新上市变质品的EPQ模型研究

陈六新 ，李 军，谢天帅

(1.西南交通大学 经济管理学院，成都 610031；2.重庆邮电大学 经济管理学院，重庆 400065)

0 引言

变质产品广泛存在于日常生产和生活中，如生鲜食品、水果、蔬菜、海鲜、电子类产品等，在存储流通过程中随时间的增加，其数量会因腐烂、损坏等原因而减少。目前我国变质商品在流通过程中造成的各种损耗非常大(水果、蔬菜采后的损失高达35%，肉类及水产品亦达10～15%)，每年仅变质食品采后的各种损耗之和高达千亿元之巨[1]。因而，对变质品生产库存控制规律的研究具有极强的现实意义。

经典的经济订货模型(EOQ)适用于产品成熟期(即需求为常数)，没有考虑产品具有变质的现象。1963年Ghare和Schrader研究了变质率为常数处于成熟期的变质品瞬时补货策略[2]。由于任何新上市产品都要经历市场扩张或成长期，在这一时期单位时间的需求随时间而增加，经过一段时间增长之后，进入成熟期，产品的需求相对稳定[3]。关于新上市变质品的瞬时补货策略研究较多。1995年Hill建立了需求在成长期呈指数增加，在成熟期稳定为常数的订货模型[4]。Hill的研究没有考虑零售商可以缺货的情形，1998年Mondal和Pal将Hill的研究扩展为允许缺货且缺货完全拖后供给，给出了先补给后缺货情形的订货策略[5]。1999年Wu等建立了缺货部分拖后供给的变质品订货模型，认为在缺货期间愿意等待的顾客会随等待时间的增加而减少，拖后供给因子是实际等待时间的减函数，研究了缺货部分拖后供给情形下的订货策略[6]。2000年Wu和Ouyang研究了在先缺货后补给和先补给后缺货两种情形下且缺货完全拖后供给的零售商订货策略[7]。2001年Wu[8]和 2003年Giri[9]建立变质率时变且服从weibull分布、缺货部分拖后供给的EOQ模型，研究了零售商的补货策略。2007年Deng等研究了在先补给后缺货、成长期可以缺货且缺货完全拖后供给情形下的订货策略，并指出文献[5]和文献[7]在模型求解中存在的问题[10]。Skouri等将文献[10]的模型扩展到了先缺货后补给且缺货部分拖后供给的情形[11]。文献[2～10]的新上市变质品库存研究主要考虑了变质率是否时变、是否允许缺货、先补给还是先缺货、缺货是否完全拖后供给等因素，研究了零售商的订货策略，没有考虑边补货边需求的EOQ模型(即经济生产批量模型，EPQ)。

对于边补货边需求新上市变质品EOQ模型的研究很少。2008年张旭梅等研究了新上市变质品在成长期的生产库存[12]。2006年Manna和Chaudhuri建立了在不允许缺货或允许缺货且缺货完全拖后供给情形下单位生产成本随生产规模的扩大而降低的经济生产批量模型[13]。但是，其在模型中假定“成长期不停止生产”，对于某些成长期较长的新上市变质品(如电子类产品)而言，若成长期不停止生产，会使库存成本和损耗成本过大、生产库存策略非最优，导致不经济现象。故需要取消文献[13]的该项假定，即在“成长期也可以停止生产”的条件下来研究新上市变质品的生产库存策略。

1 假定与符号

由于电子元件对存放环境的温度和湿度要求苛刻，在存放过程中易出现品质下降的问题，例如由于温度和湿度的影响而使得产品失去功能，该类产品具有变质的特征。电子类产品由于市场竞争激烈和产品生命周期缩短，在成长期内产品的需求快速增长，需求不可能无限制地增长，在成熟期需求相对稳定。因此对新上市变质品要考虑成长期和成熟期需求不同而制定库存策略[13]。本文的研究基于以下假设：

（1）需求呈阶梯型。具有广泛接受度的新产品在生命周期的成长期其需求随时间变化呈递增趋势，在成熟期需求相对稳定。本文考虑新产品的第一生产周期长于成长期。

（2）生产率为需求率的倍数。

（3）生产有规模效应，生产成本随生产规模的增大而减少。

（4）物品存在变质现象，产品进入库存系统就开始变质损耗，变质率为常数。

（5）生产库存系统不允许缺货。

文中符号规定如下：p为产品的销售价格；C表示固定启动成本；C2表示单位产品单位时间的库存费用；t1是生产期；t2是生产周期；产品的需求率为，其中需求增长率D和成长期μ均为正常数 (如图1)；R=βq表示生产率(常数 β 大于 1)；C1=α1q-γ表示单位生产成本，其中 α1、γ 为正常数且γ≠2，可以看出，单位生产成本是生产率的减函数[13]；θ表示产品的变质率(0＜θ＜1为常数)。

2 模型建立及求解

根据上述假定知，库存函数应满足的微分方程为：

本文的主要目的是寻求新上市产品第一个生产周期的最优生产策略①若第一周期的长度小于 T1＜μ，则第二周期的计算只需将式(1)的 t∈(0＜t1)和 t∈(t1，t2)分别更改为 t∈(T1，T1+t1)和 t∈(T1+t1，T1+t2)，重复本文后面的运算过程即可得到最优生产策略；当T1≥μ时，则有q(t)为常数，已有经典文献研究。其余周期以此类推。，由于其需求率为一个阶梯型分段函数，所以需分三种情况进行讨论：(1)成长期不停止生产(库存示意如图2)；(2)成长期大于生产期小于生产周期(库存示意如图3)；(3)成长期大于生产周期。

2.1 成长期不停止生产模型(t1≥μ)

