离散广义系统的区间矩阵平稳振荡

龚文振

(玉林师范学院数学与计算机科学系,广西玉林 530004)

离散广义系统的区间矩阵平稳振荡

龚文振

(玉林师范学院数学与计算机科学系,广西玉林 530004)

利用范数理论和代数方法,研究了离散广义系统的区间平稳振荡问题.给出了两种区间矩阵平稳振荡存在的充分条件.提供了可行性的算例.

离散广义系统;稳定性;区间矩阵

1 引言

在实际的问题中,由于量测和建模的原因,误差的出现常常是不可避免的,因此研究具有扰动性的系统也就是系统的鲁棒性问题具有更为实际的意义.系统的区间矩阵的相关问题是鲁棒性问题的重要内容,关于区间矩阵的研究目前已取得了一些成果,如文[1-2]研究了普通状态空间系统的区间矩阵平稳振荡问题,文[3-6]研究了普通状态空间系统的区间矩阵稳定性.近年来,在广义系统区间矩阵方面的研究也涌现了一些成果,文[8]利用几何方法研究了广义区间动力系统的稳定性问题,文[9]对系统矩阵E具有特殊形式情况讨论了广义区间动力系统的稳定性问题.然而关于广义系统的区间平稳振荡问题研究成果还较少,本文的目的就是研究离散广义动系统区间平稳振荡的存在性,为广义系统理论和周期解理论增添新内容.

2 定义与引理

考虑如下的正则广义系统

其中E,A∈Rn×n,rankE=r＜n,x(k)∈Rn

定义1[9]称系统(1)是正则的,如果存在λ∈C使得|λE−A|/=0.

定义2[9]称系统(1)是稳定的,如果λ∈σ(E,A)={λ|λE−A|=0},都有λ＜0.

定义3[9]称系统(1)是因果的,如果deg det(λE−A)=rankE.

引理1[12]离散广义系统(1)是正则的、因果和稳定的充要条件是存在可逆对称矩阵P使得

对于向量x=(x1,…,xn)T∈Rn,其范数定义如下

对于矩阵A=(aij)n×n,其范数定义如下

并记L(A)=max{||A||1,||A||∞},λmax(H)表示矩阵H的最大特征值,H＞0(H≥0)表示矩阵H是正定阵(正半定阵).

引理2[11]对于任何矩阵S∈Rn×n,都有|λmax(S)|≤‖S‖∞.

引理3[11]对于对称矩阵S∈Rn×n,如果|λmax(S)|≤1,则I±S＞0.

3 主要结果

3.1 第一种区间矩阵

这里A∈Γ.

定理1对于离散广义区间动力系统(2),设f(k)是有界函数,如果f(k+m)=f(k)(m是正整数常数)且存在对称可逆矩阵P使得

则对于任意的A∈Γ,离散广义动力系统(2)都是正则,因果和稳定的且存在以周期为m的平稳振荡.

3.2 第二种区间矩阵

考虑另一种区间矩阵.记

由引理1可得,对于任意的A∈G(L,K)离散广义系统(2)是正则、无脉冲和稳定的,类似于定理1的证明,易证离散广义系统(2)存在周期为m的平稳振荡.

4 例子

例1考虑如下的广义区间动力系统

容易验证定理2的条件得到满足,从而对于任意的A∈G(L,K),离散广义系统(2)都是以周期为2的平稳振荡.

5 结束语

本文研究了离散广义动力系统的区间的平稳振荡问题.具体给出了在两种不同区间矩阵其平稳振荡存在的充分条件,整个推导过程简单,易懂,具有较少的保性.是离散广义系统理论的有益补充,空间周期解理论的研究又一分支,为离散广义鲁棒控制的研究提供重要的理论基础.当导数矩阵亦为区间矩阵时的离散广义系统,其相关的研究较为复杂,将另文讨论.

[1]王美娟.一类时变大系统的区间矩阵平稳振荡[J].应用数学学报,1994,17(1):154-159.

[2]王美娟.关于若干类型大系统周期解的研究[J].应用数学学报,1992,15(1):48-56.

[3]Jiang,Chungli.Sufficient condition for the asymptotic stability of interval matrices[J].INT.J.Control., 1987,46(5):1803-1810.

[4]SoH Y C,Evans R J.Stability analysis of interval.Matrices-continuous and discrete systems[J].International Journal of Control,1988,47(1):25-32.

[5]Man Sour M.Simpliyed sufficient Conditions fo the asymptotic Stability of interval Martices[J].International Journal of Control,1989,50(1):443-444.

[6]Wang Qingguo.Necessary and sufficient conditions for stability of a Matrix polytope with Normal Vetex Matrices[J].Automatic,1991,27(5):887-888.

[7]张大庆,何希勤,张庆灵.广义区间动力系统的稳定性的充分条件[J].东北大学学报,2003,24(5):412-415.

[8]徐胜元,杨成梧.广义区间动力系统的稳定性分析[J].控制理论与应用.2002,17(2):249-250.

[9]Dai L.Singular Control Systems[M].New York:springer-veglag,1989.

[10]Bender D J,Laub A J.The linear-quadratic optimal regulater for descriptor systems[J].IEEE Trans. Automatic Control,1987,32:672-687.

[11]陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,2001.

[12]杨冬梅,张庆灵,姚波.广义系统[M].北京:科学出版社,2004.

Internal matrix harmonic oscillation to discrete singular systems

GONG Wen-zhen
(Department of Mathematics and Computer Science,Yulin Normal University, Yulin530004,China)

The norm theory and algebraic method are employed to study the problem of the stability to discrete singular interval systems.The sufficient conditions which there exists interval matrix harmonic oscillation for two kinds interval matriex are presented.Two examples are also given to illustrate the results.

discrete singular systems,stability,interval matrice

O175.12

A

1008-5513(2009)03-0435-07

2008-10-20.

国家自然科学基金(60564001),教育部“新世纪优秀人才支持计划”专项基金(NCET-06-0756).

龚文振(1957-),副教授,研究方向：广义系统理论和常微分方程理论.

2000MSC:34C05