发现特殊值 渗透极限思想

方爱斌

“鸡兔同笼”问题作为人教版六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容，教材中先后呈现了列表法、假设法、方程法、抬足法四种不同的解决问题的策略。此问题蕴含着丰富的数学思想方法，适合于小学低中高各年段，每个年段都有不同的侧重方法，与学生的发展思维相适。以“鸡兔同笼”为教学素材，苏教版作为替换策略的练习题，北师大版把课题定位为《尝试与猜测》，而人教版则体现多种策略解决问题。作为“通性通法”的尝试列表法解题策略，在六年级人教版多种策略中如何定位？反复思考之后，我以为，通过引导学生发现特殊值，渗透极限逼近思想，把猜测变成确定的规律，将尝试列表法进行优化，有其独特的教育价值。

教学片断：

例：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”以史激趣，导入新课后，题目化简为：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”

学生尝试猜测，探索规律。

1.任意猜：（交流后，汇报你是怎么猜的，以及猜想的情况）。

2.有序猜：出示表格四个组，同桌合作从四个方向猜。

左起，右起，中间靠左，中间靠右开始猜。

3.发现特殊值，渗透极限逼近思想。

（1）由四种猜法，得一完整表格。（课件出示）

（2）认真观察，从表格中你能不能发现“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”（学生独立思考）

（3）需要帮助吗？课件提示：（脚数16，头数8，16是8的2

倍）

（4）再观察，你发现什么？（小组交流）

（5）越靠近2倍，鸡的只数和兔子只数有什么变化？越靠近4倍呢？

（6）现在让你猜兔子和鸡的只数，你会怎么猜？

4.尝试解决例题，并说说你的想法。

片段反思：

教学时，让学生经历尝试、有序列举（填表）、调整，进一步培养了学生有序思考的习惯。通过观察表格，适时地抛出了问题：“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”引发学生的认知冲突，突显学生的深刻思考，引导发现特殊值“当兔的只数是0只，全部是鸡时，脚的只数是头数的2倍。当鸡的只数是0时，也就全是兔子，脚的只数是头数的4倍。”探索出：“如果脚的只数越靠近头数的2倍，鸡的只数猜多一点，如果脚的只数越靠近头数的4倍，兔的只数猜多一点。越靠近2倍，鸡的只数越多，越靠近4倍兔子的只数越多，等于2倍，全是鸡，等于4倍全是兔子。”在学生能有序思考基础上，对特殊值进行合理推理，渗透极限逼近思想，探索猜测方向，优化尝试法，产生新的解题策略，渗透假设法的体验。

策略思考：

通过渗透极限逼近的思想，对尝试法进行优化，使学生对尝试的起点有了感性认识，应用这一策略解决问题的几点思考。

1.一一列举法，是一种重要的解题策略，有美中不足。解决“鸡兔问题”中，通过发现尝试起点的规律，可以弥补这一不足。并且学生如果应用假设法解题，此方法也可作为检验答案的依据，锻炼学生推理能力，估算能力。

2.当数据太大，猜测更有难度时，可通过估算，尝试用线段点画出2倍、4倍（端点），3倍（中点）。再取中，或靠左，或靠右，进行尝试猜测，或跳跃式猜测，与列表法有机结合。

例：文化宫电影院有座位2000个，前排每张4元，后排每张2元，前排和后排总价6800元。问该影院前座和后座各有多少个？

6800比6000多，可猜后排多一些，再跳跃式调整。

3.当“脚数”发生变化时，随着“脚数”的变化，调整倍数关系。

例：（P116练习题3）盒子里有大小两种钢珠，共30个，共重266g，已知大钢珠每个11g，小钢珠每个7g。盒中大钢珠、小钢珠各有几个？倍数由鸡兔的2倍、4倍，调整为7倍、11倍。

4.如果已知总脚数差，把问题极端化，使得脚数差最大，通过交换，每换一次，总脚数差减少“2+4”脚数只。

例：鸡兔共有一百只，鸡比兔少70条腿。问鸡兔各有几只？

假设100只全是兔子，则一共有400只脚，鸡有0只，脚数差是400。实际上鸡比兔少70只，两者之间就相差400-70=330只，如果用一只鸡去换一只兔子，每换一次的差就较少6只（注意不是2只），因此需换330÷6=55只，既有55只鸡。

定位于教学多种方法解决鸡兔问题策略，并对尝试列表法进行优化，通过引导发现特殊值，渗透极限逼近思想，寻找尝试规律，培养了学生对尝试起点的敏感性——本质上是对数据的敏感性，并不是为了拔高教学要求，而是将学生可接受的水平结合起来，培养学生推理和探究能力，挖掘并提升问题的教育价值。