在成长期不停止生产的情况下，根据式(1)，可以求得库存函数为：

由于在t1时刻库存函数是连续变化的，即，由(2)式可得

由式(2)和式(3)可得，卖出产品的数量为：

库存费用为：

生产批量为

由式(3)～(6)，得到总利润函数为：

2.2 成长期大于生产期小于生产周期(t1≤μ＜t2)

在成长期大于生产期小于生产周期的情况下，根据式(1)，库存函数应为：

由于在t1时刻库存函数是连续变化的，故有

生产批量为：

类似于2.1节的计算，可得总利润函数为：

2.3 成长期大于生产周期模型(t2≤μ)

在成长期大于生产周期的情况下，根据式(1)，库存函数应为：

由于在t1时刻库存函数是连续变化的，故有

类似于2.1节的计算，可得总利润函数为：

以 π(t1，t2)表示在(0，t2)的单位时间平均利润，由式(7)、式(9)和式(11)可得，平均利润函数为：

2.4 最优生产策略的确定

为了得到使 π(t1，t2)最大的 t1和 t2，由式（3）、（8）式和式（10），可得 t1是 t2的函数，π(t1，t2)实际是 t2的一元分段函数π*(t2)，不能从整体上说明它的凹凸性。为了得到最优的生产策略，给出如下引理。

引理 若f(x)是定义在[0，+∞)中的关于x的严格凹函数，x0＞0 为其驻点，则的最大值点必不大于x0。

证明 f(x)是定义在[0，+∞)中的关于x的严格凹函数，对于 x1＞x0＞0，有 f(x0)＞f(x1)，即故引理成立。

下面根据式(12)，分析π*(t2)特性，得到最优解的存在区间，并得到求最优解的步骤：

(1)当 t1≥μ 时，由式(3)可得 t1是 t2的函数，则 Π1(t1，t2)和π(t1，t2)均是 t2的一元函数，分别用 Π1*(t2)和 π1(t2)表示。 设的解为 t2=μ1，当 t1=μ 时使式(3)成立的 t2为 μ2。 若μ2＞μ1，则此种情形不存在最优策略。 若 μ2≤μ1，则由Π1*为严格凹且由引理知，π1(t2)满足条件的最大值点 t2*1必存在于[μ2，μ1]中。

(2)当 t1≤μ≤t2时，由式(8)可得 t1是 t2的函数，则 π(t1，t2)实际是 t2的一元函数 π2(t2)。 当 t1=μ时，式(3)与式(8)相同，故使得式(8)成立的 t2仍为μ2。若 μ＞μ2，则此种情形不存在最优策略。若 μ≤μ2，则由连续函数 π2(t1)的满足条件的最大值点 t2*2必存在于[μ，μ2]中。

(3)当 t2≤μ 时，由式(10)可得 t1是 t2的函数，π(t1，t2)是 t2的一元函数在(0,μ]上连续，所以 π3(t2)在(0,μ]存在最大值点t2*3。

综上所述，可以得到问题最优解的确定步骤：

①根据已知参数，如上确定三个搜索区间，编写Matlab程序，在相应的区间搜索出对应的最大值点t2*i。

②将 t2*i代入 πi(t2)(i=1，2，3)中，使 πi(t2)最大的 t2*i即为最优解t2*，并求出最优的t1，从而得到最优生产批量Q*。

3 算例及参数分析

某制造企业主要生产某种变质品，相关的参数如下：C=100,θ=0.1,p=15,D=200，C2=1.5,μ=5,α1=2000,β=4,γ=0.95。 按文献[13]的模型，借助数学软件Matlab7.1可得t1=5.0016，t2=9.9458，第一周期的生产批量为10006，最优平均利润为1945.70；根据本文模型可得t1=4.6066，t2=8.9940，第一周期的生产批量8488，最优平均利润为2003.25，很明显本文得到的生产策略优于前者。故文献[13]的模型“成长期不停止生产”的限制条件不合理，得到的策略可能是低效的(见表1(a),表1(b))。

将上例的单位库存成本、变质率和需求增长率分别取不同的值，按照文献[13]的模型计算得表1(a)、表2(a)和表3(a)，利用本文的模型计算得表1(b)、表2(b)和表3(b)，将所得数据进行比较可以得到如下结论：

本模型得到的策略是有效的，而且库存成本越高、变质率越低和需求增长率越大，本文策略的有效性越明显；当库存成本增加时生产周期缩短，生产期可能从大于成长期变为小于需求增长期，平均利润降低；反之亦然。变质率增加时生产期增加，生产周期缩短，平均利润减小；反之亦然。需求增长率增加时生产期缩短，生产周期缩短，平均利润增加；反之亦然。

在实际生活中，单位库存成本和变质率增加必然会引起库存费用和损耗费用的增加，利润减少，适当缩短经营周期，减少库存和损耗，可以增加收益，从变化的结果看与实际情况相符合。根据灵敏度分析，库存和损耗变化的情况下，要获取最大利润，管理者应该通过有效办法减少库存成本和损耗成本。

4 结束语

本文研究了新上市变质品的生产策略，通过分析得到了寻求最优生产策略的方法，扩展了文献[13]的模型，丰富了库存理论。利用数值仿真，对参数变化在本文和在文献[13]下所得结果进行比较，说明“成长期不停止生产”的限制条件是不合理的，可能导致所得到的策略是低效的。这一结论为生产管理部门的决策提供了有力的理论依据。该问题可以考虑允许缺货经济生产批量做进一步研究。

表1 (a)库存成本对平均利润及生产策略影响

表1 (b)库存成本对平均利润及生产策略影响

表2 (a)变质率对平均利润及生产策略影响

表2 (b)变质率对平均利润及生产策略影响

表3 (a)需求增长率对平均利润及生产策略影响

表3 (b)需求增长率对平均利润及生产策略影响

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