大学数学课程“概率论与数理统计”教学的实践与认识

李学京

（北京工业大学应用数理学院，北京 100022）

大学数学课程“概率论与数理统计”教学的实践与认识

李学京

（北京工业大学应用数理学院，北京 100022）

结合多年教学实践，本文分析了概率论与数理统计课程目前存在的几个主要问题，并对其内容设置、教学方法的改进、应用能力的培养等方面提出了改革的设想.

随机现象；统计思想；统计应用；创新教育

无论人们意识与否，随机现象存在于我们日常生活的各个方面.如果对随机问题一窍不通可能会不知不觉地受到损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”.随着统计在国民经济中的应用日益广泛，国内有关加强随机性教学的呼声与日俱增，而“概率论与数理统计”是目前国内本、专科层次非数学专业唯一的一门处理随机现象的学科，所学内容是概率论与统计学的初步知识.由于这门课程思想方法不同于分析、代数等以确定性思维为基础的数学学科，思维独特，应用广泛，普遍反映学生难学，教师难教.如何使大学生对这门课程有一个比较深的理解，让学生在较短的时间内迅速掌握概率论与数理统计的核心思想及知识结构，并能够很好的利用统计学这个有用的工具呢？通过多年对这门课程的亲身教学实践，下面我就谈一谈自己的一点体会与看法.

1 依据市场对人才的需求，及时调整教学内容，转变“纯数学”的教学思路，注重应用

满足社会对人才的需要是教育工作的基本任务.当前，科学技术迅速发展，知识和信息日新月异，无时不刻不在爆炸性增长.这使得各行各业都有超量的数据迫切需要进行科学的处理.而统计学正好是这样一门用来从貌似杂乱无章的数据中寻找有用信息、发现规律的有利武器，可以毫不夸张的说，现代统计技术已经深入到社会的各个领域，它正在逐步改变我们的工作和生活.因此，我们培养的高素质人才不仅要对统计学及其基础学科——概率论略知一二，而且要学会有效的利用这个武器.其重要性如同英国著名逻辑学家和经济学家Jevons所说：“概率和统计是我们生活中真正的引路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为.”

诚然，概率统计依赖于数学，但并非是其他数学基础学科那样的“纯数学”.统计学的生命力就在于应用，应用为统计学的发展赋予活力.越是先进的工业化国家，统计普及率就越高.如美国是统计学最发达国家，它拥有世界上大多数的统计应用及大量优秀的统计学家.在美国，最好的统计专业有独立于数学系的统计系，它还有许多与某些应用领域密切关联的统计系，比如医学院的生物统计系，管理学院或商学院的统计系，及计算机和统计科学系等等.许多著名大学的统计系都十分兴旺发达，培养出来的学生也很紧俏.美国的统计之所以先进是与全民族文化素质及整体经济水准有关的.几乎每一个大学生都知道统计这个学科，而且对统计学和统计学家都十分尊重；许多非统计学科都把统计作为必修课，这样，当人们遇到了统计问题，也都知道如何去寻求答案.因此，统计在美国的应用十分广泛，统计成为除计算机专业之外的最好找工作的专业.美国的医药界、工业界，如汽车工业、化学工业及电讯工业等都雇用了世界上最优秀的统计学家，他们对这些工业的发展起了重大作用.此外，工商业、金融管理、市场和民意调查及各级政府同样大量地、普遍地和经常性地使用统计.因此，我们在培养大学生时，不仅要强调概率论与数理统计作为数学的基础地位，更要认识到它对提高大学生综合素质方面的重要作用.改变过去重理论，轻实践的做法，加强概率统计内容的教学和应用.

此外，还根据不同学科应用概率统计的不同需求，及时调整教学内容.统计学在各个领域的成功运用也推动了自身的迅猛发展，各种新颖的统计思想、高效的统计方法层出不穷，必然带动这一学科内容的不断更新；而另一方面，由于师资、专业方向等方面的差异，作为公共基础课的概率统计的教育也必然是多元化的.除表现在教学内容上以外，统计学基础教育的教学水平是永远不会与统计学发展的先进水平并驾齐驱的，而只能是一个动态的跟踪过程，跟踪新技术潮流是这一学科的一个明显的特点.但是，我国的数理统计过去长期以来生存于以纯数学占主导的数学系中，对它的重视程度明显不够，教学内容死板，更新速度较慢，不仅极大的限制了统计的应用，也不利于培养与国际接轨的高素质人才.

