基于相对形状上下文和谱匹配方法的点模式匹配算法

赵 键 孙即祥 李智勇 陈明生

(国防科学技术大学电子科学与工程学院信息工程系 长沙 410073)

1 引言

点模式(或称点集)匹配广泛应用于图像配准[1]、图像分类[2]与检索[3]、目标识别[4]、形状匹配[5]和立体视觉[6]等领域。目前，点模式匹配算法大致可以分为两大类[7]，一是基于变换关系求解的算法，是通过估计点模式之间的空间变换参数，利用该参数恢复或模拟点模式间的变换，从而求解点模式匹配问题，也称之为基于变换参数估计的算法。这类算法主要有迭代最近点算法[8]，软指派算法[9]等。二是基于匹配关系求解的算法，是通过提取点集中点的特征而后运用匹配识别方法获得点模式间的匹配关系，从而求解点模式匹配问题，或更形象地称为基于特征的匹配算法。这类算法主要有基于形状上下文的方法[10]，基于不变量特征的方法[11]以及基于谱图论的方法[12−16]等。

基于谱图论的方法是一类利用邻接矩阵或者与其密切相关的Laplacian矩阵的特征值和特征矢量来刻画点集全局结构的方法[12]。Scott和Longuethiggins[13]首次将谱方法应用于点模式匹配中，即通过定义点集之间的亲近矩阵，并对该矩阵进行SVD分解，以获得对应关系。该方法可处理不同大小的点集，但对较大角度的旋转效果不好。为了克服文献[13]方法的不足，Shapiro和Brady[14]采用了点集内部点亲近矩阵来进行匹配。其方法为，对待匹配的每一个点集，首先利用其内部点之间距离的高斯函数值来构造亲近矩阵，然后分别计算亲近矩阵的特征值和特征向量，其对应关系可以通过比较点集亲近矩阵的有序特征向量来获得。若所需匹配的点集大小相同，文献[14]的方法对随机点抖动和较小的仿射变换都可以给出相对较好的结果。

上述谱方法的显著优点是构造简单、计算量小，但由于它们是精确点模式匹配算法，因此，若待匹配的两个点集大小不同以及存在位置噪声时性能较差。针对该问题，Carcassoni和Hancock[15]给出了数种构造亲近矩阵的方法，并将基于改进后亲近矩阵的谱方法与EM算法框架相结合从而提高了算法对点集大小和位置噪声的鲁棒性。由于该方法是迭代的，它相对较慢且对初始值比较敏感。Carcassoni等人[16]提出了基于模式聚类的分层算法，首先利用点集亲近矩阵寻找点集间模式聚类中心的对应性，再以聚类中心为约束确定该类中各点之间的匹配概率。虽然该算法在一定程度上改善了点集大小不同时的匹配性能，但仅适用于具备聚类特征的点集之间的匹配问题。上述的几种谱方法均要对亲近矩阵的有序特征向量所组成的模式矩阵进行截断之后，才能进行不同大小点集的匹配。相比之下，Leordeanu和Hebert[17]提出的基于成对约束的谱匹配算法(Spectral Matching，SM)无需进行模式矩阵的截断也能实现非精确点模式匹配(即不同大小点集的匹配)。该算法先构造分配图及其亲近矩阵，再求解亲近矩阵最大特征值所对应的主特征向量作为正确匹配点对的指示向量，从而实现点集之间的匹配对应。若点集之间满足等距变换的关系，该算法具有较好的抗噪声和抗出格点的能力，但是该算法却不能应用于相似变换或其他更复杂变换的场合。针对上述问题，本文提出了基于相对形状上下文和谱匹配方法的点模式匹配算法(Relative Shape Context & Spectral Matching，RSC-SM)。与文献[17]所提出的SM算法中分配图亲近矩阵的构造方法不同，本文提出了一种新的基于点集的不变特征相对形状上下文，并以点集间相对形状上下文的统计检验匹配测度作为新的相容性度量，以该相容性度量作为分配图中各对应边的权值，最后利用分配图的主特征向量来实现点模式匹配。

急性心肌梗死是一种临床上病死率极高的心脏疾病，威胁着患者的生命健康，抓住抢救时间做好急救和护理有助于赢得下一步治疗时间，提高恢复效果[3] 。临床护理路径的护理模式与急性心肌梗死患者的疾病治疗护理需要有着密切关联，是整体护理当中的一个重要组成部分，能够使各项护理工作井然有序，减少资源浪费，提升护理质量。此次研究表明，临床护理路径的护理方案有着以下优势：抢救流程设置合理，能够提升抢救成功率，具备预见性和有序性特征；医护合作效率高，可提升医疗安全；护理流程规范合理，可减少护理差错，提升护理完整性与延续性；缩短住院时间，降低医疗费用；提升患者及其家属满意度，优化护患关系。

