数控机床主轴系统热误差温度测量点的最优化设计方法

李郝林 应杏娟

上海理工大学,上海,200093

0 引言

数控机床的误差源主要有几何误差、热误差、伺服控制误差和切削力误差四大类,其中热变形误差和几何误差为最主要的误差,分别占总误差的45%和20%,所以减小这两种误差,特别是减小热误差是提高机床加工精度的关键,而且越是精密的机床,热误差占总误差的比例越大。因此,研究机床的热变形误差测量与补偿技术对于提高机床的加工精度有着极其重要的作用[1-5]。数控机床误差补偿的过程一般分为误差测量、建模和补偿三个阶段。机床的热误差和机床的温度场有关,而机床的温度场是随时间变化的,因此,对于机床热误差的补偿必须采取实时测量和补偿的方法,建立能够对误差进行精确预测的数学模型是进行热误差补偿的关键。

数控机床热误差数学模型的建立,一般需在机床热误差测量的基础上,通过分析机床不同位置温度传感器测量值与机床热变形的关系,建立温度-热误差关系数学模型[6-7]。然而,如何选择机床温度测量点是该项工作的难点与关键,机床上温度测量点越多,所建立的热误差模型也就越精确,但数据处理量会随之大大增加。另外,温度测量点布置过密,会使相邻测点输出信号具有较大的相关性。为了从众多测量点中选择出适当数目的测量点,文献[8]提出了温度点的分组选择方法,以减少温度变量之间的相关性对误差模型精度的影响。文献[9-12]也对该问题进行了研究,所采用的方法是依据工程经验,选择机床温度敏感点(如丝杆的温度、主轴温度、床身温度等处)安装大量的温度传感器,然后再采用相关分析、聚类分析等方法选出少量的传感器测量值用于温度误差的建模,所提出的方法均未解决最优温度测量点位置的确定问题。

信息论所建立的互信息概念[13],给出了定量计算两序列之间的互信息方法,文献[14]阐述了互信息概念在数据处理中多方面的应用方法,其概念可用于描述某温度测量点所提供的关于机床热变形信息量的大小。本文基于信息论,在对机床热误差有限元分析的基础上,提出了一种对温度测量的测点位置进行优化的计算方法,这些测点包含机床热变形误差互信息量最大点;给出了评判温度测量位置优劣的评价指标;通过主轴热误差测量实验验证了所提出方法的有效性。

1 基于信息论的温度测点位置优化方法

设机床上温度测量点的待定位置为X,X={x1,x 2,…,xn},通过有限元分析获得这些位置上的温度随时间的变化量 T,T={T1(t),T2(t),…,Tn(t)},机床变形量随时间的变化量为Y(t),各测量位置温度值的值域为[Tmin,Tmax],机床变形量的值域为[D min,D max]。将[T min,T max]区间划分为N等份,[D min,D max]区间划分为M等份。分别统计Ti(t)与Y(t)落入各个小区间的样本数,计算概率分布PTi(j)与PY(k),i=1,2,…,n;j=1,2,…,N;k=1,2,…,M。根据信息论,各个温度测点位置温度变化的不确定度可用熵函数H(Ti)表示为

机床变形量的不确定度可用熵函数H(Y)表示为

建立数控机床热误差模型的目的就是要通过尽量少的温度传感器获得准确的机床变形量的信息。根据信息论,某温度测点测量值 Ti(t)所提供的机床变形量的互信息量可表示为

其中,联合离散概率分布P(Y k Ti(j))可以通过将Ti(t)与Y(t)张成二维空间,然后等分为N×M个小区间,统计落入这些小区间的样本数计算得到。

根据式(3),分别计算每一个温度测点与机床变形量Y的互信息量I(Y;Ti),取最大的I(Y;Ti)值,即可确定包含机床变形量最大互信息量的温度测量点,此位置即为最优的温度测量点位置。然而,仅仅一个温度测量点的信息往往不能完全消除机床变形量的不确定度,还需要计算其他温度测量点所提供的机床变形量Y(t)的互信息量I(Y;Ti),使得其提供的互信息量能够获得足够准确的机床变形量Y(t)的信息。m个温度传感器所提供的机床变形量Y(t)的互信息量可表示为

