基于滑模控制的机载作动器摩擦转矩补偿研究

王永宾 林 辉

西北工业大学,西安,710072

0 引言

当今,液压传动系统被广泛应用于机载伺服作动领域中,然而,由于液压传动系统具有一些固有缺陷,使得液压传动系统在机载伺服作动领域的使用受到一定的限制。液压传动系统的固有缺陷主要表现在：①需要体积庞大的中央液压系统和复杂的管路;②为了提供稳定的中央液压源,液压泵必须连续工作,导致能量效率比低;③液压源压力有波动;④漏油;⑤噪声。但是,液压传动系统同时具备体积小、功率大、惯性小的优点。

针对上述情况,为了克服传统液压系统的缺点,飞控系统开始向功率电传(power by wire,PBW)方向发展。功率电传是指由飞机次级能源系统至作动系统各执行机构之间的功率传输通过电能量传输的方式完成。PBW液压作动器不再需要中央液压系统和复杂的管路,从而在可靠性、生存力、可维护性、效率、故障容错能力、飞机整体性能上都有可观的提高[1]。

电动静液作动器(electro-hydrostatic actuator,EHA)作为功率电传作动器代表之一目前受到广泛关注。本文针对电动静液作动器的非线性问题,建立了电动静液伺服系统的非线性模型,通过设计非线性滑模控制器,使电动静液位置伺服系统获得了良好的静/动态性能。

1 电动静液伺服系统组成

EHA伺服系统不同于传统的开路液压传动系统,它是基于闭环路液压传动原理的,因此,EHA伺服系统中不需要油箱和液压伺服阀。EHA伺服系统主要由无刷直流电机(brushless DC motor,BLDCM)、双向液压泵、对称液压缸、储能器、溢流阀和压力传感器、位置传感器等元件组成。其原理如图1所示。

图1 EHA系统结构原理图

无刷直流电机与双向液压泵直接连接,通过改变电机转速和方向拖动液压泵,在液压泵进油口和出油口分别产生不同压力;液压泵与对称液压缸通过刚性短管连接,因为液压缸左右两容腔存在压力差,会在活塞上产生对外部负载的作用力,使负载根据电机转向和转速运动。储能器的作用是作为紧急动力源以补充泄漏的液压油,在使系统保持恒压的同时,还可在系统管路内产生急剧压力变化时吸收液压冲击。溢流阀通过阀口的溢流限定最大工作压力,防止系统过载。压力和位置等传感器为控制器实时提供系统工作状态信号以实现控制功能[2]。

2 电动静液伺服系统建模

本文运用模块法将系统分为液压泵、对称液压缸、储能器及子回路、摩擦环节和无刷直流电机五个模块,并分别建立模型,然后将各模块连接构成完整的系统以作为仿真控制对象。

2.1 液压泵模块

该模块用来计算液压泵入口和出口的液压油流量,模型中考虑了泄漏和油液压缩性因素对流量损失造成的影响。液压泵出口a处的流量与压力的方程为

入口b处的流量与压力方程为

式中,pa、pb分别为液压泵出口和入口的压力;Qa、Qb分别为液压泵出口和入口的流量;D为液压泵排量;ω为旋转角速度;Lip、Lep分别为液压泵内漏系数和外漏系数;pcase为储能器出口压力;Vo为液压缸初始容积;A为液压缸活塞的面积;x为液压缸活塞位移量;β为液压油弹性模量。

图2 液压泵模型

由式(1)、式(2)得到的模型如图2所示。

2.2 对称液压缸模块

为保证液压缸和液压泵之间的流量平衡,在EHA系统中采用对称液压缸。液压缸入口1处的流量与压力关系为

液压缸出口2处的流量与压力关系为

式中,p1、p2分别为液压缸入口压力和出口压力;Q1、Q2分别为液压缸入口流量和出口流量;Lia、Lea分别为液压缸内漏系数和外漏系数。

系统中,作动器水平连接一负载,负载和作动器输出力的关系为

式中,M为负载及连接机构折算到活塞杆上的总质量;Ff(x◦)为摩擦力矩;Fe为活塞负载干扰量分别为位移一阶、二阶导数,代表速度和加速度。

由式(3)、式(4)得到的模型如图3所示。根据式(5)可得活塞模型如图4所示。

图3 对称液压缸模型

图4 活塞模型

2.3 储能器及子回路模块

储能器的主要作用是防止气穴及吸收冲击压力,补充泄漏的液压油,维持最低紧急压力。其回路由储能器和单向阀构成。储能器的工作原理[3]可表示为

储能器净流入量为

式中,pinit为储能器初始压力;pcheck为单向阀开通压力阈值;Qo1、Qo2分别为液压泵a口和b口回路补油量;Bcheck为单向阀增益系数;Qcase为储能器净流入量;Qin为流入储能器总流量。

