培养数学创新思维，提高学生综合素质

金敏飞

摘 要： 以问题解决为核心的数学教学，在培养学生创新思维方面具有得天独厚的优势。本文从切实加强基础知识教学，奠定创新思维的培养基础；注重培养学生的形象思维、抽象思维、求同思维、求异思维、逻辑思维、直觉思维、收敛思维、发散思维、正向思维、逆向思维等方面阐述了培养学生的数学创新思维，提高学生的综合素质的问题。

关键词： 数学教学 创新思维 实践能力

教育教学的最终目的，是促进学生各方面的发展，努力培养学生的创造意识和实践能力，为学生的终身学习打下基础。创新思维是创造力的核心，它具有独特性、求异性、批判性等思维特征。这种思维能力经过培养，正常人完全可以具备。尽管培养学生的创新思维是所有学科教学的重点，但是以问题解决为核心的数学教学，在培养学生创新思维方面具有得天独厚的优势。因此，我们要在数学新课程改革中努力营造和谐的氛围，激发学生主动参与的兴趣，给学生创造主动参与的条件，让学生真正地参与到知识发生、发展的过程中，把创新思维和实践能力的培养落实到数学课堂教学中，从而全面提高学生的整体素质。

一、切实加强基础知识教学，奠定创新思维的培养基础

知识是思维的基础，人们总是通过知识去揭示、探索和认识未知事物。因此，扎实的基础知识、清晰的基本概念

和定理，以及思考问题的经验技巧等都是创新思维的基础。我们必须扎实抓好数学基础知识的教学。当然，在搞好基础知识、基本技能的教学中，也要贯穿创新思维的培养。例如我在教学“勾股定理”时，精心创设了如下的问题情境，以激发学生思维的积极性：“请同学们任意画一个直角三角形，报出两条直角边的长度，老师就能算出斜边的长度。”学生积极尝试向我挑战，果真如我所言。此时学生头脑中便会产生“老师为什么能知道斜边的长度”的疑问，这就促使学生萌发强烈的求知欲，迫切想知道这种计算方法。依据学生好奇的特点，以奇引趣，可以促进学生乐学。学生通过探索自己发现定理，探索的过程即是培养学生创造力的过程。

二、形象思维与抽象思维相结合

对于那些抽象的概念、定理、公式，直接给出时的效果总不太理想。在教学中，只有引导学生的思维从形象逐步过渡、上升到抽象，才能在获取知识的同时发展能力。例如，在教学《轴对称图形》时，教师首先在一张纸上画出直线L和△ABC，然后沿直线L对折，用一根针戳穿A、B、C三点，在L的另一侧留下三个对应孔A′、B′、C′。导出轴对称定义后，提出作轴对称图形方法，是不是每次都对轴呢?让学生在纸上动手试一试。通过直观教学和实践活动，给了学生具体形象的感知，在此基础上，进行观察、分析、比较、推理等抽象思维过程，学生很容易抓住轴对称的本质，提出AA′被L垂直平分。通过直观因素解决抽象问题，进行形象思维与抽象思维结合的训练，不但激发了学生的学习兴趣，而且提高了学生的观察和概括能力，对培养学生的创造性思维，无疑有莫大的促进作用。

三、求同思维与求异思维相结合

在创造性思维活动中，求异思维占主导地位，也有求同的成分，而且两者是密切结合的。在教学中，只有引导学生进行同中求异与异中求同的反复结合，才能使其思维流畅、变通、新奇。例如，在证明“三角形内角和定理”时，因三个内角位置分散，大家一致认为必须添加适当的辅助线使角集中起来，这是思维的求同；至于如何添加辅助线，这便是思维的求异点。学生勇于探索，各抒己见。有学生提出：过一顶点作对边的平行线；也有学生认为：过一顶点作射线平行对边；还有学生想到：在一边上取一点后，分别作另两边的平行线。多种方法能够解决问题，学生的求异思维十分活跃。然后通过比较，异中选优，大家认为“过一顶点作射线平行对边”较为简洁。长期的数学教学实践证明，求异度越高，求同性越好，学生解决新问题，探索新规律的能力就越强，创造性思维的水平就越高。

