数学认知结构与数学概念的学习——以高等数学的概念学习为例

哈 玲,杨爱民

(1.昆明学院数学系,云南昆明 650214;2.文山学院数理系,云南文山 663000)

利用强化学生解题过程的方式提高学生的数学成绩是一个符合行为主义理论基本观点的学习方法。但是行为主义过多地强调可以被观察到的或可以被量化的外在行为的研究,而对研究对象的内在变化的研究并不充分。数学学习是需要学生主动领悟、整体把握与强化刺激共同发生的心理和学习过程。因此,随着教育理念由行为主义到认知主义的发展,人们越来越认识到数学能力的提高有待于对概念理解的强化。

1 数学认知结构

关于学习理论,存在着两种基本观点:一种是以桑代克、巴甫洛夫、斯金纳为代表的刺激——反映联结观点;另一种是布鲁纳、奥苏泊尔为代表的认知观点。认知心理学认为,刺激和反映的联结,是以主体的某种 “结构”为中介的,这种 “结构”对信息加工和改造起着积极的作用。认知心理学把这种主体中存在的结构称为认知结构。学生在数学认知活动中,也同样存在着某种结构,这种结构称之为数学认知结构。所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识,按照自己的理解深度、广度,结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。

1.1 数学认知结构的特点

实践表明,学生的数学认知结构有其固有的特点。

(1)数学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物。

(2)数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。

它既可以是学生头脑里所有数学知识、经验的组织,也可以是特殊数学知识内容的组织。前者指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征,这些特征影响它在数学学科中的一般学习。后者指的是某一数学知识、经验的组织特征。也就是说,数学认知结构既是专门化的概念,又是一个带有普遍性的概念,它体现了数学知识和数学认知的统一。

数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识。即数学认知结构是一个有层次的阶梯。高层次是由所有数学知识、经验有机结合而组成的认知结构。

(3)每一个学生的认知结构各有特点,个体认知结构在内容和组织方面的特征称为认知结构变量。数学认知结构具有 3个变量:①在认知结构中是否有适当的起固定作用的观点可以利用;②新的学习材料和起固定作用的观念之间的可辨别程度;③原有起固定作用的观念的固定性和清晰性。

(4)数学认知结构不是一种消极的组织,而是一种积极的组织,它在数学认知活动中,乃至一般的认知活动中发挥着作用。形成了一定的数学认知结构后,一旦大脑接受到新的数学信息,人们就能不自觉地,甚至是自觉地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。

(5)数学认知结构是一个不断变化的动态组织。随着数学认知活动的进行,学生的认知结构不断分化和重组,并逐渐变得更加精确和完善。正是因为数学认知结构具有这样的特点,所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展。

(6)数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的。

(7)从功能上说,学生既能借助已有的认知结构去掌握现有的知识,又能借助原有的认知结构创造性地去解决问题。

1.2 数学学习与数学认知结构

数学认知结构是数学学习活动中的一个中心心理成分,学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去建构的,同化和顺应是学生数学认知的基本方式。

在数学学习中,同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造,然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构,扩大原有认知结构,使数学认知结构发生量变的过程。从同化的意义不难看出,同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的适当观念有实质的、非人为联系,即原有认知结构中有能够同化新知识的适当观念。很明显,同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。

顺应是指某些新知识不能直接同化到学生原有认知结构中去,必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习。在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去,从而建立新的数学认知结构的过程。简言之,顺应就是改造原有认知结构而建立新的数学认知结构的过程。如果说同化是促进原有认知结构量变从而扩大认知结构内容的过程,那么顺应则是使原有认知结构发生质变从而建立新的数学认知结构的过程。顺应主要适用于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。心理学研究表明,在学习中,学生用顺应的方式改造原有认知结构接纳新知识主要是通过两种途径去实施的:一是调整,二是并列。所谓调整,就是改变原有认知结构的组织形式,或赋予原有认识结构中某些观念以新的意义,使之与新知识相适应,并以此为固定点接纳新知识。所谓并列,就是赋予新知识和认知结构中某些原有观念以一定意义的外在联系,并把新知识与旧知识联结成一定的结构。

