观磁场 H 的 Lorentz-Lorenz 关系［7］H′=H+4πM/3=B-8πM/3及磁感应强度的定义式B=μeffH和B=H+4πM可导出其有效磁导率的表达式为

由文献［8］知对于该结构有

式中:a为SRR半径，nm为SRRs体密度，I是每个SRR的电流，c代表真空中的光速.当外磁场取eiωt形式，在每个SRR内由外场产生的电动势为ε=ZI，则电流I可由下式表示

式中:ω是入射光的角频率，c是真空中的光速，Z=1/iωC+iωL+R，L 是每个 SRR 的自感，C 是每个SRR狭缝间的电容，R是每个SRR的电阻.由方程(1)～(3)得到

式中:ωONL为非线性本征频率，且有 ω2ONL=1/CL，d为结构周期，C=εDπr2/4πd0，其中 εD是非线性电介质 介 电 常 数，且有 εD= εD(|E|2)，F=2nm(π2a2)2/c2L为结构参数，Γ=R/L为损耗系数.

利用式(4)和非线性本征频率与外磁场的关系［9］即可得到不同频率外场作用下有效磁导率的频率特性.

2 有效磁导率对外场频率的非线性响应关系

每个SRR狭缝嵌入的克尔介质在微波波段有很强的非线性特性［10］，其介电常数可表示为εD(|E|2)=εD0+α|E|/E2c，其中 εD0是线性介电常数，α＞0和α＜0分别代表克尔聚焦和非聚焦情况，EC为非线性特征电场强度值［11］.令归一化频率k=ω/ω0，且ω0为线性本征频率.根据以上理论分析结果就可计算出该metamaterial的有效磁导率对外场的响应.当 a=0.2 cm，r=0.02 cm，d0=0.001cm，d=0.5cm时，且假定构成该metamaterial的单元结构周期远小于入射光波的波长.在此条件下计算得到有效磁导率实部在聚焦介质和散焦介质情况下的非线性频率响应特性如图2所示.

图2 有效磁导率实部随外磁场强度的变化Fig.2 The real parts of the effective permeability vs.strength of external magnetic field

图2(a)给出了在聚焦α＞0且ω0＜ω情况下，有效磁导率实部随外磁场强度的变化情况.由该图可见，对于不同的k值具有一个共同的特点，即当外磁场强度小于某一临界值时，Re(μeff)为负值，此时该metamaterial特性为LHMs(假设介电常数为负值);当外磁场强度超过临界值时，Re(μeff)为正值，此时该metamaterial特性由LHMs材料变为ENG.这一临界值随k值的增大而增大，导致材料特性跳变的临界点随外场频率的增加而增加.这一结果说明当外场频率与metamaterial的线性本征频率相差越小时，改变控制材料特性所需的外加磁场强度越小.此外，由于非线性折射率正比于，当 Re(μeff) ＜0时，随着外磁场强度的增加导致非线性折射率增大，使得在SRRs中的局域电场会随之增强.这种现象有利于获得较强的非线性效应.

图2(b)为聚焦α＞0且ω0＞ω的情况下，有效磁导率实部随外磁场强度的变化情况.由该图可见，由于非线性本征频率的平方是外磁场的三值函数，导致磁导率实部在非线性区域中都有一回滞过程.随着外磁场强度的不断变大，有效磁导率的实部则在某一临界值处由最初的正值跳到了负值，即材料由ENG材料跳变到LHMs材料，且跳变点的值随k值的增大而减小，即材料特性跳变的临界点随外场频率的增加而减小.在此过程中材料特性由最初的不透明介质向透明介质转变，其相反过程可以在磁场强度由大变小的过程中得到.

图2(c)给出了在散焦α＜0且ω0＜ω的情况下，有效磁导率实部随外磁场强度的变化情况.在外磁场由小变大的过程中，有效磁导率的实部在临界值处由最初的负值跳到了正值.此时该metamaterial特性由LHMs材料跳变为ENG，且临界值的大小随外场频率的增加而增加.材料也由最初的透明材料向不透明材料转变.同样的在外磁场由大变小的过程中，该 metamaterial特性在另外的临界值处由ENG材料跳变为LHMs.

图2(d)描述了散焦α＜0且ω＜ω0的情形下，有效磁导率实部随外磁场强度的变化情况.随着外磁场增大，有效磁导率实部都将逐渐减小.

图2(b)与(c)显示的双稳变化特性有可能导致磁畴壁在该metamaterial的传播和不透明介质平板中电磁感应透明区的存在及时空电磁孤波的形成［12］.

图3给出了该metamaterial的有效磁导率虚部对外磁场的非线性响应曲线.

由图3(a)与(d)可知，无论对聚焦还是散焦情形，随着外磁场强度的增加，当外场频率与线性本征频率相差越小时材料的有效磁损耗也越小.这将导致在本征频率附近的光波得到高反射效果.由图3(b)与(c)可知，随着外磁场强度的增加，磁损耗则呈现多值性及跳变性.

图3 有效磁导率虚部随外磁场强度的变化Fig.3 The imaginary parts of the effective permeability vs.strength of external magnetic field

3 结束语

本文研究了一种具有周期性微结构的三维metamaterial对外场的非线性特性频率特性，计算得到了其有效磁导率实部及虚部随外磁场强度与频率的变化关系.研究结果表明，导致这种metamaterial特性转变的外加磁场临界值的大小与外场频率有关，外场频率与其线性本征频率相差越小，所需的改变材料特性的临界值越小;在非线性区内该材料的磁响应具有双稳特性.此外，研究结果还表明，利用这种metamaterial的有效磁导率随外场强度的变化关系可增强这种介质的非线性效应.希望该研究结果对于非线性metamaterials研究及其在微波/光开关等器件方面的应用研究有一定的参考意义.

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