值得指出的是,当计算最优的多个温度传感器测量位置时,其传感器组合内并不一定包含机床变形量最大互信息量的传感器。因此,为了确定最优的m个温度传感器位置,应该按照式(4)遍历计算所有可能的传感器组合方式。当所计算的温度传感器数目较多时,传感器安装备选位置组合数将呈指数增大,给式(4)的计算带来困难。为了有效解决该问题,可采用遗传算法,分别计算出最优的2个、3个、…、m个温度传感器的组合,并根据机床变形量的计算精度,确定出最少的温度传感器组合作为温度误差建模使用的变量。

2 主轴系统温度场和热变形有限元分析

主轴系统的热变形是高精度数控机床热变形的重要因素之一,本文以一种数控螺纹磨床的主轴系统为例来说明所提出计算方法的有效性。该主轴部件由主轴、主轴箱、前后轴承等组成,主要热源是前后滚动轴承的摩擦发热。

计算中使用有限元分析软件建立了经过简化的有限元模型,如图1所示[15-17]。设定环境温度为20℃,当主轴转速为2000r/min时,计算得到前后轴承的发热量分别为147W 和112.6W,将轴承发热量作为热源边界条件以生热率的形式施加到主轴有限元模型上。主轴与空气间的对流换热系数可按努谢尔特准则方程计算,本例中,当主轴转速取2000r/min时,计算得到对流传热系数为89W/(m2◦K),箱壁自由换热表面的对流传热系数取10 W/(m2◦K)。在主轴系统的热分析过程中,按如下顺序加载：启动机床运转600s→停止300s→重新启动运转1200s→停止300s→再启动运转直到时间满2h。

图1 主轴部件有限元模型

在上述边界条件下计算主轴系统在空载状态下运转2h的瞬态温度场,图2为主轴箱和主轴在热平衡状态下的温度分布云图,主轴箱的最高温升为26.8℃,出现在前轴承内圈处。图3所示为主轴箱体侧面16个测点的温升随时间变化曲线(图3中温度曲线编号与图1测点序号对应),测点在箱体的3个侧面靠近主轴线方向均匀分布,如图1所示,其中上侧面右方因为箱体有立柱因而不能安装传感器,所以该面只能分布4个测点。从图3测点温度—时间曲线中可以发现温度的滞后效应：靠近热源的测点在升降温过程中响应迅速而且温升变化较大;而远离热源的测点,升降温响应滞后一段时间,且温升变化较小。

图2 主轴系统温度分布云图

图3 测点温度—时间曲线

以主轴瞬态温度场作为载荷,加上主轴系统的位移约束条件,进行主轴系统的“热—结构”耦合分析,得到主轴系统瞬态热变形结果。关于主轴热变形误差的评定指标一般有：轴线角度误差(包括倾斜、偏转)以及主轴在X轴、Y轴和Z轴方向的位移。而轴线角度误差是主轴热变形误差的综合性指标,因此本文选择轴线角度误差作为热变形误差评定参数。

主轴受热变形后,其轴线的变形倾斜情况如图4所示,图中虚线、实线分别为主轴变形前和变形后位置。变形后截面圆心位置发生了改变：O1→O′1,O2 →O′2,轴线的角度误差为 α。利用前述模拟计算结果提取这些点变形前的坐标值(x0,y0,z0)和热变形位移值(Δx,Δy,Δz),通过拟合并利用几何关系计算出主轴轴线对应每一个模拟分析时间段的角度误差α。从而得到角度误差α随时间的变化曲线。图5分别为主轴轴线沿x方向的偏转角误差和y方向的倾斜角误差随时间的变化曲线。可以看到,主轴轴线沿x方向的偏转角误差αx在升降温过程中有明显的变化,而沿y方向的倾斜角误差αy非常小,这是由于主轴部件在y方向结构基本是轴对称的,所以轴线在y方向基本不会偏转。因此,以下分析过程仅考虑主轴在x方向的偏转角误差αx。

