一道高考题的另类思考

马丽贞,顾先明

(唐山师范学院数学与信息科学系,河北唐山06300)

数列的递推问题常涉及到很多重要的数学思维方法,如函数思想、归纳推理等众多思想.尤其对培养学生良好的思维推理能力和动手能力等方面具有重要意义,因而倍受高考命题者的青睐.此外,在高中数学教学中都强调数学教学要学以致用,开发学生的思维能力,培养学生应用数学的意识和能力.至于对数学知识的应用也被数学教师所重视.但是,教师在数列知识的教学中往往忽视数列递推问题的一种基本应用——近似计算.

下面从一道02年北京高考试题第19题来开始说起:

题目:设 a＞0,x0＞0.数列 {xn}由以下递推关系定义:

此后文献 [1-4]都对其做了分析研究,但研究大多局限于对原题证法的改进或命题思路的分析.但是笔者研究发现,该题实际上还给出了一种快速近似计算任意数的平方根的方法.同时也不禁为命题者的良苦用心感到钦佩.这里要先引用一些引理:

引理1[5]单调递减的数列 {xn}收敛 (即=A (常数))的充要条件是它有下界.

引理2[6]如果数列 {xn}从某项起有 xn≥0且=a, 那么 a≥0.

引理3[7]设对于数列 {xn}若有常数 q,且0＜q＜1.使对∀n∈N＊则有=A (常数) 存在.

另外,笔者在研究该题还发现采用初等数学的有关知识可有如下妙解:

通过上面的结论,可以发现根据上述结论给出了一种快速计算平方根的递推方法.下面来举例说明.

例如:取 x0=2,a=2来用上述原理来递推求出 2的值.(注: 2=1.41421356310…)那么

这已是相当精确的近似值.

同样的方法,可以取适当的 x0,就可递推的求出任意的下面对其产生的计算误差做出估计:

由此可以看出每迭近一次,有效位数几乎增加一倍.(这在计算 2时也得到体现)关于上题的方法,有如下推论:

推论4 对于给定数列 {xn}如下:x0＞0,xn+1=,n=0,1,2,…,其中 a为一给定的正数,k为任意给定的一个自然数,那么数列 {xn}收敛,且

显然设εn=为第n次误差,则在 n充分大时有:每迭代一次,有效位数几乎增加一倍.但可能精确不如前面所述的几个递推关系.命题6还有一个推论如下:

也可以按照命题6的方法对其进行相应的误差分析,确定精确程度,这里不再赘述。

通过对上述问题的探讨,发现大量的近似计算方法都是用递推迭代方式来实现。在以后的教学中注意在数学应用方面加大对用递推关系来进行近似,尤其对一些无理数的递推近似计算,有助于提高学生的创造力和动手的能力。这对数学效果甚是有益.

[1] 邹明.京津沪粤高考试题新解 [J].中学数学杂志 (高中),2003,(01)：50

[2] 邹明.高考热点——递推数列问题分类解析 [J].中学数学月刊,2003,(04)：26-27

[3] 周建华.继承·创新·导向——2002年高考数学 (北京卷)评析 [J].中学数学,2002,(09)：1-2,8

[4] 刘美伦.突出能力,力求创新—2002年高考数学试卷 (北京卷)评析 [J].北京教育 (普教版),2002, (09)：24-25

[5] 张筑生.数学分析新讲 [M].北京：北京大学出版社,1999：72

[6] 同济大学应用数学系,高等数学 (第六版)[M].北京：高等教育出版社,2002：30

[7] 钱吉林.数学分析题解精辟 [M].北京：崇文书局,2003：64-65

[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 (第二版)[M].北京：高等教育出版社,2006：96