寻找那些美丽的数

小　七　　小　璐

数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。

一个个数字，非但毫不枯燥，而且生机勃勃，鲜活亮丽!今天，我们给大家介绍的二种有意思的数!

首先，提一个问题：大家知道12345678987654321这个十七位数，是由哪一个数的平方得到的呢?

这个问题，看似很复杂，但是我们先来看下面的算式：

11²=121

111²=12321

1111²=1234321

11111²=123454321

你知道它在何时终止吗?

观察上面几个式子，我们就能很容易发现规律：11…11²=123…n…321(等号前面共有n个1，其中n=1，2，……，9)。由此1 2345678987654321这个十七位数，是由哪一个数平方得到的，也便不言而喻了：它是111111111得到的。

瞧，这些数：121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321的排列多么像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齐有序。像上面这些数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大，由1到9，且是连续自然数，达到顶峰，以后又逐渐减小，由9到1，它活像一枚橄榄，所以我们称这些数为橄榄数(它是一种特殊的回文数)。

这样说来，橄榄数只有八个121，12321，1234321，……，12345678987654321，显然最小的橄榄数是121，最大的橄榄数是‘12345678987654321。

再来寻找一下规律：

对各个橄榄数121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321分析可分别得到：

1+2+1=2²

1+2+3+2+1=3²

1+2+3+4+3+2+1=4²

1+2+……+(n-1)+n+(n-1)+……2+1=?=n²

(其中n=1，2，……，9)

即橄榄数各个数字的和等于它中心数字的平方。

请大家想一想：12345654321是不是一个橄榄数，它又是哪个数的平方呢?这个数能被3、7、11、13、37整除吗?

(参考答案：12345654321=111111²。而111111能被3，7，11，13，37整除，所以12345654321也能被3，7，11，13，37整除)

我们知道了121，12321，1234321，123454321……是“橄榄数”。还有一些数，如：26562，9461 649，虽高低交错，却也左右对称。因此，这类数又被我们称作“对称数”，根据它们的风格，不论你顺读，还是倒过来读，都完全一样，所以我们还可以把它们叫做“回文数”。

对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数：奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数：偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数。

对称数的位数，一般大于或等于两位。最小的对称数是11，没有最大的对称数。

对称数排列有序，整齐美观，形象动人。那么，怎样能够得到对称数呢?

有人试着这样做：25+52=77，得到的和正好是对称数：76+67=143，143+341=484，也得到了对称数：59+95=154，154+451=605，605+506=1111又得到了对称数。于是人们猜想：把某些自然数与它的逆序数(在数学中，我们把具有1 089和9801这种对称格式的两个数叫做互为镜反数，有时也称一个数是另一个数的逆序数)相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，可得到对称数，这就是著名的“对称数猜想”，至今仍然是个谜。

那么对称数又有哪些性质?

(1)任意一个数位是偶数的对称数，都能被11整除。如一1001÷11=91，5445÷11=495

(2)两个由相同数字组成的对称数，它们的差必定是81的倍数。

如：9779-7997=1782=81×22，43234-34243=8991=81×111

(3)人们发现，有些对称数相乘之后，所得乘积还是对称数，如：212×141=29892。

对称数中平方数是非常多的。如：121=11²，12321=111²，484=22²，676=26²。一个整数的三次方、四次方也有类似的情况。如：343=7²，1331=11²等。一个整数的五次方、六次方……能够得到对称数吗?这方面的探索令人失望，现在还没有谁发现存在五次方数的对称数，也没有发现次数更高的对称数。

更为有趣的是“回文数”中的“回文年”，如一2002年，2112年我们称它们是“回文年”等。

请你想一想：

1把自己的年、月、日连成一个自然数，求出自己的回文数。

2“青山绿水×4=水绿山青”中的文字分别代表哪些数字?

3“细心大胆×9=胆大心细”中的文字分别代表哪些数字?

参考答案：

1如：小强的生日是97年12月01日，把971201看成一个数，用回文数猜想可求出它的回文数是一个8位的回文数，即51866815。

2因为一个四位数的4倍后，积也是四位数，所以被乘数的千位数只能是1、2，又因为积是偶数，所以“青”字只能是2：因为积的个位数字是2，所以被乘积的“水”字只能是3、8，从积的千位数字分析“水”字只能是8、9，所以“水”字是8：分析被乘数百位数字“山”字只能是0、1、2，因为“青”宇为2，“山”字只能是0、1，当“山”字取0时，找不到“绿”字对应的整数，故“山”只能取1，并可求出“绿”字为7。所以：青山绿水=2178，水绿山青=8712。

3因为一个四位数的9倍后积也是四位数，所以被乘数的千位只能是1，即“细”字是1，因为积的个位数字是1，所以“胆”字只能是1、9，从积的干位数字分析“胆”字只能是9，因为“胆”字是9；分析被乘数的百位数字，它只能是0、1：因为“细”字是1，所以“心”字是0，当“心”字取0时，得另一个“大”字是8。所以：细心大胆=1089，胆大心细=9801。

我们探讨了对称数(回文数)，我们知道对联中有“回文联”(如：处处飞花飞处处，声声笑语笑声声)，诗词中有“回文诗”(如：山连海来海连山)。而在数学中不但有“回文数”还有“回文式”，下面我们再来研究一下“回文式”。

如：38+61=16+83

43-16=61-34

36×42=24×63，

12x231=132×21。

43×6528=8256×34，

168×861=294x492，

1456×6541=2743×3472，

13248×84231=23184 x48132等，像上面这样的式子，我们称做“回文式”。

这样的“回文式”还有吗7

下面让我们以38+61=1 6+83为例，找出两位数加两位数等于两位数加两位数回文等式中的规律。

设这两个两位数分别是lOa+b，10c+d，要使(10a+b)+(10c+d)=(10d+c)+(10b+a)，Ⅲ0有a+c=b+d。

即：这两个两位数的十位数字之和等于个位数字之和时，满足回文等式。

如：3+4=5+2贝0有35+42=24+53和32+45=54+23都是回文式i再如：6+9=7+8则有67+98=89+76和68+97=79+86都是回文式。

同理，我们可以找出两位数减两位数等于两位数减两位数回文等式中的规律。设这两个两位数分别是lOa+b，10c+d，要使(10a+b1-(10c+d)=(10d+c)一(10b+a)，则有a+b=c+d。

即被减数的十位数字与个位之和等于减数的十位数字与个位数字之和时，满足回文等式。如：53-26=62-35中有5+3=2+6：75-39=93-57中有7+5=3+9。