图4 主轴轴线热变形角度示意图

图5 主轴偏转/倾斜角误差-时间曲线

3 温度测点位置优化选择

根据上述计算得到的随时间变化的温度和热变形误差的数据,提取16个测点的温度随时间变化的数据 T,T={T1(t),T2(t),…,Ti(t),…,T16(t)}和主轴偏转角度αx随时间的变化数据αx(t),按照式(3)和式(4),可求得温度测量点所提供的机床主轴热变形的互信息量。温度和变形量样本数量、温度值域[T min,T max]和变形量值域[D min,D max]区间等分数N、M的选取应能够保证概率分布的稳定性,计算中取样本数100,区间等分数N、M取20～40。计算得到待定测温点所提供的主轴热变形的互信息量。为了提高热变形的计算精度,可以根据式(4)增加温度测量点的数量,本文以两个温度测量点组合为例采用遗传算法进行了温度测点位置优化的计算。表1列出了单个温度测量点和两个温度测量点组合的互信息量值最大的3个点。

表1 互信息量

表1的计算结果说明,温度测量点2提供的互信息量最大,可以确定其为一个测温点的最优敏感热源点。当其残差不能满足要求时,需要增加温度测量点,当采用两个传感器时,2号和12号温度测量点组合是互信息量最大的测点组合。2号和12号温度测量点组合比单独2号温度测量点的预报精度高。测点2位于箱体上侧面距前轴承热源中心x=0.20L 0处,测点12位于箱体下侧面距前轴承热源中心x=0.24L 0处(L0是前、后轴承热源中心之间的距离)。

4 主轴系统的热误差实验验证

为了验证上述所选择的最优敏感热源点的有效性,使用SK7520H数控螺纹磨床进行了主轴旋转实验。该机床具有较高的几何精度和定位精度,运行时产生的热误差成为影响加工精度的主要因素,实验时在主轴箱体侧面不同位置安装了16个温度传感器。为了检测轴线的倾斜和偏转角度,在轴端安装砂轮部位放置了5个非接触式电容位移传感器,其中2个位移传感器测量径向(x向)热误差,另2个测量径向(y向)热误差,1个测量轴向(z向)误差。温度和位移传感器具体安装位置见图6。

设定主轴转速为2000r/min,按两种方式(两种实验条件)加载：①主轴启动运转2h;②启动主轴运转600s→停止300s→重新启动运转1200s→停止300s→再启动运转直到时间满2h。

根据实验得到的数据进行计算,得到主轴轴线偏转角αx随最优敏感热源点测点2以及测点12的温度的变化曲线,两种实验条件下的误差-温度曲线分别如图7所示。

利用有限元计算得到的温升和热变形误差数据,可以通过多元线性回归得到温升和热变形误差之间的误差预报模型回归方程。计算得到最优敏感热源点(测点2)的主轴轴线偏转角误差αx的热误差模型为

图6 温度传感器和位移传感器安装图

图7 主轴热误差角度—温度曲线

测点2和测点12最优组合热源点的主轴轴线倾斜角误差αx的热误差模型为

热误差模型的有效性可以用残差作为评价指标,可用下式表示：

式中,Eresidual为残存热误差即残差;E为热误差计算值;Ereal为实验测得的热误差值;l为代表样本号。

计算得到单个热关键点和2个热关键点的热变形引起的角度误差预报模型的残差值,见表2。

表2 残存热误差值 (rad)

从表2可以看出：

(1)使用2个热关键点的预报模型精度要比一个关键点的模型精度高;