综上所述,同化和顺应是认知过程中学生原有的数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式,它们往往存在于同一学习过程中,只是各自侧重不同而已。如果说同化是改造新学习内容使其与原有认知结构相吻合的话,那么,顺应则是改组学生原有的认知结构以适应新学习内容的需要。在数学学习中,同化和顺应总是相辅相成、互为补充的。一方面在改造新学习内容的同时,学生也必须适当调整自己的原有认知结构,使新学习内容与原有认知结构更加吻合;另一方面学生在调整原有认知结构的同时,也总是要对新学习内容作适当改造,将其改造成更有利于接纳的形式,从而保证原有认知结构与新学习内容之间的相互适应。

1.3 认知理论与数学学习的模式

根据学习的认知理论,数学学习过程是一个数学认知过程,即新的学习内容学生原有数学认知结构相互作用,形成新的数学认知结构的过程。依据学生认知结构的变化,数学学习过程的一般模式见图1。

图1 数学学习过程的一般模式

从图 1可以看出数学学习过程包括三个阶段:输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作阶段。

基于学习认知理论,国内在学界进行了积极的探索和实践。2001年贵州师范大学数学与跨文化数学教育研究所汪秉彝、吕传汉两位教授开展了中小学“数学情境与提出问题”教学,其相关成果于2004、2007年分别刊载于数学教育学报、贵州师范大学学报上。[1-2]这种教学强调培养学生数学问题意识以促进创新意识的形成,重视培养问题解决能力以促进创新能力的提高,在应用数学知识解决实际问题过程中发展学生的数学应用意识和应用能力,这些教学理念和教学目的正迎合了高等数学教学的需要。2009年褚海峰对“情境—问题”教学模式进行修改与补充,将其推广与运用到高等数学教学中。[3]

2 数学概念学习的基本形式

2.1 数学概念形成

所谓数学概念形成,是指在教学条件下,从大量的实际例子出发,经过比较、分类,从中找出一类事物的本质属性,然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验,最后通过概括得到定义并用符号表达出来。这种获得数学概念的方式叫做数学概念形成。数学概念形成的过程可以分为观察实例、分析共同属性、抽象本质属性、确认本质属性、概括定义、符号表示、具体运用等阶段。概念的形成揭示了概念如何通过个体思维活动,构建成个体的知识。例如导数的概念,就可利用数学概念形成的方式进行建构。

2.2 数学概念同化

所谓数学概念同化,是指在课堂学习的条件下,利用学生认知结构中原有的知识经验,以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性,从而使学生获得新概念。这种获得数学概念的方式叫做数学概念同化。

用数学概念同化的方式进行概念学习时,要求学生的认知结构中具备一定的概念,并能积极地进行认知活动,将新概念的本质属性与原有认知结构中的适当概念相联系,明确新概念是原有概念的“限定”,并能把它从原有概念中分离出来,把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起,纳入认知结构中去。数学概念同化的学习过程可以分为揭示本质属性、讨论特例、新旧概念联系、实例辨认、具体运用等阶段。例如数列概念的建立,通常采用概念同化的方式进行。

数学概念形成与数学概念同化是有区别的。数学概念形成主要依靠的是对具体事物的抽象,而数学概念同化则主要依靠的是学生对新旧知识的联系;数学概念形成与人类自发形成概念的方式接近,而数学概念同化则是具有一定心理水平的人自觉学习概念的主要方式。高等数学学习中,数学概念同化成为获得数学概念的主要方式,但对较难理解的或新学科开始时的一些数学概念,仍然采用数学概念形成的学习方式。由于数学的高度抽象性与概括性,教学实践中往往依据学习者个体的认知差异,把两者有机结合起来学习,使学生在有限的时间内较快地理解概念所反映事物的本质属性。

2.3 数学概念的顺应

如果认识主体把已有图式中的信息作用于环境,使主体主动适应环境,并根据环境调节原有的图式使之更加合理,就是顺应。顺应是对原有认知结构进行改造或重组,形成一种与新概念相适应的新的结构,从而对新概念进行同化的方式。如关于 “矩阵乘法”的概念,在学生的原有认知结构中,已有了 “矩阵加减法”概念,而 “矩阵加减法”与 “矩阵乘法”有相当大的距离,这时学生会从“矩阵乘法”概念的特点、性质出发,建立新图式,使主观顺应客观,从而掌握新概念,进而弄清楚为什么要这么定义“矩阵乘法”,这样做有什么作用等。

