让数学课厚实起来

周益忠

数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。数学基础知识是显性的体现在教材编写中，而数学思想方法则是内隐于知识的形成过程之中。小学阶段各册教材渗透了对应、集合、分类、化归、极限、数形结合、数学建模等大量的数学思想方法。日本著名数学教育家米山国藏就曾指出：作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。在日常教学中，我们经常会看到教师注重知识、技能教学，忽视数学思想的渗透的现象。在一次研讨中，笔者听到了这样的两个片段。

改进前：

1、第一行摆一根小棒，第二行摆的根数是第一行的三倍。指名板演、说说是你为什么这样摆?

2、第一行摆三根小棒，第二行摆的根数是第一行的三倍。指名板演、集体交流。

3、第一行是两根，第二行摆的根数是第一行的四倍。指名学生操作汇报。

改进后：

1、第一行摆一根小棒，第二行摆的根数是第一行的三倍。指名板演。说说是你为什么这样摆?

师：如果我们把小棒横过来放是怎样呢?试一试。

2、第一行摆三根小棒，第二行摆的根数是第一行的三倍。指名板演：(1)第一行：／／／

第二行：／／／／／／／／／

(2)第一行：———

第二行：————————————

师：如果把第(2)种情况的小棒连起来，再用几竖把它们分开，这样的图，在数学里我们称它为线段图。

教师展示：第一行：|_____|

第二行：|_____|_____|_____|

讲解：我们用三根小棒连成的一条线段表示它有3根小棒，那么第二行是第一行的3倍，就是有这样的三段，也就是9根。

你能看懂线段图的意思吗?同桌说一说。

3、一位小朋友不小心把第一行弄乱了，不知道有几根，只知道第二行是第一行的4倍，你能表示第二行有多少根吗?

学生思考反馈：第一类第二类第三类

第一行：／／○|__|

第二行：／／／／／／○○○○|__|__|__|__|

生1：我是用摆的方法，想：假如第一行乱的是有两根，那么第二行就有四个2，就有8根。

生2：我是用画的方法，用一个0表示第一行有多少，反正圆圈不知道有多少，第二行是第一行的4倍，我就在第二行里画四个0，表示是第一行的4倍。(掌声)

生3：我用线段来表示，用一条线段表示第一行，用四条一样长的线段表示第二行是第一行的4倍。(掌声)

小结：小朋友们真聪明!“倍”是由两个数量比较得到的，把一个数量看成是一份，另一个数量就是几份，几份就是几倍。

[思考]

在上述片段中，改进前教师按部就班，可以说完成了教学流程，看似比较顺，却缺乏思维的深度：而改进后，从竖着放的小棒到横着放的小棒，再到连起来的小棒，细小的变化，巧妙地引出线段图，让学生经历一个从实物到图形的抽象过程；接着教师又抛出了更具挑战性的问题：第一行不知道有几根，只道第二行是第一行的4倍，你能表示第二行有多少吗?对此，不同的孩子呈现出不同个体之间的思维差异，在不断剔除概念非本质属性的过程中，揭示了“倍”是表示两个量之间的数量关系的本质，学生经历了一个意义建构的过程。

相同的材料，不同的处理，却收到了截然不同的效果。原因就在于前者只关注了知识的本身，而后者有效地沟通了显性知识与隐性知识之间的联系，在学习知识的过程中还渗透了数学思想方法的学习，数学课也因此变得厚实起来。那么，如何切实把握数学思想方法教学，让数学课厚实起来，笔者认为应从三方面着手：

1、研究教材，把握数学思想方法渗透的固着点

准确把握教材数学思想方法渗透的固着点是进行数学思想方法教学的基础。综观人教版教材，分类中的集合思想、表格式计算中的一一对应的思想，平面图形面积计算中的化归思想等等，其中都渗透了丰富的数学思想方法。这些数学思想方法的渗透又是蕴含在一个个知识点中，伴随着知识的发生、发展而逐步显现。相对显性的知识，它是隐性的，易被教师们所忽视。因此，一名教师首先要加强数学本体性知识的学习，提高自身的数学素养和敏锐性；同时要精心研读教材，理清教材数学思想方法渗透的主线索，找准每一课时的基础知识中数学思想方法渗透的固着点，才能为有效落实数学思想方法奠定基础。

2、精心设计，落实渗透数学思想方法的着力点

数学思想方法的渗透是一个潜移默化的过程，需要教师在学生学习的各个过程中搭好“脚手架”。首先教师要选好有结构的学习材料，贯通学习材料与数学思想的联系，能够让学生在学习材料的“深加工”中，逐步提炼数学思想方法。其次要精心设计渗透方法。渗透方法要从学生的实际出发，不能生搬硬套。在改进后的教学中，借助磁性吸管的帮助，通过位置摆放的变化，巧妙的从实物图过渡到线段图，抽象过程顺其自然，水到渠成。因此方法的设计要符合学生的年龄特点、认知规律，过程要简洁明了。再次要适时地引领、提升。在渗透数学思想方法教学的过程中，需要教师发挥引领的作用。通过教师启发、点拨和小结，提高学生对知识的理解，凸现数学思想方法的脉络，让学生领悟数学思想方法的精髓。

3、螺旋上升，注意数学思想方法渗透的渐进性

数学思想方法具有抽象性和简洁性，因此数学思想方法渗透是一个螺旋上升的过程。教师要允许学生由于个体差异而形成的对数学思想方法领悟程度的不同。在解决第一行不知有几根，第二行是第一行的4倍的问题中，第一位学生尚未能脱离具体的数量的支持，第二位学生则运用了合集图，第三位学生却能建构起倍数关系的模型，学生的发展程度是不同的。由于小学生阶段对数学思想方法的渗透将是一个由浅入深，由个别到一般的过程。同时也要关注不同学段、不同内容的重复体验，加深学生对数学思想方法的认识。

数学思想方法是数学的灵魂。在新课程改革深入推进的今天，关注数学思想方法的教学必将得到每一位教师的重视，必将引领学生进行更有效的学习，也一定会让数学课堂更加厚实。