四、逻辑思维与直觉思维相结合

逻辑思维是创新思维的桥梁，因此必须扎实抓好逻辑思维的培养，这是培养学生创新思维的一个方面。另一方面，还需要重视培养学生的直觉思维。正如数学教育家G.波利亚所说：“一个想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理，这是他专业也是他那门科学的特殊标志；然而，为了取得真正的成就，他还必须学习合情推理，这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。”（《数学与猜想》第一卷序言）为了培养学生的创造精神，我们在训练学生的逻辑思维的同时，应该有意识地加强培养学生的直觉思维，让学生逐步学会猜测、想象等非逻辑思维，以此开发学生的创造性思维。直觉思维是创新活动达到高潮后想出的一种最富有创新性的飞跃思维，常常以“一闪念”的形式出现，使创新活动成为一个质的转折点。事实上，很多著名的数学定理就是经过先猜想后证明得出来的。正如著名数学家徐利治指出：“数学创造往往开始于不严格的直觉思维，而继之以严格的逻辑分析思维。”在数学教学中鼓励学生进行大胆猜想是训练学生直觉思维的好时机。所谓猜想是指在理解了学习课题后，通过观察、计算、实验、分析等各种途径和手段，根据已得信息或者新得到的信息提出解决课题的假设。例如：已知（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，求证：x+z=2y。证明：整体思考发现已知等式的左边有判别式△=b²-4ac的形式，于是由直觉猜想：引入一元二次方程来解决问题。设有方程（x-y）t²+（z-x）t+（y-z）=0，方程的系数之和为0，于是t=1是方程的根。又由已知，方程的判别式△=（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0,∴t=1为方程的二重根，由韦达定理可知，二根之积（y-z）/（x-y）=1×1，∴x+z=2y。这样不仅调动了学生的逻辑思维，而且调动了学生直觉思维，引导学生经历了由直觉发现到逻辑证明的科学家对问题的解决过程，极大地诱发了创造性思维。

其实，数学猜想大量地存在于义务教育教材，几何中的量量画画、叠叠比比观察验证的实验几何，需要猜想方能上升为概念、基本性质、公理，这种猜想有助于充分揭示几何知识的发展过程，有助于把握知识的来龙去脉，有利于提高想象力，从而增强直觉（灵感）的思维能力。代数中从“特殊”到“一般”，由“具体”到“抽象”的描述性定义，通过猜想,能提高概括能力，让学生积累经验,促使其知识的飞跃升华。尽管学生的猜想、直觉可能是错误的，甚至是可笑的，但只要其思想有一点可以借鉴的地方，就要鼓励、支持，以保护学生大胆探索的精神，并把它引导启发到正确的数学思想方法上来，努力培养他们勤于探索思考、勇于打破常规的创新精神，切不可对学生的错误进行挖苦、嘲笑，扼杀学生进行创造性思维的积极性。

五、收敛思维与发散思维相结合

在创造性思维过程中，发散思维起着主导作用，是创造性思维的核心。唯有“发散”，才能多角度、多层次地从不同方面思考，才能深刻地理解、巩固并灵活运用知识，培养学生的创造思维能力。例题的讲解应该注意一题多解、一题多变，强调思维的发散，增强思维的灵活性。数学题目，由于其内在规律，或思考的途径不同，可能会有许多不同的解法。在例题教学中，引导学生广开思路，探求多种解法，在发散思维的同时，比较各种解法，找出最佳的、新颖的或巧妙的解法，激发创造性思维。例如，证明“三角形内角平分线定理”，可以利用作平行线来证明，方法达七、八种之多；也可以用面积法证明。其中以面积法较为巧妙别致。在解题时，不要满足于把题目解答出来便完事大吉，而应向更深层次探求它们的内在规律，可以变化题目的条件，或变化题目的结论，或条件结论同时作些变化，配成题组，从而加深对题目之间规律的认识。例如，“正三角形内任意一点到三边距离之和为定值”。这个命题不难用面积法证明。该题证明后，可以变换角度，广泛联想，训练发散思维。将“任意一点”变到“形外一点”，将“正三角形”变为“正n边形”，或者将“正三角形”变为“任意三角形”，研究结论如何变化。可以看出，对数学问题的回味与引申，使学生从不同角度处理问题，增加学生总结、归纳、概括、综合问题的意识和能力，培养了思维的灵活性、变通性。在教学中，我们教师应该有意识地引导学生对课本中的习题进行多种解法的探索，并分析各种解法的合理性。例如：甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？经过充分讨论，集思广益，我们师生探究出此题有9种解法。

