《高等代数》课程实验教学探究

周立平

（湖南科技学院，湖南 永州 425100）

0 引 言

众所周知，高等代数是数学专业学生学习大学数学过程中最为重要的专业基础课之一，是学习数学专业后继课程的基石。通常，高等代数是开设在大学一年级第一、二学期。它以其代数理论的抽象性、数学思想的深邃性吸引着广大学生，但是也正因为其理论抽象，也给很多学生的学习造成了不小的困难。同时，作为基础课程，该课程的教学质量的好坏对学生大学四年里数学素质的提高和数学能力的培养有着非常深远的影响。

1.等代数课程教学的现状

笔者通过几年的教学中发现，在教师的教与学生的学之间，存在着较为突出的矛盾，其表现主要有：

1.1.师侧重基础理论教学与学生侧重课程知识的应用之间的矛盾

一方面，教师课堂上讲授的东西基本都是纯粹的理论、证明、计算过程，几乎没有任何实验，学生感觉难度大，太抽象，不容易理解。毕竟，大一新生刚走过高考的“独木桥”，在中学里一直被“填鸭”式教学方式所灌输，形成了一些定性思维，认为学习时只要死记硬背即可。然而，大学中数学的学习与中学截然不同，对知识理解要求很高，这也使得学生感觉不适应大学里数学课程的教学方式。另一方面，我们通过调查发现，很大一部分学生反映对于高等代数课程，不知道“何以学”、“为何学”，感觉离现实太远，不知道这样抽象的数学理论在生产、生活中究竟有何实际应用，从而缺乏自我学习的动力，甚至有些学生因此而丧失了对数学的学习兴趣。这个结果与我们在课堂教学重视理论证明过程，轻视实验、实践，是分不开的。当然，这也是历来数学课程教学过程中的一大诟病。

1.2.师割断课程间固有联系与学生融合各课程知识点的需要之间的矛盾

就大学数学课程开设而言，很多学校把高等代数和解析几何作为两门不同课程分开开设，并且在同一学期开设。这就为割裂两门课程间联系提供了“可趁之机”。事实上，高等代数的很多知识点与解析几何是非常相关的，或者是相通的，而把它们分开且同学期开设，这势必使得教师在教学中就不会很好地将高等代数的相关知识点与解析几何相结合，进行综合全面描述，人为地割裂了课程之间的纽带，把原本可以较为直观表达的东西，变成所谓的深奥的抽象的东西，造成了学生学习吃力的尴尬局面。这种情况同样也发生在高等代数与数学分析两门课程当中，学生虽然学习了数学分析，却不能将之与高等代数相结合来思考数学问题。

1.3.堂教学教师讲授容易与学生课后解题困难之间的矛盾

做为过来人的教师，经过课前精心备课、课堂上细心的讲解，能很轻易完成教学任务。而反过来，学生在课堂上听得津津有味，似懂非懂，可是一旦下了课后，书本上习题却解答困难，甚至解答不出。学习较认真的同学，遇到与课堂上所授类似的习题，“依葫芦画瓢”还是会做，若出现未讲过的新题型，思想顿时僵化，就无从下手，甚至连思考都不会了，只留下一脸茫然。这也说明，在教学中教师的教与学生的学处于一种不匹配或者说不搭调的状态，表明学生没有像教师所臆想的那样去思考问题，其数学思维没有很好的得到锻炼，没能真正把握知识的本质。

基于以上现象，究其根本原因是教师教授理论的抽象性与学生学习知识具体性的需要存在着较大矛盾，没有把抽象理论与客观实际联系到一起，学生学习过程中缺乏必要的认知与实践过程。教学中仅仅单一的从理论直接过渡到理论，而不是从实践中提炼出来，应用到实践中去。如何来解决这一问题呢？这也是恰恰是本文的目的所在。

