悟性：数学教学中不可缺少的思维能力

沈　泉

数学是一门科学、是一门技术、是一门工具、是一门语言、是一个过程、是一种思想、是一种观念、是一种精神、是一种文化、是一门需要时间和空间去悟的学科。

一、透视数学现象,感悟数学之美

数学来源于实践,又经过抽象提炼,因此随着数学的产生,美感的一般表现形式(自然美、艺术美)就存在于数学之中,数学的魅力就在于透视数学的现象,展现数学的美好与神奇。教师通过教学使学生学习数学知识的同时,透视直线的刚劲平稳、曲线的对称柔和、起伏的正弦曲线等自然现象来感悟数学美的欢快、体味数学美的奇妙。学生漫步在数学美的图苑中,也在同时欣赏着教师的教学之美。数学之美乃探究之美、发现之美、应用之美。教师通过对一道数学题的解决,一个定理的发现,一个猜想的证明让学生为之激动与陶醉,让学生于枯燥之中见新奇,于迷茫之中得豁朗,感悟数学美的真谛、体会数学美的深邃。随着时间的推移,也许学生就会用心灵去感受数学之美,树立追求数学美的愿望,体会数学美的魅力,逐步从喜欢数学到热爱数学。

如著名的斐波那契数列不仅以其独特的外形美引人注目,而且前后两项的比越来越接近于0.618(黄金数)。这样斐波那契数列与黄金数、勾股定理演变出一系列奇妙的性质,令人神往,成为数学美学的一段佳话。这些美让数学变得光彩夺目,教学中要适当引导学生用一双双善于捕捉美的眼睛、一颗颗感受数学美的心灵、一个个追求美的愿望,去透视数学现象,感悟数学之美。

二、探究数学过程,深悟数学建模

数学推理过程既是一种思维形式,又是一个思维过程。若干个推理组成了一个证明,无时不在,无处不有。对于那些经过抽象概括获得的命题, 只有在经过演绎推理证明其正确性以后才能称之为定理。其推理的形式包括归纳推理、类比推理或其他合情推理等。没有推理就没有数学和数学的发展,为此,在教学中教师必须给学生一定的时间去探究数学的推理过程,让学生去深悟数学推理的严密性、严谨性、广泛性、规律性,深悟建模能否用于解决问题的多次循环、不断深化的过程,如何建模解决实际问题,掌握数学建模的方式及过程。

另外,数学还是一个优化过程、一个量化过程和应用过程,教师要适当地引入社会经济问题、生活游戏问题、物理自然问题和科研生产等问题。这些蕴涵且传递着数学信息的实际问题,为学生运用数学建模提供了广阔的空间。学生去探究后,就会通过建模加深认识,彻底地了解概念的提出、形成和发展。教师的“知”转化为学生的“悟”,由浅入深,进而“引爆思维,开拓思维”,使学生构建起一个包括数学思想方法在内的完整的认知结构体系。这真正体现教师为主导、学生为主体的教学理念,有益于提高学生学习的主动性及分析问题解决问题的能力。

探究教学的过程,反思认知的结构,总结知识的运用,可使学生经历一个“由厚到薄”的过程,养成用数学头脑对周围事物进行数学思维的习惯,克服在知识掌握上的孤立与离散的状态,深悟知识的来龙去脉及它在体系中的地位和作用,以形成相应的知识网络,使之系统化、条理化。

三、提炼数学方法,领悟数学思想

徐利治先生在《数学家是怎样思考和解决问题的》一文中,指出了数学家们在数学创新过程中常用的几种数学方法:联想法、归纳法、类比法及抽象分析法。联想法是把不同事物联系起来的一种思想方法;类比法就是对两个或几个相似的东西进行联想,把它们中间某个较熟悉的性质转移到它的相似的对象上去,从而做出相应的判断和推理;归纳法就是从特殊到一般的方法;抽象分析法就是用数学语言、数学概念和数学符号去表达实际问题的数学思想方法。数学思想是数学方法精髓之所在,在数学学习中对数学思想的领悟和运用十分重要。数学思想与具体表层知识相比,更加抽象和概括,而且更具有隐蔽性,这就决定了要领悟和掌握数学思想,必须在实际解题中对具体方法进行分析、提炼和概括。如果不对它加以提炼和概括,那么它的适用范围就有局限性,而且不容易产生迁移。反之,对解题过程及方法进行提炼,可以分析出具体方法背后隐藏的数学思想,并对具体的方法进行加工,从中提炼出应用范围更广泛的思想方法。这样长期下去,则有利于数学思想的领悟和掌握。