(2)对于实验条件①,偏转角度的残差较小,表明所选择的热关键点可以用来建立精确的热误差模型;

(3)对于实验条件②,由于温度变化经历了升降温过程,温度-热变形曲线有转折(图7b),用式(5)线性模型来建模导致的残差比较大,为了减小这种误差,可以用二次拟合模型来代替线性模型,例如：α2x=-5.95×10-9+1.49×10-11θ2p,计算得到残差为2.2×10-5(°),虽然精度有所提高,但误差相对还是较大。所以,为了减小机床的热误差,机床使用过程中要尽量避免主轴的反复启动。

5 结束语

本文给出了数控机床最优热误差测量系统的设计方法,通过数控螺纹磨床主轴系统的计算说明了具体的计算方法。计算结果表明,该方法可以在有限元分析的基础上,计算出最优的温度测点位置以及多个温度测点的最优组合。

[1] Ramesh R,Mannan M A,Poo A N.Error Compensation in Machine Tools— —a Review Part II：Thermal Errors[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,2000,40(9)：1257-1784.

[2] 倪军.数控机床误差补偿研究的回顾及展望[J].中国机械工程,1997,8(1)：29-33.

[3] Yang J G,Ren Y Q,Liu G L,et al.Testing,Variable Selecting and Modeling of Thermal Errors on a INDEX-G200 Turning Center[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2005,26(7/8)：814-818.

[4] Okafor A C,Ertekin Y M.Vertical Machining Center Accuracy Characterization Using Laser Interferometer：Part 1.Linear Positional Errors[J].Journal of Materials Processing Technology,2000,105(3)：394-406.

[5] Okafor A C,Ertekin Y M.Vertical Machining Center Accuracy Characterization Using Laser Interferometer：Part 2.Angular Errors[J].Journal of Materials Processing Technology,2000,105(3)：407-420.

[6] Fraser S,Attia M H,Osman M O.Modeling Identification and Control of Thermal Deformation of Machine Tool Structures,Part I：Concept of Generalized Modeling[J].ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering,1998,120(3)：623-631.

[7] Fraser S,Attia M H,Osman M O.Modeling Identification and Control of Thermal Deformation of Machine Toolstructures,PartⅡ：Generalized Transfer Functions[J].ASME Journal of Manufacturing Scienceand Engineering,1998,120(3)：623-631.

[8] Lo C H,Yuan J,Ni J.Optimal Temperature Variable Selection by Grouping Approach for Thermal Error Modeling and Compensation[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,1999,39(9)：1383-1396.

[9] 杨建国,邓卫国,任永强,等.数控机床热误差补偿中温度变量的分组优化建模[J].中国机械工程,2004,15(6)：478-481.

[10] 吴昊,杨建国,张宏韬,等.精密车削中心热误差鲁棒建模与实时补偿[J].上海交通大学学报,2008,42(7)：1064-1068.

[11] 杨建国,任永强,朱卫斌,等.数控机床热误差补偿模型在线修正方法研究[J].机械工程学报,2003,39(3)：81-84.

[12] 闫嘉钰,张宏韬,刘国良,等.基于灰色综合关联度的数控机床热误差测点优化新方法及应用[J].四川大学学报(工程科学版),2008,40(2)：160-164.

[13] 姜丹,钱玉美.信息理论与编码[M].合肥：中国科学技术大学出版社,1992.

[14] 史玉峰,靳奉祥.数字信息模式识别理论与应用[M].北京：科学出版社,2007.

[15] Sunkyu L,Hidenori S,Yoshimi I.Thermal Behavior of Bearing Surrounding in Machine Tool Spindle System[J].JSME,1991,543(57)：3612.

[16] Choi K J,Lee D G.Thermal Characteristics of the Spindle Bearing System with a Gear Located on the Bearing Span[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,1998,38(9)：1017-1030.

[17] Harris T A,Kotzalas M N.Rolling Bearing Analysis[M].5th ed.Boca Raton：CRC Press,2007.