试谈“一次函数”中的数学思想

张官胜

摘要:用数学知识和数学的思维方法去看待、分析和解决实际生活问题,体现了 “人人学有价值的数学”的课程理念,是当前课程改革的大势所趋。 解决问题时倡导将各种数学思想方法有机地结合起来理解,相互联系、相互融合运用。在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

关键词:函数;方程;数形结合分类讨论;整体类比;几何运动变化;建模

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)10-0059-01

数学思想是数学知识的精髓,它在学习和运用数学知识的过程中,起指导作用。基本知识点是数学课上首先要掌握的,但更重要的是解决问题的思路和方法,思路和 方法的获取要靠自己一步一步地去体验和理解,更重要的是解决问题的过程,在过程中探索、获取思路和方法。每年的中考数学题都着重考查了同学们对数学思想方 法的理解和掌握。因此,同学们在数学学习中,对重要的数学思想方法的学习要加强,而不是消弱。

下面谈一谈“一次函数”中的数学思想。

一、函数的思想:就是根据题中条件学会用函数方法解决实际问题。“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系,从量的侧面反映客观世界的动 态,它们的相互制约性,函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型。经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想和一次函数在我们现实生活的广泛应用,培养同学们“数学化”的能力。

二、方程思想:就是从分析问题的数量关系入手,适当设出未知数,通过等量关系列出方程或方程组来解决问题的一种数学思想方法。主要是指建立方程(组)解决 实际问题的思想方法。函数思想与方程思想的联系十分密切。如解方程就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值;用函数图象的“交轨”方法,可以求 出或讨论方程f(x)=g(x)的根或“函数组”化的方程组,等等。这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。

三、转化思想:就是根据知识间的内在联系 ,把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题,恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式,问题就能比较顺利地得到解决,这 就是转化思想。领悟了转化思想,能够帮助同学们打开思路,把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。 例如,一次函数的图、表、式三种表示方法之间的相互转化,通过方程与函数的联系解决问题,求两条直线交点的问题转化为解二元一次方程组的解。使学生学会以 特殊情况为基础,通过转化来解决一般问题的方法,培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。

四、数形结合思想:就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考查的思想,简单地说,就是将数与形结合起来解题的一种方法,在数学中占有非常重要的地 位。在解题方法上,把“数”与“形”相互转化,从而使问题化难为易、化繁为简,做到灵活进行数形转化,达到解决问题的目的。在生活中量与量的关系可以形象 地通过图象直观地表现出来,如心电图、股市行情走势图等,图象中含有着丰富的图象信息,要善于从图象的形状、位置发展变化趋势等有关信息中获取启发。教学 中根据函数的图象确定一次函数的表达式,由函数图象获取信息,由y=kx+b中k、b的值,可画函数的图象;由函数图象,能判断k、b的取值范围;以及y 随x的变化而变化的情况。让学生把一次函数的性质熟练运用,进一步体现数形结合思想。

五、分类讨论思想:当研究的问题包含多种可能情况时,必须按所有可能出现的情况来分别讨论,从而得到各种情况下相应的结论,这种处理问题的思想称为分类讨 论思想。它既是一种数学思想,又是一种重要的解题策略。并且需分类讨论的问题覆盖的知识点较多,还要注意分类的方法和技巧,做到明确分类标准,即“不重 复,不遗漏”。如一次函数图象经过哪些象限需要针对k、b的取值范围分情况讨论;理解某函数的折线图象时需分段考虑;实际应用题中涉及多种情况时也需要分 类。

六、整体思想:就是将注意力和着眼点放在问题的整体上,或把一些相互联系的量作为整体来处理的思想。不仅能避免复杂的计算,而且能达到解决问题的目的。如 “y-a 与2x+b成正比例”,那么,可以设y-a=k(2x+b),则y=2kx+2b+a,…

七、类比思想:即所谓的“类比发现法”,就是通过对两个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较,从一个已经学过的、熟知的研究对象所具有的性质,去猜 想另一个研究对象所具有的类似的性质。同学们可由题目结构相同或类似,类比可得题目间解题的方法可能相同或类似,以此尝试确定解题的思路。

八、几何运动变化思想:适用于常以动态的形式出现的图形变换题。将一个图形或某部分进行平移、旋转、轴对称或中心对称变换后,得到新的图形,从中探求结 论。不仅要求学生会根据已知条件作出变换后的图形,还要求学生能根据原图形与变换后的图形的位置关系说明具体的变换过程。“一次函数”中主要是了解图象 (直线)的平移。

九、建模思想:从实际问题抽象出数学模型,再利用数学知识解决它,这种思想叫做数学建模思想。是一种常见的解决实际问题的思想,其实质是从实际问题中提取 出关键性的基本量,再将其转化为数学问题来进行推理、计算、论证等,最后得出结论。

总之,在课堂上,在老师的引导下,学生投入到解题的整个过程中去,要通过亲自动手、亲自探究,在解题探究的整个过程中,自然而然地掌握了思路、方法,这样 获取的思路和方法才是学生自己的。从教学效果看,在“一次函数”的教学中渗透和运用这些数学思想方法,能增强学习的趣味性,激发学生的学习兴趣和学习的主 动性;能启迪思维,发展学生的数学智能,有利于学生形成牢固、完善的认知结构。这样无疑有助于学生数学素养的全面提升,无疑有助于学生的终身学习和发展。