2 相对形状上下文

得到广泛应用的形状上下文[10]是一种用于刻画目标形状的描述子，点集中每个点的形状上下文就是点集中其它点相对于该点的角度以及对数距离的直方图分布。具体方法是对于任意点pi提取特征时，以其为原点把点集分布的空间按对数极坐标划分为60个部分，其中对数距离lgρ分为5部分，角度θ分为12部分。而后记录除pi点外的n−1个点在这60个部分的分布数目bik(k=1,2,…,60)，由该数目来作为pi的特征。形状上下文描述子具有平移不变性；为达到旋转不变性，可以将每个点处的切线方向作为对数极坐标轴的正方向；为具备尺度不变性，可以先求点集中所有点对之间的平均距离，然后用该值来规则化所有的点对距离。由于形状上下文描述子在距离上的不均匀分组方式及其较为丰富的形状特征描述能力，因此该描述子具有对局部区域形变的不变性。但是，当出格点较多和噪声较严重时，形状上下文描述子的上述不变性就会变得较差。为了解决这些局限性，本文提出了一种新的鲁棒性较强的形状特征描述子相对形状上下文(Relative Shape Context，RSC)。

定义1 如图1所示，在具有n个点的点集P中，任意点pi相对于其他任意点pj的相对形状上下文Hpij(s)就是在以pi为原点，矢量为正轴的极坐标系下，点集中其他n−2个点相对于该极坐标系正方向的极角所构成的直方图分布，即

图1 相对形状上下文描述子

式中#代表集合的势，∠pjpip代表矢量与之间的逆时针旋转角度，设点集空间按角度划分为s个区间，则每区间角度跨度为Δθs= 360°/s ，则第k个角度区间为bin(k)=[(k−1)Δθs,kΔθs]。

(4)从L中剔除所有与v∗=(i, i ′)相矛盾的分配，在本文的一对一匹配约束条件下需要从L中剔除掉诸如(i, k)和(q, i′)的分配，其中k≠i′，q≠i；

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(2)求解M的主特征向量x∗，令x为解向量，并将其初始化为n×1的零向量。令L为分配图G中所有顶点(即所有可能的分配)所组成的集合；

式(3)中的w{ vs, vt}反映了P中点对(i, j)的欧式距离特征与Q中点对(i′, j′)的欧式距离特征之间的相似程度，由于欧式距离是正交不变量，只能在等距变换下(即P与Q之间仅存在旋转和平移变换时)保持不变，如果当两个点集间若存在尺度变换或者其他更为复杂的变换时，显然文献[17]中的权值将不再适用；当点集中存在出格点时以及存在由于随机抖动所产生的位置噪声时，欧式距离特征的鲁棒性较差。因此，需要定义新的更加鲁棒的权值。本文第2节中提出的相对形状上下文特征具有相似变换不变性，即平移、旋转和尺度变换的不变性，而且对于噪声和出格点也有较强的鲁棒性，因此可以考虑利用其来代替欧式距离特征重新定义分配图中边的权值。具体定义如下，当vs=(i, i′)，vt=(j, j′)时，定义P中点对(i, j)所确定的相对形状上下文特征与Q中点对(i′, j′)所确定的相对形状上下文特征之间的相似程度(相容性度量)，即分配图中边的权值w{ vs, vt}为式(4)中，Cij;i′j′为pi相对于pj的相对形状上下文与qi′相对于qj′的相对形状上下文的匹配测度；Cji;j′i′为pj相对于pi的相对形状上下文与qj′相对于qi′的相对形状上下文的匹配测度。Cij;i′j′与Cji;j′i′可以直接由式(2)求得，这里不再赘述。式(4)中w{ vs, vt}的物理意义为：当pi与qi′是正确匹配点对，且pj与qj′也是正确匹配点对时，Cij;i′j′=0且Cji;j′i′=0从而w{ vs, vt}=1，此时表明vs=(i, i′)与vt=(j, j')共存的相容性最大；若w{ vs, vt}＜1，则表示vs=(i, i′)与vt=(j, j′)共存的相容性减小。这些特性不仅满足分配图中边的权值所需要达到的要求，而且使得权值能适用于相似变换的场合，同时也增强了对噪声和出格点的鲁棒性。