2 重视直观、注重统计思想方法的渗透

概率统计起源于解决赌博问题中的分点问题，又是在解决各种实际问题的实践中发展起来的，具有丰富的实际背景.因此，在教学中讲清问题的背景，突出实践性尤为重要.教师的一个重要工作是去创设学习的资源和环境，让学生有多种机会在不同的情景下了解所学知识的应用.甚至可以让学生独立完成发现知识、解决问题、提高技能，尤其是对那些易错易混淆的知识，不要一味地由教师给予，而要引导学生自己在实践中发现；实践经验也要让学生自己摸索总结出来，而不是单纯由教师灌输.因此，教师的讲解过程应该精练，最好是通过简单的例子用实际操作的方法进行，这样，学生才更容易理解、接受，也对培养大学生应用知识能力起到很好的促进作用.

比如，随机性和规律性是统计学的主要思想之一，它们是关系密切的孪生子，随机性是指不能够预测某一特定事件的结果，规律性是指我们从许多事件中收集数据时发现的模式.但是，许多学生习惯于确定性思维，往往对这些问题感到不可思议：天气预报明日下雨的概率是80%，那么明天到底是下雨还是不下雨呢？为什么第二天没有下雨，反倒是预报下雨概率只有20%的日子下雨了呢？这些困惑都是因为学生对随机性和规律性的关系不够理解.事实上，一个随机事件的结果是不确定的，所以我们没法确定是否会发生意外；但是当我们把随机的事件放在一起，它们的规律性就会比较明显.尽管某个人是否遭遇车祸是未知的，但当你考察所有的事故时，就会发现其中带有某种规律性，如美国差不多每年都有4万人死于车祸.统计学的作用就是要把隐藏在随机性中的规律性寻找出来，因此，统计学是“办大事”的，它始终要站在研究对象的整体角度来看问题，总是以大量的观测和综合分析为前提的.

再比如“平衡”的思想.决策分析是利用概率来做决策，我们常常面对各种选择和决定，很多非正式的场合，我们会凭借“直觉＋概率”来做出大多数决定.当我们需要进行长距离旅行时，我们面临是否乘坐飞机的选择，飞机坠毁是有可能的，我们可以不坐飞机并躲开坠毁的概率.但是，空难发生的概率又很小，所以仍然会有很多人选择坐飞机并快速到达目的地.我们必须要估计空难的概率并对照坐飞机的速度所获得的利益.决策分析就是一个在风险和收益间达到“平衡”的过程.这种“平衡”的思想在统计中随处可见：做估计的时候，我们要面临大样本量提高准确度和小样本量降低复杂度之间的选择；进行多元统计时，我们要面临高维数据的处理困难和低维数据的信息损失之间的选择；选择统计方法时，我们则要面临参数方法的高效性和非参数方法的低假定之间的选择等等.在这样的两难境地，任何选择都要面临一定的“损失”，讲清这种思想，引导学生学会权衡利弊，既提高了学生学习的兴致，对提高学生的综合素质也是很有帮助的.

3 改善教学策略和教学方法

（1）创设问题情景，引发学习需要.

由于概率统计是注重应用的一门学科，在现实中有着大量的案例，因此，除了要让学生掌握一定的理论知识，更要其学会利用随机性思维去看待事物，还要培养学生的实际操作能力，这就要求教师采用与其他数学课程不同的教学方法.为了使学生产生浓厚的学习兴趣，应该通过实际生活中学生熟悉的例子来设置教学的具体情景，从而体会概率统计的内容，并和数学建模相联系，使学生能够结合感性认识对所学理论有一个很好的认识和更大的升华.比如在讲授“线性回归”这一方法时，我举出了网上常见的“通过父母身高预测子女身高”的公式，虽然父母身高与子女身高的真正关系决非一个简单的线性公式，但是通过这样一个简单的线性关系确实有助于预测子女身高（回答了学生为何可以采用线性回归的疑问）；这种预测是针对大部分人而言的，是对“同等条件下平均身高”的一种预测（说明线性回归是对条件期望函数的一种“回归”）；而且是带有随机误差的（同一父母子女的身高也是有差别的），甚至模型都是错误的（变量之间的关系不一定是线性的）.但错误的未必是没用的，引导学生学会接受一定的“误差”（数学建模中，有些假定都是未必存在的，但数学建模仍然是有用的）.这样的例子一开始就引发了学生强烈的兴致和求知欲望，而且简单明了，较好地完成了教学内容.

此外，统计学也为计算机计算等提供了大量的高效的算法，以及许多界面友好、简单实用的计算机语言，比如R语言，该软件本身是免费的，对广大科研工作者处理数据是很有帮助的.因此，我在授课过程中经常穿插一些算法的实例，让学生实实在在的看到统计在自己专业的应用前景，这对于提升学生学习的动力是很有好处的.