2.4 数学概念的异化

“异化”是皮亚杰图式理论的重要概念。“异化”就是把外界的信息归入已有的图式,使图式不时扩展。异化是与同化有区别而又有联系的一种更高水平理解概念的方式,强调在理解概念时认知主体主动修正自己的认知结构或对概念的正误进行分辨从而提高认知水平或有创建地理解概念的方式,从而达到概念的巩固。一种概念的扩展过程当中,由于范围扩大了,新旧概念之间除了共同之处又增添了不同之处时往往用到数学概念的异化。如从实数到复数的扩展;从一元函数到多元函数、定积分到重积分,在原来一元函数、定积分的基础上增加了新的概念和性质,从而改造了原有的认知结构。

3 数学概念学习的现代研究进展

在现代哲学、心理学、数学学习论、数学研究方法等最新领域研究成果基础上,进年来以高层次数学思维为焦点对高等数学概念的学习进行了细致地分析,提出了包括“概念意象与概念定义”、“概念网络”与 “概念域”、“概念的过程与对象”在内的一系列新观点与新假设,以及一些新的数学思想。学界对高等数学概念学习的研究和认识升华到一个新的高度,大大促进了数学概念学习研究的发展。

随着教育理念由行为主义向认知主义的转变,认知论成为现代数学学习论的基石,因此关于联系与网络的观点便被引入数学概念的学习中。一方面“共同点是把人类的大脑看作含有结点和连接的一个巨大的网络,许多特殊的结点和连接群体是它的组成部分”——即神经网络理论[4];另一方面,又从皮亚杰等人的主要观点扩展成为颇具代表性的现代信息网络理论。高等数学概念的学习与初等数学概念学习的主要区别是激活网络,强化概念理解,而不紧紧是记忆事实,背诵概念。数学概念的理解就是建立网络,“如果它的智力表示成了表示网络的部分,说一个数学的概念、方法或事实是彻底理解了,是指和现有的网络是由更强的或更多的联系联结着。”[5]

自从在高等数学学习论中引进联系和网络以来,许多研究者关注到它们对概念学习的影响。其中最具代表性的当属 Vergnaud提出的概念域思想,“一个概念域 (conceptual field)是有待处理的一组问题与情境,对这些问题与情境的处理需要概念、程序以及不同的但有紧密相连的各种表征形式”[6]这种思想与其它研究中提出的概念意象、概念定义完全不同,它聚焦于概念间的内在联系。

4 高等数学概念的学习实践

4.1 把握数学概念的难点与新点

高等数学中存在着传统公认的难点,如极限的概念、微分的定义、泰勒定理等。从数学概念建构角度看,难点之难,是由于没有找到最好、最适合的表达方式。只要依据学习心理学,通过创造性的改造,比如通过数学概念的顺应方式寻求最佳的概念表达方式和最便于掌握的方法,就可化解难点。

所谓“新点”,是指与学生已有的知识和经验相去甚远的内容,如连续的定义、多元函数、无穷级数、梯度等。这些对于初次接触高等数学的学生来讲,在知识内容上就是 “新点”。如果对新点处理不当,易导致新知识与原有知识结构的冲突,使学生感到无所适从,影响学习效果。因此在学习新概念时,要充分考虑已有的知识结构,充分发挥学习过程中的正迁移作用,防止负迁移,做到新旧概念的平稳相接,顺利过渡,减少可能出现的感知错误,以确保学习效果。

4.2 逆向思维,深刻理解概念

当直接认识一事物比较困难时,从事物的反面入手来了解认识事物,往往会对学生的思维产生很强的冲击,达到很好的学习效果。比如学习连续的定义时,可从连续的反面 “不连续”入手,一步步理解连续定义。第一步,给出函数在一点无定义而间断的例子,得出函数在一点有定义是函数在该点连续的必要条件的结论;第二步,给出函数在一点有定义但极限不存在而间断的例子,得出函数在一点极限存在是函数在该点连续的必要条件的结论。这样就把“连续”与“极限”联系在一起,深刻理解函数在某一点连续的定义。通过对连续反面“不连续”的讨论,更清晰地看清了连续的本质,这种学习达到了新旧概念的平稳相接,顺利过渡,促进学生认知水平的提升。