假设液压油等温压缩、等温膨胀,则储能器的压力与流量的关系为

式中,Vinit为储能器气囊初始体积。

由式(6)～式(8)得到的模型如图5所示。

图5 储能器模型

综合液压泵、对称液压缸和储能器的模型,三者间的流量方程为

本文忽略了上述三者刚性连接管路所产生的管压降,故可得到

2.4 摩擦环节模块

在位置伺服系统中,摩擦不但造成系统稳态误差,而且在低速时产生爬行现象、零速时产生死区、静摩擦大于库仑摩擦时产生极限振荡,因此,对摩擦环节进行补充控制是非常必要的,而准确的数学模型对补偿效果的重要性是不言而喻的。摩擦力(力矩)为速度的非线性函数,在摩擦接触面由相对静止到相对运动经历了4个阶段：接触面弹性形变阶段、边界润滑阶段、部分液体润滑阶段及完全液体润滑阶段。Stribeck曲线模型[4-7]能够较准确地反映各阶段摩擦力(力矩)T f(α)与速度(角速度)α的非线性关系,因此,该模型使用较广泛,具体方程为

式中,Tc为库仑摩擦力;Ts为最大静摩擦力;αs为速度(角速度)参考量;Kvis为黏性比例系数。

由式(12)得到的模型如图6所示。

图6 摩擦环节模型

2.5 无刷直流电机模块

无刷直流电机关系方程可表示为

式中,Ua为电枢端电压;i为电枢电流;R为电枢电阻;H为电枢电感;E为电枢反电势;Ke为电势系数;Te为电磁转矩;Kt为转矩系数;J为折算到电机轴上的转动惯量;Tl为负载转矩。

由式(13)得到的模型如图7所示。

图7 BLDCM模型

3 滑模控制

3.1 PID控制原理框图

在建立了EHA各部分模块后,利用MATLAB/Simulink的封装功能,将各子模块进行封装;然后根据各变量间的关系构成一完整的EHA位置伺服系统如图8所示,模型中各个参量值如表1所示。在本文中,首先采用典型PID控制器,参考信号分别为阶跃和正弦的位置信号。

图8 EHA的PID控制系统

表1 模型参数表

对阶跃位置信号系统响应比较快,如图9、图10所示。从图10可以看出,波形出现了振荡。由于静摩擦(Ts)大于库仑摩擦(Tc)(表1),PID积分项无法消除静差,在伺服系统运动过程中,摩擦的变化是非线性的且有负斜率特性,使系统出现了极限振荡现象。

图9 PID控制阶跃信号响应

图10 PID控制阶跃信号响应放大

正弦位置信号响应如图11～图13所示,从图13可以看出,当输入的位置信号达到最大值、即速度为零时,响应曲线发生畸变,出现平顶,同时相位也有滞后。从图12中也可以看出,当速度变得很小而进入死区时,误差显著增大出现跳变。从以上分析可以得出：典型PID控制器无法满足系统性能要求。

图11 PID控制正弦信号响应

图12 PID控制正弦信号响应误差

3.2 滑模控制分析

图13 PID控制正弦信号响应放大

滑模控制(sliding mode control,SMC)本质上是一种非线性控制,其非线性表现为控制的不连续性。在系统动态过程中,SMC可以根据当前的状态,依据系统要求的性能约束条件改变控制结构,使系统按照预定的滑模状态轨迹做小幅度、高频率的上下运动。由于滑模切换函数可以进行设计且与对象参数及扰动无关,这种理想的鲁棒性对工程应用很有吸引力。

在设计滑模控制器之前,首先应推导EHA伺服系统的状态方程。为了简化液压泵和作动器模型,本文作如下假设：在正常工作状态,储能器及其子回路流量为0,由此可得到：Qa=Q1,Qb=Q2。从液压泵流入/流出量等于从对称液压缸的流入/流出量可以得到负载流量Q L的表达式为