（2）采用多媒体课件、软件演示、案例教学等多维立体的教学方法，变“授人以鱼”为“授人以渔”.

教学改革不仅仅是教学内容的改革.教学是在教师和学生互动的环境下，通过某些方式所完成的知识建构和能力培养的过程.选择教学方法的唯一目标就是学生受益最大化.在多媒体技术迅猛发展的今天，单纯靠“课本＋板书”组合已经不能满足课堂教学的需求，如何充分利用多媒体提高课堂教学的效率是当下每位教师都要面临的重要课题.通过本人多年的运用多媒体技术授课的实践，确实是可以达到事半功倍的效果.因为多媒体技术的动态性、交互性、清晰的界面等对学生的学习兴致是很好的促进，而且使学生易于分清重点，攻克难点，不仅可以学到一些概念、公式等知识，也清楚了知识的来龙去脉，模型产生的全过程.这对培养学生的探索能力也是有好处的.

此外，由于计算机技术中广泛的应用了统计学方法，有许多软件都安装了统计计算包，如Matlab等，也有许多专门的统计软件，如SAS，SPSS，R等.计算机与教学环境相结合，尤其是这些界面越来越友好的统计软件的应用，已经使得旧的教学“三部曲”——做笔记、记公式、做习题，越来越不适用于大部分学生.即使概率统计是许多同学在将来的工作中必须要用的，也可以借助于这些统计软件.因此，适当的对这些内容进行穿插是真正“授人以渔”，不仅对培养学生的动手能力有益，对学生加深对所学理论知识的理解以及在未来的工作实践中更好的利用统计也是很有帮助的.

案例教学也是广大概率统计教师应当重视的.它在某些实践性、操作性很强的内容运用是很合适的，可以使教学内容与实际接轨，知识更加生动活泼，易于引起学生的兴趣和思考.而统计学的广泛应用为我们提供了极为丰富的教学案例.比如在讲授方差分析，我列举了著名统计学家Fisher把方差分析成功运用到农业发展之中的案例，使学生很容易的就领会了方差分析的思想等.

4 积极推进考核形式的改革

考核是对学生最终学习情况的总结，也是对教师教学完成情况的评估.考核不单纯是给学生一个最后的分数，采取何种形式进行考核，对于学生的学习方法、学习重点、学习技巧等都有很强的导向作用.受应试教育的影响，国内大多课程的考核方法都是闭卷考试.对于有些课程而言，闭卷考试是有益的，也是必须的；但对于概率论与统计学这门实用性很强的课程来说，我认为授课的重点是要让学生掌握统计学的核心思想，并学会利用统计的思维处理问题，而不是教会学生做题的固定方法，象学习“纯数学”那样机械的做题，这样会损失掉原有的教学目的.概率统计离不开公式和计算，但我坚信，这些公式和计算的结果不是我们的终极目标，公式和计算都是为了加深学生对概率统计方法的理解，但不能让公式成为学生学习统计的一种障碍.应当重视学生对概率统计的重要概念的理解、总结归纳问题和研究问题的能力的培养，不必刻意要求学生记忆一些硬性的规律.不理解的东西对于学生就象不能消化的食物，永远弊大于利.

因此，结合本课程的特点，我认为在考核中可以尝试开卷考试、半开半闭考试考核以及分组考核、实验考核及撰写小论文等多种形式.使学生不至于为死记一些定理公式浪费过多时间，而把主要精力放到理解概念、动手实践、拓宽知识面、有目的的看参考书等环节上来.

总之，大学数学课程“概率论与数理统计”的教学是有一定难度的，无论是教学内容还是教学方法，都应该随着专业内容的拓展和科技的进步而不断调整，以顺应时代的需要，培养高综合素质的科研型人才.以上仅是我在教学过程的一些实践与认识，期望能抛砖引玉，让更多人关注和重视这门公共课程.

［1］ 谢秉智.积极推动研究性教学提高大学生的创新能力［J］.中国大学教学，2006（2）：21-23.

［2］ 李元杰，孙威娜.大学物理教学改革应关注的几个重要问题［J］.中国大学教学，2004（12）：21-22.

［3］ 桑新民.探索信息时代高校课程与教学的新模式［J］.中国大学教学，2005（6）：38-41.

G642.0

C

1672-1454（2010）增刊1-0122-04

北京市属市管高等学校人才强教计划资助项目及北京工业大学教育教学研究项目（0060005141919）——概率论与数理统计课程实践教学改革研究