关于力学、热学和原子物理学中自由度的几点思考

韩文娟 刘海

(六盘水师范学院物理系 贵州 水城 553004)

1 引言

自由度概念以其广延而深邃之内涵，一向是普通物理教学中的重点和难点.本文将结合笔者的教学实践，以力学中的实例为切入点，进而深入分析热学和原子物理学中涉及自由度的一些具体事例，希望裨益于教师和同学.

2 简述“力学”中的自由度特点

力学中，自由度[1]是指力学系统的独立坐标的个数,其特点如下:

(2)被研究物体的自由度在同类参考系中不因参考系的动静而有别，质点在静、动两个惯性参考系中，质点自由度的种类、名称及数目一样.

(3)同一研究对象，其自由度随其所在的“空间”不同而异 如质点在设定不变的一条直线和曲线上的自由度为1；在设定不变的一个平面上的自由度为2；在设定不变的空间中自由度为3.

(4)自由度的叠加性，物体的总自由度等于物体本身运动具有的自由度与其所处“空间”(其形状改变或运动时)具有的自由度的叠加，如小球沿定长的直杆运动，杆又在平面内做定轴定速转动[2]，若小球视为质点，杆的“半径”很小可忽略，则小球总自由度等于小球在直杆上运动的1个自由度加上直杆在平面内做定轴转动的1个自由度等于2.

(5)“力学”中主要的自由度分类，质点自由度为3；刚体自由度为平动加转动6；非刚体，除反映物质整体运动的6个自由度外,还有3N-6个反映物质内部质点“振动”的自由度(姑且认为质点间相互联系导致质点“振动”).

(6)宏观上观察物体运动时，物体自由度越多，受约束越少，物体越自由.

2 分析“热学”、“原子物理学”中一些微观客体的自由度

2.1 单原子分子的自由度[2]

单原子分子相当于力学中的质点，自由度为3，此处补充说明的是单原子分子不考虑其转动自由度[1]的缘由，因为单原子分子的质量几乎都集中在原子核上(电子质量仅是质子质量的1/1 840)，而质子半径数量级为10-15m，单原子分子半径的数量级为10-10m，由于相同质量的均匀球体绕中心轴的转动惯量是与半径平方成正比的(J=2MR2/5),所以单原子分子的转动惯量几乎是非单原子分子转动惯量的10-10，转动动能与转动惯量成正比,因而单原子分子的转动动能是非单原子分子转动动能的10-10，通常完全可忽略不计，所以单原子分子不考虑转动自由度.

2.2 双原子分子的自由度

(1)刚性双原子分子.此种分子有其质心的3个平动自由度，2个转动自由度(因为双原子分子的转动自由度中有1个自由度是通过两个原子中心的连线转动的自由度，其回转半径是原子核的半径10-15m，故其转动动能可忽略，因而这一转动自由度被忽略).由于刚性分子的原子间距离不变，不计振动自由度，故双原子分子共有5个自由度.

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(2)非刚性双原子分子.除了分子整体具有的5个自由度外，还有1个反映分子内部原子振动的自由度.

2.3 多原子分子的自由度

(1)多原子分子的自由度

1)刚性多原子分子[3]，有其质心的3个平动自由度，3个转动自由度(两个角度定出转动轴的方向，还有绕转动轴的角度，才能定出分子在空间的方向).

2)非刚性多原子分子的自由度，如同前面的非刚体情形,此不赘述.

(2)多原子分子内部的振动自由度

1)综述

设多原子分子是由有相互联系(原子间有作用力)的n个原子构成，每个原子若看作质点(自由度为3)，该分子本应有3n个自由度,但这些原子已结成分子整体，每个原子不再有3个独立的自由度，自由度必须从分子整体考虑，分子总自由度中已占了6个(3个平动，3个转动)，剩下3n-6个反映分子内部振动的自由度[4].如果原子是排成直线的，总自由度中只占了5个(3个平动，2个转动)，分子有3n-5个振动自由度.

2)振动自由度的计算

a.组成分子的原子不在一条直线上时，原子的两两联系组合数如表1.

表1 组成分子的原子(不在一条直线上)两两联系组合数

多原子分子的振动自由度数取决于排列组合数=Cn-11+Cn-21+Cn-31

【例1】如图1，原子数n=5时，原子两两组合数为10(包括重复组合部分) ，原子间发生联系时,分子1与分子2，3，4，5分别组合后，接着分子2分别与分子3，4，5组合，最后分子3分别与分子4，5组合，不记分子4与5组合(因是重复性组合)，即

C41+C31+C21=9

与振动自度数3n-6=9相吻合.

图1 不在一条直线上的5个原子

b.组成分子的原子在一条直线上时，原子的两两联系组合数及满足的递推关系同表1, 但是分子的振动自由度数取决于

排列组合数=Cn-11+Cn-21+Cn-31+1

图2 在一条直线上的5个原子

【例2】如图2，原子数n=5时，原子两两组合数等于10(组合方式同前),因原子在一条直线上,还需记分子4与5的组合，即

C41+C31+C21+1=9+1=10

与振动自由度数3n-5=10相吻合.

2.4 由单、双、多原子分子形成的物质整体的自由度

由单、双、多原子分子形成的物质整体，若视为刚体其自由度为6；若视为非刚体，仍有反映分子整体运动的6个自由度和3N-6个反映物质内部分子振动的自由度,原因同前.

3 研究力学、热学和原子物理学中自由度的意义

3.1 有助于提高学生正确分析物理问题的能力

如《力学》中研究物体运动时，学生在正确分析物体自由度的前提下，能更清晰地分析物体的位置、位移、受力投影和进一步引出功、能等等问题，从而能更好、更准确定量、定性分析讨论物体的运动规律.

3.2 解释了经典热容量理论的缺陷

3.3 能加深学生对自由度绝对性和统一性的理解

如前所述同一物体的自由度不因参考系不同而异,体现自由度的绝对性.在力学、热学和原子物理学”中研究客体的自由度时，所定格的“约束”与“自由”须正确统一，否则会产生错误的分析.

参考文献

1 程守洙,江之永. 普通物理学，北京：高等教育出版社 2006.111

2 秦允豪，热学习题思考题解题指导，北京：高等教育出版社 2004.75,76

3 黄淑清，聂宜如，申先甲.北京： 高等教育出版社 1994.237

4 褚圣麟.原子物理学，北京：高等教育出版社 1979.280,282

5 梁绍荣，热学，北京：高等教育教育出版社2006.57