伴随催化剂出生的催化交换模型的动力学行为

李晓东

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

伴随催化剂出生的催化交换模型的动力学行为

李晓东

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

依据社会经济系统中存在的中介贸易现象，提出了伴随催化剂出生的催化交换模型，列出了系统集团演化的反应速率方程，利用Ansatz假设对其求解，得出一段时间后系统集团分布满足的标度行为以及集团总质量与集团总数目随时间演化的形式.

催化交换；标度行为；反应速率方程

近几年，聚集动力学研究的范围已不仅仅局限于自然系统，人们开始把注意力转向社会经济系统中的聚集现象.Ispolatov等人[1]依据社会经济系统中的财富分布情况，提出了迁移聚集生长模型，用它来研究社会经济系统中的财富分布规律.随后，Leyvraz和Redner[2]依据城镇之间的人口迁移现象，运用迁移模型进一步研究了城镇人口随时间演化的规律.2003年，Ben-Naim和Krapivsky[3]研究了反应速率核取更一般形式下的交换迁移聚集生长模型，得到了重要的结果.国内的有关学者在这方面也做了大量研究.2002年，柯见洪等人[4]研究了无偏向的交换迁移聚集生长模型.紧接着，林振权等在交换迁移的基础上先后提出了城镇人口的自出生、自死亡、催化出生、催化死亡等反应机制，以此来研究社会经济系统中的城镇人口演化与财富分布问题，并取得了很重要的结果[5-7].2006年，柯见洪等又在无标度网络上研究了城镇人口迁移模型[8-9]，其结果与现实的统计数据非常吻合.

在无偏向的交换迁移模型中，当集团Ak与集团Al相遇时，集团Ak向集团lA迁移一份单体，此反应用式子可表达为：

其中K(k;l)为迁移反应核.在这里，可以认为集团Ak代表一个公司，其资产多少可用集团的大小k表示，此式可用来模拟社会经济系统中两家公司的一次贸易关系.

在社会经济系统中，两个公司要达成一场贸易，还需要一个中介集团或者中介公司从中牵线搭桥.大多时候，中介机构是盈利性的，所以催化集团在每催化一次时，它自身的大小增加一个，因此本文提出伴随着催化剂出生的催化交换模型，可表示为：

用集团Bj来代表催化剂或者中介公司，只有在集团B的催化下集团A之间才能发生交换作用.当然在中介公司之间也存在贸易关系，本文用下式来表示这种关系：

本文的模型是基于现实社会经济系统中的贸易现象提出的.在该模型中，集团被认为是一个公司或一个人，集团的大小代表这个人或公司所拥有的资产或者财富的数量，当两个集团相遇并发生交换作用时，集团之间的单体便会从一个集团迁移到另一个集团，即集团之间交换一份资产，这就是我们所谓的交易.在现实世界中，交易通常需要有一个中介盈利机构，所以可以考虑作为代理集团，用集团大小代理集团的规模的大小.当一个人或一个公司想要购买商品，进行财富交换即贸易时，他们通常会找到销售部门等中介机构，在中介机构的驱使下双方达成贸易关系.催化剂在每催化一次时自身也被催化出生，这表示中介机构也在这样一次贸易中获得盈利、壮大.另外，在代理商之间还存在着竞争，他们可以合并，扩大自身的资产规模，他们之间也可以进行交易，达成生意关系.

1 伴随着催化剂出生的催化交换模型

在本文的模型中，有两个种类的集团，集团A和集团B，集团A为自身不能自发迁移的惰性集团，集团B为催化剂.基于平均场理论，假定在反应过程中各集团在空间上的分布总是均匀的，则聚集或迁移反应速率与参与反应的各集团的浓度成正比.用ak(t)表示在t时刻的系统中具有k个单体的集团的浓度.在前人研究的基础上，本文聚集迁移模型的反应速率方程可写成：

假设在初始时刻，系统中只有集团单体存在，即初始条件可写为：

假设集团A的反应速率核为K(k,l;j)=Kklj，其表示交换迁移的速率既与集团Ak和Al的大小成正比，也与催化集团Bj的大小成正比.取集团B的反应速率核为L(k;l)=Lkl，其分别与集团Bk和集团Bl的大小成正比.

把反应速率核带入到（1）式和（2）式中，可把（1）式和（2）式替换成下面形式：

给方程（3）两边同时乘以k，再进行求和可以得到下面关系式：

（5）式说明集团A的总质量为一常数，不随时间发生变化.再结合初始条件，可以得到：

假设a(t)和b(t)的解分别满足=和b(t) =B[b(t) ]k−1的 Ansatz假设形

kkk0式，可以分别把集团B的总数目0和总质量写成下面形式：

把Ansatz假设的形式代入（4）式后，可得到下面微分方程：

从而可以得到下面关系式，即：

求解（10）式和（11）式，可得到下面形式的解：

从（12）式和（13）式可以看出，集团B的集团总数目因自身的交换聚集生长而随时间减少.与文献[10]的结果比较，可以发现，虽然催化剂在被催化出生，但催化剂的总数目随时间变化的关系不受影响.集团的总数目只与集团的初始浓度B0及反应速率核L有关.从（13）式可以看出，集团的总质量随时间的变化呈指数形式增长，与催化剂的反应速率核及集团A的初始浓度有关.集团A的初始浓度A0或者反应速率核的比例系数K越大，集团B的总质量增长得越快，可见这时候集团A的交换迁移聚集对集团B的总质量的增加有很大的影响.

