关于“用水平面代替水准面的限度”的再讨论

过家春，高飞，田劲松

(1.合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽合肥 230009； 2.安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036)

关于“用水平面代替水准面的限度”的再讨论

过家春1，2∗，高飞1，田劲松2

(1.合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽合肥 230009； 2.安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036)

基于正射方位投影理论，重新分析了测量学课程现行教材中关于“用水平面代替水准面的限度”的论题，得出有益结论，并提出相应的修改建议。

水准面曲率；正射方位投影；长度变形

1 引 言

测量学是测绘工程专业的专业基础课，亦是众多非测绘专业的公共基础课。该课程所使用的现行教材大多数都有“用水平面代替水准面的限度”一节的论述。文献[1，2，3]分别从不同角度对传统教材中该节内容论述的合理性、正确性予以讨论。笔者在教学过程中也逐渐发现这一问题，认为该论题仍有进一步深入研究的必要。本文在分析上述文献论述的基础上，指出存在问题，并从地图投影学的角度出发，进一步系统阐述相关概念，认为以透视方位投影中的正射投影模型研究该论题更具合理性。

2 对现行教材中“用水平面代替水准面的限度”论述的再认识

现行教材中关于“用水平面代替水准面的限度”一节的论述在各类测量学的教材中基本相同，限于篇幅，此不赘述，读者可参阅文献[4]。该论述中，关于水准面曲率对高差的影响，已经是没有争议的；关于水准面曲率对距离及角度的影响，文献[2]及文献[3]分别指出其脱离实际、与高斯投影理论相矛盾等。而实际上，现行教材中的论述对其讨论的依据、原理等诸多方面并未表述清楚，合理性也有待商榷。文献[2，3]的论述也都存在一定的片面性和局限性。笔者认为，应该从以下几个方面重新认识这一问题:

(1)由大地测量学及地图投影理论我们知道，大地水准面是外业测量的基准面，地球椭球面是控制测量计算的基准面，而地图投影的过程是将椭球面上的各元素归算到平面上的过程，在进行地图投影前必须先将地面观测元素归算到椭球面上。所以，现行教材中的论述的依据是基于未考虑大地水准面与地球椭球面的差异的前提下，即未考虑大地水准面差距及垂线偏差，同时将椭球近似当成圆球看待的。对局部区域而言，将椭球进一步简化为圆球是合理的[5，6]。

(2)现行教材中的论述分别从对距离、角度、高差3个方面的影响来研究。其中，地球曲率对高差的影响即使在很短的距离内也必须加以考虑是毫无争议的。以球面角超理论研究水准面曲率对角度的影响笔者认为也是合理的，文献[3]的论断实际上是基于高斯投影理论考虑的。因此，本文讨论的重点是“用水平面代替水准面的限度”中的对距离方面的影响。

(3)现行教材中的论述实际上是基于透视方位投影中的球心投影进行阐述的，而文献[2]和文献[3]的论述局限于高斯投影理论。由于普通测量工作是把三维空间分解为平面坐标系统和高程系统，所以，研究“用水平面代替水准面的限度”的一个重要目的是为建立独立平面直角坐标系的区域限度寻求理论依据。事实上，建立独立平面直角坐标系既不是基于高斯投影，也不是球心方位投影。由于任何小块地区的平面图都可视为正射投影图[7]，故以正射方位投影来研究“用水平面代替水准面的限度”中的对距离方面的影响实际上更为合理。

3 基于正射方位投影理论的“用水平面代替水准面的限度”的长度变形分析

3.1 透视方位投影原理[7，8]

透视方位投影根据视点距离球心的距离D的大小不同可分为球心投影(D＝0)、球面投影(D＝R)、外心投影(R＜D＜∞)及正射投影(D→∞)。

透视方位投影的一般公式为

式中，L＝R＋D。

当D＝0时，可得球心投影的公式

当D→∞时，对式(1)取极限，即得正射投影的公式

3.2 正射方位投影与球心方位投影的长度变形比较与分析

由式(2)、式(3)可知，球心方位投影中沿垂直圈与等高圈的长度比分别是μ1＝sec2Z和μ2＝secZ；正射方位投影沿垂直圈与等高圈的长度比分别是分别μ1＝cosZ和μ2＝1。因为垂直圈与等高圈投影后相互正交，所以μ1、μ2也就是变形椭圆的极值长度比。

现行教材中的论述，实际上仅论述了球心方位投影沿垂直圈方向的长度变形，而未涉及沿等高圈方向的长度变形。当然，该投影沿垂直圈方向的长度变形更大。

对于正射方位投影，沿垂直圈方向的长度变形比μ1＝cosZ＜1，而沿等高圈方向的长度无变形(μ2＝1)。

设垂直圈方向弧长S投影后为ρ，则投影变形

将sinZ按级数展开，得

因为Z值很小，略去5次幂以上高次项，将式(5)带入式(4)，并考虑得

对式(6)两端同除以S并取绝对值，得相对误差

此结论亦可按下式较为容易的获得:

根据上述讨论，按正射方位投影的变形规律，用水平面代替水准面对距离的影响，在容许误差范围内的测区面积还可以进一步扩大:可以认为在半径20 km的范围内，以水平面代替水准面所产生的距离误差，可以忽略不计。

另一方面，正射方位投影在等高圈上的长度变形比μ2＝1，也是比球心方位投影更为符合局部范围内普通测量工作的规律的。因为普通的测量工作中，地形图是正射投影图，正射方位投影保证了图廓区域等高圈方向上的无变形；对于距离测量工作，普通的测量工作中一般是不考虑实测边长到椭球面的归算及椭球面到投影面的归算两项距离改正数的，即直接将实测水平长度作为量距成果。

综上所述，以正射方位投影理论来讨论水平面代替水准面对距离的影响，比以球心方位投影理论来讨论更具合理性。

4 建议与思考

根据以上分析，笔者认为对现行教材中“用水平面代替水准面的限度”一节内容进行改革和更新是十分必要的。本文提出以下几点建议供参考。

(1)文献[2]及文献[3]分别认为该节内容与实际脱节，违背高斯投影理论，应当予以删除。本文认为直接删除是不妥当的。因为测量学课程属地形测量学范畴，大多内容并未涉及高斯投影理论，以水平面代替水准面是该课程的基本理论前提。与高斯投影相比，以正射方位投影的投影中心等同于高斯投影的中央子午线，将式(7)与高斯投影的长度变形概略值(m－1)＝比较，可以看出，在远离测区中心的过程中，高斯投影比正射方位投影长度变形增加更快。所以，在讨论“用水平面代替水准面的限度”这一论题时，以高斯投影理论作为理论依据是不够妥当的。

(2)该节课程应进一步明确阐述其论述的理论依据，尤其是大地水准面近似为椭球面，椭球面近似为圆球面的“两次近似”过程应该阐述的更为清楚一些。

(3)现行教材中该节内容从结构上来看显得较为孤立，缺乏前后衔接。前已叙及，研究“用水平面代替水准面的限度”的一个重要目的是为建立独立平面直角坐标系的区域限度寻求理论依据。另外，水准面曲率对高差的影响即使在很短的距离内也必须加以考虑的结论，实际上是后续章节中水准测量中前后视距大致相等、累积差不超过一定限值，三角高程测量采用对向观测或加曲率改正的理论依据。因此，该节课程对这些内容应加以说明，使前后连贯，相互衔接，结构上更为合理。

(4)根据本文研究，以正射方位投影理论来论述用水平面代替水准面对距离的影响比以球心方位投影理论来论述更具合理性。

另外，用水平面代替水准面的限度、建立独立平面直角坐标系的区域限度，实际上并非仅仅取决于水准面曲率对距离、角度的影响，而是与实际测区内的高差大小、测量工程的性质、精度要求、成果是否统一到国家大地坐标系(采用高斯投影)等因素密切相关。

5 结 语

测量学是测绘科学的基础课、入门课。随着测绘科技的进步，该课程的知识内容、结构体系不断发展更新。而学生学习该课程前，大都没有测绘科学方面的相关理论基础。因此，加强测量学的教材建设，合理更新教材的知识内容和结构体系，是测绘科学教学改革的重要课题之一。就“用水平面代替水准面的限度”一节而言，由于其牵涉到众多有待进一步深入学习的测绘知识，所以在论述上尤其应注意内容的正确性、合理性，做到既深入浅出，难易程度适当，又不失其科学严谨性，使之更有利于初学者的自主学习，启发学生的思考。

[1]张坤宜，覃辉，金向农.交通土木工程测量[M].武汉:武汉大学出版社，2003:98～100

[2]张坤宜，魏德宏，王金龙.土木工程测量教材以“定位”为核心的绪论向导[J].测绘通报，2006(8):71～74

[3]翟翊，付子傲.对“水平面代替水准面的限度”的再讨论[J].北京测绘，1999(3):41～43

[4]王侬，过静珺.现代普通测量学(第二版)[M].北京:清华大学出版社，2009:19～21

[5]施一民.电磁波测距边归算至投影面的公式论证及应用讨论[J].测绘通报，2000(12):6～7

[6]孔祥元，梅是义.控制测量学(下册)[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社，1998:7～12

[7]祝国瑞.地图学[M].武汉:武汉大学出版社，2004:56～66

[8]焦健，曾琪明.地图学[M].北京:北京大学出版社，2005: 121～133

Rediscussion on“The Extent of Using Horizontal Plane to Replace Level Surface”

Guo JiaChun1，2，Gao Fei1，Tian JinSong2
(1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.School of Science，AnHui Agricultural University，Hefei 230036，China)

Based on the theory of orthographic projection，this paper reanalysed“the extent of using horizontal plane to replace level surface”，and drew different conclusions.Finally the author put forward the viewpoints and suggestions on the thesis.

curvature of level surface；orthographic projection；distance distortion

1672－8262(2010)03－91－03

P221

B

2009—10—20

过家春(1981—)，男，硕士生，主要从事测绘科学的教学与研究工作。

安徽农业大学测量学教学改革项目(编号:051227)