将式(1)～式(4)代入式(14)并考虑式(11),得

将式(12)代入式(5),得

将式(16)两边对时间t求导得

将式(16)、式(17)代入式(15)得

根据式(13)、式(18),选择状态变量X=(i,ω,x,=(x1,x2,x3,x4,x5)T,可得到状态方程

输入量为u=U a,输出量为y=x3。

3.3 滑模变结构控制器设计

本文应用趋近律方法设计滑模控制器,可以保证状态可达性,还可以控制趋近运动的具体轨迹,改善趋近运动的动态性能。

设系统跟踪给定的参考位置信号为r,则系统误差、系统误差变化率及误差加速度分别为别为参考输入的一阶导数和二阶导数。设计切换函数并采用等速趋近律的控制方式[8],可得：

c1、c2的值可使滑模运动具有渐进稳定性或良好的动态品质,一般有两种方法选定：极点配置法和二次型指标最优化法。由上可得

其中,常数ε表示系统的运动点趋近切换面s=0的速率,ε越小,趋近速度越慢;ε越大,则运动点趋近切换面的速度会较大,但因此引起的抖振也较大。将状态方程代人式(21)可得控制律u的表达式如下：

选取李亚普诺夫函数为二次型函数[9]：

其中,切换函数s(x)满足：可微、过原点,即s(0)=0。由式(23)可知 V(t)为正定,且V(0)=0。进而,通过计算得：由式(24)可看出李亚普诺夫第二法,控制系统在李亚普诺夫意义下是渐进稳定的。

3.4 滑模控制仿真

根据式(22)设计的滑模控制律,结合图8所给出的模型,并给定参数c1=30、c2=30、ε=10进行仿真。为便于比较,参考信号仍为幅值等于0.1m的阶跃和正弦位置信号。从图14、图15可以看到：系统响应速度比较快,曲线振荡被抑制,跟踪精度很高;从图16～图18可以看到：响应曲线在速度过零时没有出现死区,相位滞后得到了改善。比较图12和图17的误差曲线可以看到,在速度过零时无论是误差变化幅值还是误差变化率都显著地减小了。

图14 SMC控制阶跃信号响应

图15 SMC控制阶跃信号响应放大

图16 SMC控制正弦信号响应

图17 SMC控制正弦信号响应误差

图18 SMC控制正弦信号响应放大

以上仿真实验结果表明：在位置伺服系统中,滑模控制较PID控制具有更好的轨迹跟踪特性;在面对非线性摩擦、极限振荡等非线性对象时,滑模控制表现出更优秀的静/动态性能。

4 结束语

本文以非线性EHA模型为控制对象,分别设计了典型的PID控制器和滑模控制器。通过仿真实验,对两种控制效果进行了对比。实验结果表明,滑模控制对因非线性摩擦引起的死区现象具有较好的补偿效果,对极限振荡现象具有较好的抑制作用,较PID控制具有更好的静态性能和动态性能;同时,仿真结果验证了Stribeck曲线摩擦模型及参数的合理性。

[1] 马纪明,付永领,李军,等.一体化电动静液作动器(EHA)的设计与仿真分析[J].航空学报,2005,26(1)：79-83.

[2] Wang Shu,Habibi S,Burton R.Sliding Mode Control for a Model of an Electrohydraulic Actuator System with Discontinuous Nonlinear Friction[C]//Proceedings of American Control Conference.Minneapolis,2006：14-16.

[3] Habibi S,Goldenberg A.Design of a New High Performance Electrohydraulic Actuator[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2000,5(2)：158-164.

[4] Teeter J T,Chow M,James J.A Novel Fuzzy Friction Compensation Approach to Improve the Performance of a DC Motor Control System[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,1996,43(1)：113-120.

[5] Tan Yaolong,Chang Jie,Tan Hualin.A Adaptive Backstepping Control and Friction Compensation for AC Servo with Inertia and Load Uncertainties[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2003,50(5)：944-952.

[6] 苗中华,王旭永,刘成良.基于滑模变结构控制的液压伺服系统超低速轨迹跟踪[J].上海交通大学学报,2008,42(7)：1182-1186.

[7] 刘强,尔联洁,刘金琨.摩擦非线性环节的特性、建模与控制补偿综述[J].系统工程与电子技术,2002,24(11)：45-52.

[8] 刘金琨.滑模变结构控制MATLAB仿真[M].2版.北京：清华大学出版社,2005.

[9] 郑大钟.线性系统理论[M].2版.北京：清华大学出版社,2002.