2 伴随着催化剂出生的催化交换模型的求解

利用关系式B(t) =(1 −b)，可得出B(t)随时间的变化关系：

把（14）式和（15）式代入Ansatz假设，可以得出如下的集团浓度分布函数bk(t)随时间的演化形式：

在k?1，t?1时，式（16）可写成下面的近似形式：

集团B的集团浓度分布满足下面推广标度的形式[11]：

其中集团B的特征大小为SB(t) ;LB0te xp().可以看出在这种情况下，系统聚集的速度比不出生时的聚集速度要大很多，不是成正比关系增长，而是呈指数关系增长.

同样，利用Ansatz假设可以把（3）式写成下面微分方程组的形式：

从而可以写出集团浓度分布函数ak(t)随时间t演化的形式：

在k?1，t?1时，（22）式可写成下面的近似形式：

集团A的集团浓度分布函数ak(t)满足下面广义标度的形式[5]：

在这里f(t) =exp()，标度指数分别为ω=2，z=1.系统的特征大小S(t)随时间呈指数形式增长，比催化剂不出生的交换聚集生长模型[10]中的聚集速度要快得多.从反应速率核可以看出，集团B的催化能力与自身集团的大小有关，自身集团随时间迅速变大，因此与催化剂不出生的模型相比，在本文模型中集团B的催化能力要大得多，集团A聚集生长的速度也远远大于在催化剂不出生的模型中的速度.

这种情况下仍可得出系统集团的总集团数目：

集团总数目随时间以指数形式衰减.

3 结 语

本文依据现实经济社会中的贸易现象，基于文献[4]的交换迁移聚集生长模型，提出了伴随着催化剂出生的交换迁移模型，并根据模型提出的背景，取得了恰当的反应速率核.在平均场理论的基础上，列出了反应速率核方程，并在初始条件下设出了方程的解的具体形式即Ansatz假设，利用此假设给出了反应速率方程的解，求出了浓度分布函数随时间变化的关系，得到了系统中集团的总质量以及集团的总数目随时间的变化关系，并得到了系统集团的特征大小，从而体现出系统中集团聚集的快慢.

通过研究发现，在伴随着催化剂出生的交换迁移模型中，系统的聚集速度远远大于在催化剂不出生的交换聚集生长模型中的聚集速度，这说明催化剂的出生对自身的聚集和被催化集团的聚集都有很大的影响.因为集团A的聚集速度与集团B的总质量有关，所以随着催化剂B质量的不断增大，集团A交换聚集的速度也不断增大.集团A的一次交换聚集又会催化集团B出生一个，如此反复循环，对应着经济中最好的一种理想的协作效应，经济的速度将会呈现非线性增长.

[1]Ispolatov S, Krapivsky P L, Redner S. Wealth distributions in asset exchange models [J]. Eur Phys J B, 1998, 5: 267-276.

[2]Leyvraz F, Redner S. Scaling theory for migration-driven aggregate growth [J]. Phys Rev Lett, 2002, DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.068301.

[3]Ben-Naim E, Krapivsky P L. Exchange-driven growth [J]. Phys Rev E, 2003, DOI: 10.1103/PhysRevE.68.031104.

[4]Ke J H, Lin Z Q. Kinetics of migration-driven aggregation process [J]. Phys Rev E, 2002, DOI: 10.1103/PhysRevE. 66.050102(R).

[5]Lin Z Q, Ke J H. Kinetics of a migration-driven aggregation processe with birth and death [J]. Phys Rev E, 2003, DOI: 10.1103/PhysRev E.67.031103.

[6]Lin Z Q, Ke J H, Ye G X. Mutually catalyzed birth of population and assets in exchange-driven growth [J]. Phys Rev E, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevE.74.046113.

[7]Wang H F, Lin Z Q, Ke J H. Competition between the catalyzed birth and death in the exchange-driven growth [J]. Phys Rev E, 2007, DOI: 10.1103/PhysRevE.75.046108.

[8]Ke J H, Lin Z Q, Zheng Y Y, et al. Migration-driven aggregate growth on scaling-free networks [J]. Phys Rev Lett, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevLett.97. 028301.

[9]Ke J H, Lin Z Q, Zheng Y Y, et al. Kinetics of migration-driven aggregation processes on scale-free networks [J]. Phys Rev E, 2006, DOI: 10.1103/PhysRevE.74.056102.

[10]李晓东. 多种催化剂作用下聚集系统动力学标度行为的研究[D]. 温州: 温州大学物理与电子信息工程学院, 2010: 46-52.

[11]Ben-Naim E, Krapivsky P L. Kinetics of aggregation-annihilation processes [J]. Phys Rev E, 1995, 52, 6: 6066-6070.

Kinetic Behavior of Catalytically-driven Exchange Model with Catalyst Yielding

LI Xiaodong
(College of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

According to the existing intermediary trade phenomena in the social economic system, a model of catalytically-driven exchange with catalyst yielding was proposed and the reaction rate equation of this system’s group evolution was given. Then the equation was calculated by using the Ansatz hypothesis. Finally, the scaling behavior that was satisfied by the system’s group distribution after a period of time and the evolutionary form of total mass and total number of group with time were obtained.

Catalytic Exchange; Scaling Behavior; Reaction Rate Equation

(编辑：王一芳)

O415

A

1674-3563(2010)06-0030-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.06.006 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-03-30

国家自然科学基金(10775104)；国家自然科学基金(10305009)

李晓东(1983- )，男，陕西西安人，硕士研究生，研究方向：软物质物理