四、品味数学元认知,顿悟数学规律

顿悟是指突然觉察到问题的解决方法或规律,它是格式塔心理学家的主要代表人物苛勒(WolfgangKohler)通过对黑猩猩的学习问题的实验研究而提出来的。苛勒认为动物解决问题是一个顿悟的过程,他把学习解释为“知觉重组”或“认知重组”。顿悟理论是格式塔心理学对学习研究的最大贡献。

苹果只有落到牛顿的头上才顿悟了万有引力定律,只有阿基米德发现了水从浴缸里溢出才顿悟了阿基米德定律。这些在不经意间的豁然开朗,正是在元认知的调控与指导下的顿悟表现。顿悟产生之前必然要经历一段艰难的、模糊的摸索数学元认知历程,没有持久进行的积极的思维行动,没有元认知的不断调整与修正及不断的品味,是不可能产生顿悟的。学生的心理和行为向预期目标的发展,都需要依赖元认知的反馈调节,教师应及时地、有针对性地调节教学,让学生参与自我评价,改善学习的进程。如何提高元认知能力呢?方法很多,比如积累与运用个人的数学资料。(1)成功学生的元认知计划不仅仅是听课、作笔记和等待教师布置的测试,他们会预测完成作业需花多少时间、考试前复习笔记、针对错题笔记查找资料作选题训练、整理个人学习心得笔记等个人数学资料及使用各种科学有效的方法学习。(2)学会反思,学会合情推理,掌握自我讲授法及书写法。(3) 运用个人数学资料进行提问或做审题训练,对元认知进行后调整与修正。 元认知过程一般分为8个阶段,即获取信息阶段,辨认识别、提取信息阶段,酝酿及预测阶段,领会监控、信息迁移阶段,元认知监控、调整、信息重组阶段,拟定计划阶段,监控计划、信息组合阶段,实施计划阶段。为此,教师在教学中要能留给学生足够的时间去独立思考,留出足够思维的空间让学生运用元认知去细细体味,给学生创造顿悟的机会。

五、关注数学细节,觉悟数学技巧

在问题解决的教学实践中,学生领悟了数学思想方法,但要想将思想方法加以灵活自如的运用,还有待于挖掘隐藏于题目背后的数学细节,形成一定的数学技巧,否则一切思想也只能是镜中观月,可望而不可及。在问题的表象之后,隐藏着数学思想的巧妙应用,学生对于数学技巧的形成往往需要经历一个从模糊到清晰的较长过程。这都要有时间的保障。因此在教学中教师要关注数学教学的细节,在多次的应用中,让数学思想的妙用慢慢地展露出来,让学生逐渐地觉悟数学的技巧,从而形成能力。

在教学中要回避“压路机式的教学”,警惕教学中的“滑过现象”,要突出重点,丢弃以往的讲得多练得少、讲解不到位练得太分散、讲得太辛苦学得很吃力的陈旧落后的“经验教训”。放下“害怕”的思想包袱,不要牵着学生走,让学生活动起来。课堂例习题的编制要做到低起点、重基础,要更能符合学生的最近发展区。既有探究性又有开放性, 留有时间的余地,让学生能慢慢地去觉悟, 在轻松而紧张的教学环境中体验收获与成功的喜悦。

“悟”需要时间,“悟”需要过程,“悟”需要关爱与呵护,“悟”需要持之以恒,让我们一起行动起来,为学生营造一个宽松和谐的悟性思维空间和时间,促其展开想象的翅膀,自由地翱翔吧。