头孢菌素类是临床另一类广泛使用的抗菌药物。本研究中，无论是ICU还是普通病房，大肠埃希菌和肺炎克雷伯菌对头孢菌素均存在不同程度的耐药。但两种病房中，肺炎克雷伯菌对头孢曲松的耐药率均低于文献[10]报道，可能与本研究中碳青霉烯类耐药的肺炎克雷伯菌所占比例较低有关。本研究中，大肠埃希菌ESBLs在两种病房的检出率约为60%，与王启等[12]研究一致。ESBLs阳性可导致大肠埃希菌对所有青霉素类和头孢菌素均耐药，而酶抑制剂合剂如头孢哌酮/舒巴坦和哌拉西林/他唑巴坦对阴性杆菌均有较好的敏感性，可作为产ESBLs肠杆菌科细菌感染的经验用药[13]。

3 基于相对形状上下文和谱匹配方法的点模式匹配算法

本节首先简单介绍点模式匹配问题的数学表达，再将相对形状上下文特征应用于分配图及其亲近矩阵的构造过程，结合分配图谱匹配方法，提出一种新的鲁棒的点模式匹配算法—基于相对形状上下文和谱匹配方法的点模式匹配算法。

3.1 点模式匹配问题的提出

设模板点集为P={pi|i=1,2,…,nP}，目标点集为Q={qj|j=1,2,…,nQ}。解决点模式匹配问题的本质在于求解点集P与Q之间的正确匹配映射关系。设P与Q之间的正确匹配映射为m:pi→qm(i)，即表明点pi匹配于点qm(i)。为简便起见，可令m(i)=i′，此时映射m可表示为m: i→i′。在映射m下，如果Q中点qj存在与之相匹配的模板点pi，则称qj为Q中的内点(inliers)；若点qj在映射m下无与之相匹配的模板点，则称qj为Q中的出格点(outliers)。分配(assignments)定义为由点集P与Q的点所组成的组合(i, i′)，其中i∈P，i′∈Q。此时m又可定义为满足所有正确分配(i, i′)的集合：Cm={(i, i′)|m(i)=i′, i∈P, i′∈Q}。所有属于集合Cm的P(或Q)中的点称为P(或Q)的内点，不属于集合Cm中任一分配的点称为出格点。不同的场合所要求的匹配映射约束条件也不同，本文主要研究的是一对一的匹配约束，即点集P中某个点至多只能与点集Q中某一个点相匹配。因此，本文所研究的点模式匹配问题实质上就是求解满足一对一匹配约束条件的所有正确分配所组成的集合Cm。

3.2 分配图及其亲近矩阵的构造

首先，将P与Q之间所有可能的分配所组成的集合作为图G的顶点集合，即V(G)={v1, v2,…,vn}，其中vs=(i, i′)，i∈P，i′∈Q，n=nPnQ。图G的边集合为E(G)={e1, e2,…,em}，其中ek={vs, vt}，即ek为以vs和vt为端点的无向边，设w{ vs, vt}为边ek上的权，此时所构造的加权无向图G称为分配图。各边权值由匹配约束条件和成对几何约束条件来共同确定：

(1)分配图G中的任意两个顶点设为vs=(i, i′)，vt=(j, j′)，其中i, j∈P，i′, j′∈Q。如果i=j而i′≠j′时(或当i′=j′而i≠j时)，即vs和vt所代表的分配与一对一匹配约束条件相矛盾，这两种分配不可能同时存在，则令w{ vs, vt}=0。

综上所述，Tomita评分可有效判断预后，作为治疗决策的参考指标，对于Tomita评分4～7分的患者应用球囊扩张椎体后凸成形术治疗转移瘤性椎体压缩骨折患者，能够明显降低VAS评分、ODI指数，恢复椎体高度，减轻痛苦，明显提高总体生活质量，并且具有较高的安全性。

(2)如果满足了上述匹配约束条件，则w{ vs, vt}＞0。权值w{ vs, vt}可以理解为衡量由P中点对(i, j)所确定的特征与Q中点对(i′, j′)所确定的相应特征之间的相似程度。一般来说，w{ vs, vt}越大则表明此时vs和vt所代表的分配相容程度越高，越有可能都是正确的分配；反之则表明vs和vt所代表的分配相容性低，均是正确分配的可能性低。因此，w{ vs, vt}可以理解为vs和vt所代表的分配的相容性度量。

分配图G可用n×n的亲近矩阵M来表示，其中n=nPnQ。M的对角元素M(vs, vs)表示分配vs=(i, i′)中点i∈P的特征与目标点i′∈Q的特征之间的相似性度量，由于点集中单点特征的可区分性较差，在此不予考虑，可令：M(vs, vs)=0。M的非对角元素就是分配图G中对应边的权值：M(vs, vt)=