2.等代数实验教学的必要性与研究意义

实验教学是对理论教学十分重要的补充之一，是教学中不可或缺的部分，相对于高等代数理论教学它有着得天独厚的优势，主要表现在以下几方面。

2.1.利于发挥教师的主导作用，突出学生主体地位，

在数学相关理论课程的课堂教学中，大多数教师教学仍旧停留在以讲授为主，甚至是全部为讲授，至多偶尔穿插些习题。在前面我们也提到了，这使得部分学生因感到课程知识与现实生活相背离，而缺乏学习动力。教师主动的教，与学生被动的学产生了本末的倒置，使教学双方的作用均没有得到很好的发挥，不利于教学。而事实上，高质量的教学，应当体现在课堂中教师作用是“导”而“引”，学生作为主体应“入”而“学”。然而，基础课程又有区别于其他后继课程不同的特点，作为基础课程，其基本知识点学生还未能掌握，何以又能主动去学？这也凸显出一个矛盾。也正是如此，基础课程势必要采取相应措施，来为后继续课程学习做出铺垫。因此，实验教学就显得非常迫切了。通过实验教学，数学理论得到了验证，学生的数学思维得到加强，同时也使学生的被动学习转为主动学习，提高学生的认知能力和动手能力，增加学习的趣味性，更好的体现学生的自我价值。

2.2.利于将高度抽象化的代数理论与直观具体化的实验紧密结合，做到抽象与具体的统一

高等代数课程中有非常多的基本概念、定理，并且大多是比较抽象的，比较复杂。然而，数学的美也正在于此。它以其抽象的理论深刻揭示了现实生活中的万千事物的区别与联系。事实上，数学的概念和定理不是从天上掉下来的，也不是数学家头脑里突然蹦出来的。数学的概念是从客观实际中抽象出来的，或者从数学本身向前发展的需要引出来的；数学的定理是为了解决实际问题或数学内部提出的问题，进行探索，做出猜测，然后通过深入分析，逻辑推理和计算才得出来的[1]。而在教学当中，实验却能还原或者近似还原概念、性质、定理所产生的背景，并在此背景下验证或重现概念、性质、定理所产生的过程，有利于揭示代数理论的基本概念、性质、定理的内涵与外延。反过来，它也能将理论知识进行具体化、形象化，这也符合学生的认知规律，使学生更易于理解与掌握。

2.3.利于联系相关课程，形成学生知识架构的整体性

虽然高等代数和解析几何两门课程的课程体系和知识结构都已经相当成熟，也具有自身理论的完整性，但就其内容与方法而言，两者之间又可以互相依赖、互相渗透和互相促进的，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。 只有结合了两门课程，才能弥补两门课程内容以及方法之间的内在联系的不足，避免两门课程知识的分割和课程间方法上的隔离。同时，也能使学生的对各课程知识掌握做到融会贯通，使其数学思想具有整体性、系统性，更好地掌握数学思想与方法。

2.4.利于将数学建模思想渗透到高等代数课程的教学当中

在高等代数中融入数学建模思想是必要的，也是可行的。首先，数学模型是数学知识的载体，即通过把抽象的理论知识结构化、形象化、实用化而形成的数学模型，有利于学习者对知识的理解，从而实现理论知识的系统化。其次，数学建模思想是数学模型的灵魂，是贯穿理论知识的主线。在高等代数的一些概念、性质、公理、定理和推论的教学中渗透数学建模思想，就能够分清各知识脉络以及它们的联系。再次，数学建模思想能将知识向深度和广度延伸，高等代数中有许多具体问题和定理还值得深入挖掘其中的知识点；与其它学科相结合方面的问题也有待进一步探讨。最后，数学建模思想是围绕一个现实需要解决的问题展开，有利于知识的针对性，激发学生学习抽象知识的兴趣[2]。而如何真正将数学建模思想渗透到课堂教学中去了？如何在高等代数课程中进行数学建模？对于此，最有效的途径就是数学实验。数学实验是数学建模中一个重要手段，只要引导得当，它可以从现实生活中抽象出代数问题，再运用相关代数知识，将其解决，最终又应用到实践中去。

3.等代数实验教学的一些建议

3.1.用多媒体技术手段辅助实验教学

多媒体技术具有信息量丰富、直观形象化的特点，是非常适合运用于实验教学。实际上，可以在n维向量空间等章节中，对于一维、二维、三维空间的相关理论，运用PowerPoint软件对向量的坐标、向量的夹角、向量的线性变换等进行演示，变抽象为直观。通过演示，这些理论被直观化了，学生理解起来就容易多了。