这里需要特别指出的是，解题时的分析是训练学生联想思维的好时机。联想思维是发散思维的一种特殊形式，它往往从一件事情的触发而迁移（想）到另一些事情上，通过大胆联想，寻求正确的解答。联想思维灵活多变，不受思维定势限制，善于多角度多方位去观察和思考问题。联想的结果往往是从给定的信息中产生新的信息，发现新的方法，寻求新的规律，探索出新的科学。例如在解“AD是三角形ABC的中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点，求证：AF∶FC=1∶2”时，通过观察、分析，由结论联想证明比例式常用的方法有相似三角形和平行线，由条件中出现两个中点D、E联想到中位线，而中位线又具有平行线的倍数关系的特点，从而得出此题的证明途径。因此富于联想是思维灵活的表现。

六、正向思维与逆向思维相结合

对于概念、定理、公式、法则，往往习惯于正面看、正面想、正面用，极易形成思维定势。在解决新问题面前，这种思维定势是一种负迁移，作用是消极的。学生往往感到束手无策，寸步难行，所以，在重视正向思维的同时，养成经常逆向思维的习惯，“反其道而行之”，破除正向思维定势的束缚。所谓逆向思维，是指在研究问题时，从反面观察事物，去做习惯性思维方向完全相反的探索，顺推不行时考虑逆推解决，探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性，由此寻求解决问题的方法。因此我们应该自觉地、有目的地加强对学生逆向思维的训练。

如何进行逆向思维的训练呢?可以利用互逆因素进行逆向思维训练，因为数学中充满着互逆因素，如公式的互逆、定义的互逆、可逆定理的互逆，等等。具体策略是：（1）重视概念、定理、公式、法则的反方向教学：概念的互逆理解、公式的互逆记忆、可逆定理、性质和法则的互逆表述；（2）强调一些基本方法的逆用：从局部考虑不易，是否能整体处理；一般情况下不好办，考虑特殊情况；前进有困难，退一步如何；“执果索因”与“由因到果”两方面寻找解题途径；直接证明不行，则考虑用间接证法，等等。例如，当是什么值时，对于两个关于的方程x²+4mx+3-4m=0,x²+（m-1）x+m=0，至少一个有实根。如果从正面求解，会出现三种情况，不但计算量大而且容易出错，而考虑其反面“两个方程都没有实根”，然后求得补集，解法很简洁。这样利用定义的可逆性，公式的双向性、反证法、补集法等方法解的典型例题的剖析、演示，给学生以感性认识，并且把这种教学思想方法渗透于日常解题教学过程中，进一步训练学生逆向思维的灵活性和创新性。

训练学生逆向思维，从问题的反面揭示本质，弥补了单向思维的不足，使学生突破了传统的思维定势，大大促进了创造性思维的培养。

总之，培养具有创造性的人才，培养具有创新意识和创造能力的人才，是国家和民族的需要。数学是培养人的创造性素质的最佳途径，我们教师应该根据数学学科特点和学生实际，不断探索数学知识与创造性思维能力培养的结合点，积极鼓励学生进行创造性学习，主动发展他们的创新思维。

参考文献：

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