几个常用函数的阶的比较及其应用

张海良，汤利荣

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

几个常用函数的阶的比较及其应用

张海良，汤利荣

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

通过定义高阶函数，研究几个常用函数在（0，1］，［1，+∞）区间上的单调性,以及几个常用函数的阶的比较,给出一组很重要的高阶函数,并用Mathematics软件作图说明,最后举例说明它在求极限、判别级数的敛散性时的应用.

函数；高阶函数；高阶

更一般的情形我们将变量连续化，取n为整个实数有如下的结果：

由数学软件Mathematica 5.0［2］计算并作图有：情形 1：当 x∈（0，1）时，

情形 2：当 x∈（1，4，5）时，为了节省空间，不写程序，将结果表示如图2.

图1 函数在（0，1］上的形态

有了图1和图2我们就可以从整体上把握上述函数的形态，这有助于理解定理1，并且可以找出一系列的不等式，例如；

图2 函数在［1，+∞］上的形态

图3 函数y＝x-lnx的图像

要条件知级数发散.

3［高考题目］ 下列四个函数中，图像如图3所示的只能是（C）.

解：根据定理1，最小值 y＝0只能在 x＝1内取得，并且先单调递减（0，1］，后又在［1，+∞）单调递增，而且在（0，+∞）上图像永远在x轴上方，也就是函数值大于0.这样就可以避开较为复杂的利用导数与函数图像关系的方法直接求解该题，并且不是自然对数时图像也具有相同的形式，只是函数值在某段区间上值会小于0.

［1］Kenneth H.Rosen.Discrete Mathematics and its Applications（Fifth Edition）［M］.北京：机械工业出版社，2003.

［2］丁大正.科学计算强档Mathematica.5教程.北京：电子工业出版社，2002.

［3］同济大学数学教研室，高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

The Big-O Function and Its Applications

ZHANG Hai-liang，TANG Li-rong
(School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China)

In this paper,we give the notion of big-O function,and some results of it.We also study the big-O relations on several functions and these functions in same system of rectangular coordinates in the plane by using Mathematics 5.0 plot.In the end,we show the applications in limit and test the convergent and divergent of series.

the big-O function;function;big-O relation

耿继祥）

O172.2

A

1672-3708（2010）03-0001-03

2008-04-22；

2009-12-06

台州学院青年资金项目2010QN11

张海良（1976- ），男，青海乐都人，硕士、讲师，主要研究方向图论及其应用。