3.2.合计算软件相实现知识点融会贯通

高等代数课程教学中可以采用的计算软件有很多，像Matlab、Mathematics软件等，特别是 Matlab。作为科学工程计算软件，Matlab软件是基于矩阵代数基础上开发的，以矩阵运算为主。它提供了数值计算和符号计算两种模式，可以对高等代数各知识点进行验算，并且它具有强大的绘图功能，能清楚描绘一至三维图形，利于将理论结果进行直观化。如对于二次型化为标准形，其实质是利用坐标变换，将解析几何课程中所涉及的一般二次曲线方程为标准形，这也是二次型的几何意义所在。为此，首先可以在实验中进行情景模拟、再现，首先绘出一般二次曲面的三维图形；其次，再利用高等代数课程介绍的方法，如合同变换法、完全配方法等化二次型为标准形；再者，对新标准形绘出标准二次曲面；最后，分析新旧二次曲面联系与区别。这样，学生所学知识点得到验证，并且能与解析几何相结合，把知识进行了形象化，融合课程间的知识。

3.3.导学生用代数方法和知识对实际问题建立数学模型

代数就其大多数概念而言，都是有现实原型的和应用背景的。比如它与网络图论的关系，就是十分紧密的。如何来描述一个城市交通网络图？这时，我们就可以引导学生用矩阵来进行描述。如果把每个城市看作是一个结点的话，那么采用邻接矩阵来表示点和点之间是否有道路相连。1998年大学生数学建模竞赛中本科组A题是以98年洪灾为背景下的灾情巡视路线问题，其实质就是利用矩阵和图论的知识来找出最短哈密尔顿回路。又如数学建模中经常用到层次分析方法（AHP），其计算的基本工具就是矩阵。通过构造出各层次中的所有判断矩阵，再求出各方案对目标层的权向量，将其归一化。至于权向量的求解又可以采用求特征向量的方法来做，最后，再进行一致性检验。它还涉及到了以特征值向量各分量作为权重值来确定方案的优劣性。

3.4.导学生进行创新型实验的探究

创新也一直是培养学生数学素质的非常重要的方面。培养创新思维的关键是发展学生思维的深刻性。这包括思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度和深度。它着重于透过表面现象和外部联系，揭示事物内在的本质和规律。在实验教学中，我们可以适当采用给学生布置小课题的形式，要求学生通过理论分析，结合高等代数知识点，给出问题的解决方案，最后利用计算机实现问题解决。比如，代数中很多性质被广泛应用于Google、Yahoo等搜索引擎技术中。在网络上经常会要对某个或某几个关键词进行搜索，查找出相关或相似网页信息。而网站的搜索引擎会对各主题词文本进行分类，并且排序，然后给出查询结果。最常见的两类的分类问题分别是，将文本按主题归类和将词汇表中的字词按意思归类。这两种分类问题都可用通过矩阵运算来圆满地、同时解决。而分类的关键是计算相关性。计算相关性时，教师就可以引导学生采用代数学知识加以解决。事实上，我们可以使用向量的内积的相关知识来考虑问题。可以对两个文本计算出它们的实词的向量，然后求这两个向量的夹角。当这两个向量夹角为零时，新闻就相关；当它们垂直或者说正交时，新闻则无关。当然，夹角的余弦等同于向量的内积。通过这样的过程，引导学生进行创新型实验研究，开阔视野，锻炼他们的数学思维。

4.论

综上所述，通过在基础课程高等代数中开展实验教学，教师可以较好的变抽象的理论为直观的形象，同时也能顺利地与实际应用相联系，进而激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素质，培养他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，构建他们头脑中数学知识的整体性和系统性，使他们真正地喜爱上代数学，真正体会到代数学的美不仅在其本身理论，更在于其广泛的应用。

[1]丘维声.代数系列课程教学改革的理念和实践[J].中国大学教学,2005,(6):19-21.

[2]韦程东,周桂升,薛婷婷. 在高等代数教学中融入数学建模思想的探索与实践[J],高教论坛,2008,(4):28-30.

[3]钟祥贵,易忠.探析高等代数教学中创新素质的培养[J].广西高教研究,2002,(1):58-61.

[4]罗江.高等代数与解析几何课程改革研究与实践[J].黔东南民族师范高等专科学校学报,2005,23(6):7-9.

[5]北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1978.

[6]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社,1998.