谈数学直觉思维及培养

李宏严

数学直觉思维就是大脑对数字及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。伊恩·斯图加特曾说过：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋“辉煌的大厦”；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

由此可见，直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。法国科学院院士狄多涅认为：任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他们要处理的数学对象有一个可靠的“直觉”。一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。因此，在数学教学中要善于创造条件、捕捉时机，培养学生的直觉思维。

一、“四基”是产生直觉的前提

直觉思维是基于对该领域的基础知识及其结构的了解，正是这一点才迫使一个人能以飞跃、迅速越级知识和放过个别细节的方式进行直觉思维。高度的直觉来源于丰富的学识和经验。它不只是个别天才所特有的，而是一种基本的思维方式。扎实的数学基础知识和基本技能、丰富的数学基本思想和基本活动经验是产生直觉的前提。其实，数学直觉思维是对抽象的数学对象的一种直接领悟和洞察，并非简单地对具体事物的感性直观，是在一定的数学素养和数学知识积累过程中形成的一种思维能力。它是可以培养和不断提高的。正如徐利治教授所说：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”

如，在学完一元二次方程的解法后，笔者曾让学生做了这样一道题：已知a²+3n+1=0，b²+3b+1=0，求a6的值。

大部分学生都尝试解这两个一元二次方程，试图分别求出a、b后再求ab的值，结果却花了很多时间还是一无所获。但是，却有一个学生对一元二次方程的根的定义理解较深刻并且掌握较好，凭直觉立刻将a、b看成方程x²+3x+1=0的两根，由韦达定理很快得出ab=1。

二、在猜测中培养学生的直觉思维

牛顿说：“没有大胆的猜想就不会有伟大的发现。”数学课程标准中的课程目标也提到：要培养学生的猜测能力、发展初步的合情推理能力，让学生经历对问题的预测过程。因此，在数学课堂上，应鼓励学生凭直觉大胆猜想、预测。为此，就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想要给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，避免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

实际上，在数学教学中有很多让学生猜想的机会。例如，每学完一个新知识，可以让学生猜测下一步将会学什么。有的学生学习了有理数后会猜测到以后可能会学习无理数；学习了整式，会猜想以后将会学分式；有的学生学习了三角形的面积公式后，就能猜测到将要学习平行四边形、梯形的面积公式；学习了一元一次方程，就猜测将学习一元二次方程、二元一次方程。这些猜测和预感让他们对未来的学习内容平添了许多兴趣和期盼。而在概念的教学中，教师可先提出概念名称，由学生就字面意思进行猜测，再进一步教学。例如，在“等腰三角形”的教学中，笔者就让学生就字面意思猜测其含义，学生也能猜个八九不离十，并在猜测的过程中各抒己见，活跃了课堂气氛，也激发了学生的学习兴趣。一条定理或是一道题的解法，都可以鼓励他们猜想，猜错了则引导他们寻找原因。这样有利于激发他们的直觉思维，并使直觉思维从表层、低层向深层、高层发展。例如，在初中平面几何三角形中位线定理(三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。)的证明中，给出图形，在理解中位线概念之后，可以让学生猜想中位线与第三边的位置关系和数量关系。一般说来，学生依照直觉都能做出正确的猜想，根据猜想的结果指引论证的方法。通过这个过程，肯定了学生自己思维的角度与方式，极大地增强他们直觉思维的积极性。其实像这样依靠直觉猜想的结论来指引解题的方法，在数学学习中也是一种常用手段。教学中若教师只是按部就班地讲授教学内容，无暇让学生对一些问题进行猜想或是无暇对学生的猜想进行评析、论证，或是对错误的猜想采取简单的否定，这些做法都不利于培养学生的直觉思维，相反，还会扼杀学生的直觉思维。

三、在具体情境中培养学生的直觉思维

在教学中要重视问题情境的创设，它不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能，还可以提高学生各方面的能力，当然也包含直觉思维能力。恰到好处的问题情境可以使学生凭直觉去发现问题，更好地体验数学内容的生动、有趣并富有现实意义的特点。例如：在上《生活中的轴对称》这一节内容时，笔者并没有直接引入课题，而是先制作了多媒体课件，向学生展示了很多精美的对称的图片，有世界上有名的建筑，有美丽的山水图，还有一些生活中常见的东西。让学生观察、发现这些图片的共同点，引发了学生的极大兴趣，然后才提出问题：我们这节课的内容就与这些图片中所表现出的共同的特点有关，你能猜出来吗?很多学生几乎是马上答出：对称，然后才引导学生去观察。引入了课题后，在后面轴对称的有关概念的学习中，学生始终兴致盎然，很快掌握了有关的知识。笔者接着提出：我们生活中还有很多轴对称图形，也学过很多轴对称图形。全班同学争先恐后地列举起来，并说出了自己的理由，就连后面要学的线段、等腰三角形的有关性质，也开始探讨起来。这样使学生的观察能力得到了培养。心理学家指出：观察是一种高级的知觉形式，其最可贵的品质是从平常的现象中发现不平常的东西，从表象能看到本质，从表面上貌似无关的东西中发现相似点或是某种关系。因此强的观察力往往能促发直觉思维(如关联直觉或辨伪直觉)，而且有利于形成深层的直觉思维。

四、在开放性练习中培养直觉思维

无意识的直觉思维之所以能产生“奇妙”的思想，其根本原因在于这种思维活动不受任何有意识的思维所必然具有的条条框框的束缚，从而就可以最自由地作出各种可能的组合或是必要的选择。因此数学教学中，应鼓励学生尽量从多角度对数学对象进行分析和思考，培养发散思维、逆向思维，让思维变得有活力，有更强的灵活度，才可能形成并增强直觉思维。要鼓励学生尽量从多角度对数学对象进行分析和思考，培养学生的发散思维和逆向思维，教学中就要有意识地设计一些条件不足或多余，没有确定的结论或结论不唯一，解决问题的策略、思路多种多样等开放性题目给学生训练。在解决问题训练时，也尽可能设计一些与现实生活联系紧密又有多种解决办法的题目。如：某粮库原定8小时运送粮食320吨，现在任务增加到480吨。该怎么办?由于没有规定解决问题的具体方式，学生可以自由地发散思维，根据实际情况进行假想，从而找到解决问题的多种办法。《中国青年报》也曾报道：“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”。长期以来，教师由于把证明过程过分地严格化、程序化，学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而感觉不到。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。还是庞加莱说得好：逻辑思维用于论证，直觉用于发明，直觉无处不在，直觉为人们打开发现真理的大门。

责任编辑：罗艳