4.3 创设情景,提出问题,形成概念

数学来源于现实世界又反映现实世界,数学概念的高度抽象只是在形式上与现实相对立,在内容上却与现实的世界有着密切联系,许多抽象的数学概念、数学思想,可以在现实世界中找到它们的原型。例如导数概念的原型是变速直线运动的瞬时速度、平面曲线的斜率;微分概念的原型是自由落体由初始时刻到指定时刻所经过路程的近似值;定积分概念的原型是曲边梯形面积、变速直线运动的路程;函数最值的原型是用料最省、效率最高;二重积分的原型是曲顶柱体的体积;级数的原型是无数个离散量之和。虽然从数学的历史来看,数学的产生存在着两个起点,即以实际问题为起点和以理论问题为起点,但归根结底,数学的最终起点还是现实世界,它更多地来自人类的问题提出和问题解决,是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。正是数学概念产生的背景知识,揭示了数学概念的现实意义,为数学的应用做好了铺垫。

4.4 新旧联系,利用类比,引入概念

所谓类比,就是借助于两类不同本质事物之间的相似性,通过比较将一种已经熟悉或掌握的特殊对象的知识推移到另一种新的特殊对象上去的推理手段。当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系,或者一对多的同态关系时,便可对这两个对象系统进行类比。极限、连续、导数、微分、积分、级数、微分方程均有线性性质 (共性),而这个共性可以升华到线性算子的理论上;还有几类积分的类同性 (对象不同,但处理方式相同,从而体现元素法的重要性)、多元与一元微积分 (点与线或线与面的关系),各类级数与广义积分 (类似的收敛发散概念及类似的判别法),各类微分方程求解 (各种变换)等等都具有很丰富的类比性;又如,各种中值定理、微分与积分的几何类比、物理类比等。通过类比把新旧知识联系起来,有利于加深对概念的理解和记忆,加强掌握知识的系统性,使学生循序渐进地将基本知识学到手,实现知识的“正迁移”。

4.5 建立良好的概念网络体系

数学概念的发展是体系化、网络状的发展。个体的数学概念通过改变内涵与外延获得发展,发展的新概念与原有概念形成概念体系,个别概念既反映自身来自于其它概念的关系,也反映来自系统的整体性质。这种特殊与一般的对立统一,亦是数学概念的思辩性之一,认识这种思辩性,才能把握住概念的本质。[7]

例如,积分学中的定积分、重积分、两类曲线积分、两类曲面积分的概念之间的关系、异同就是这方面典型的例子。

首先,积分实质上是空间几何体上不均匀分布的量的和,定义这种“和”的思想就是把几何体进行分割,分割后在每一局部以常量代变量近似求和,然后让分割无限加细加密,变化过程中使分出的每小块的度量都趋于零,近似和的极限就为精确和。用以下几个词可以简单形象地概括积分的实质:化整为零,以常代变,积零为整,取极限。

其次,又可以利用积分区域的变化使得积分从一维空间推广进入到二维、三维空间直至更高维空间,得到积分的分类。再利用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等建立起了各种积分之间的关系,建立起如图 2所示的概念网络体系,使得单个积分概念不再是孤立的。[8]

图2 各种积分之间概念网络体系

[1] 杨孝斌,汪秉彝.中小学“数学情境与提出问题”教学探析[J].数学教育学报,2004,(4):84-87.

[2] 吕传汉,汪秉彝.中小学“数学情境与提出问题”教学的理论基础及实施策略[J].贵州师范大学学报:自然科学版,2007,(1):95-100.

[3] 褚海峰.“情境——问题”教学模式在高等数学教学中的推广与运用[J].科教文汇,2009,(3):140-141.

[4] [德 ]RolfBiehler.数学教学理论是一门科学[M].唐瑞芬,等.译.上海:上海教育出版社,1998:162.

[5] [美 ]格劳斯.数学教与学研究手册 [M].陈昌平,等.译.上海:上海教育出版社,1999:136.

[6] [美 ]理查德莱什.数学概念和程序的获得 [M].孙昌识,等.译.济南:山东教育出版社,1991:141.

[7] 谭奕.数学概念教学 [J].数学教育学报,1995,(3):70-72.

[8] 刘玉琏,傅沛仁,等.数学分析讲义 [M].北京:高等教育出版社,2003.