对“重心”的追问及相关错解实例分析

李鸿彬

一个物体的各部分都要受到地球对它的作用力，我们可以认为重力的作用集中于一点，这一点叫做物体的重心，也即物体各部分所受重力可等效于集中作用在重心处。

追问一：物体重心的位置如何确定?

追问二：此处是什么等效?

在物体的线度与它们到地心的距离相比很小时，重心坐标与质心坐标相同。以质点组为例，对于质点组，其重心C的坐标公式为：﹔璫=∑im璱﹔璱適，由此可确定质点组重心的位置，同时可见，重心的位置与物体的形状、质量分布情况有关，对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心在它的几何中心。

物体各部分所受重力等效于作用在重心，可理解为物体各部分所受重力与集中到重心处重力作用效果等效，即各部分所受重力与集中到重心处的重力做功、冲量等时间、空间累积效应等效，但重心并不能完全代表该物体。

实例1 一根长为L、质量分布均匀的铁链对称地悬挂在一光滑的小定滑轮上，如图1所示，现轻轻扰动铁链使其下落，求铁链刚离开滑轮时的速度大小?

分析 本题可应用机械能守恒定律来分析，当链条刚离开滑轮时，重心位置在O处，如图2所示。在链条未受扰动时，O位置在滑轮的最高处，如图3所示。设链条的质量力m，由机械能守恒定律,mgl2=12mv2，得v=gl。

上述解法是错误的。链条刚离开滑轮时，重心的位置在O处，但在链条未受扰动时，重心的位置应在O′处。因为当物体的形状发生改变时，重心的位置会发生变化。

因此，由机械能守恒定律：

mgl4=12mv2，得v=gl2。

实例2 如图4所示，直立容器内部有被隔板隔开的A、B两部分，A的密度小，B的密度大。抽去隔板，加热气体，使两部分气体混合均匀，设在此过程中气体吸热为Q，气体内能增加为ΔE，则

A.ΔE=QB.ΔE＜Q

C.ΔE＞QD.无法比较

分析 许多同学由热力学第一定律分析得到，因气体的总体积未变，气体吸收的热量Q等于气体内能的增加量ΔE。

其实，在开始时，由于A部分密度小，B部分密度大，所以两部分气体的总重心位于容器中心位置的下方。在抽去隔板，两部分气体均匀混合时，两部分气体的总重心位于容器的中心位置，总重心位置升高了。因此在此过程中，由于气体的重力势能增大了，由能量转化与守恒定律可知：气体吸收的热量Q大于气体内能的增加量ΔE。因此正确选项为B。

应注意，当物体内部质量分布发生变化时，物体重心的位置也会发生变化，导致重力势能发生变化。

实例3 如图5所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面互相垂直，圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最边缘处固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r／2固定一个质量也为m的小球B，OA与OB垂直，现放开盘让其自由转动，问：放开后两球的最大速度为多大?

分析 先求得A、B两球的重心位置C，C位于AB连线的中点，如图6所示。当OC位于竖直方向时，两球的速度同时达到最大。

r㎡C=12r2+(r2)2=54r，

设两球速度最大时重心转动的角速度为ω，由机械能守恒定律：

2mg(r㎡C-12r㎡B)=12×2m(r㎡Cω)2，

得：ω=85r(5-1)g，再求得：

A球的最大速度为：v瑼=rω=8(5-1)gr5，

B球的最大速度为：v瑽=r2ω=2(5-1)gr5。

上述分析是错误的。由A、B两球角速度相等，可知A球速度大小是B球的两倍，由机械能守恒定律：2mg(54r-14r)=12mv2瑼+12mv2瑽①

v瑼=2v瑽②

由①②可得：

v瑼=4(5-1)5gr,v瑽=(5-1)5gr。

错因在于A、B质点组重心C的角速度与A、B球转动的角速度是不相等的。

实例4 宇宙中存在一些离其它恒星较远，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行，如图7所示，设每个星体的质量均为m，每两颗之间的距离为L，试求：星体转动的角速度为多大？

分析 三颗星绕圆心O做匀速圆周运动，A星做圆周运动的向心力是由B、C两颗星的引力的合力提供，圆周运动的轨道半径r=33L。在计算A星所受的引力时，有学生先求出B、C两颗星的质心位置P，P位置位于BC的中点，如图8所示，L〢P=32L，由F引=F向，G×2m×m(32L)2=mrω2，可得：ω=833GmL3。

上述解法是错误的。正确的解法应为：B、C两颗星分别对A星的引力大小为F1=F2=Gm2L2，因此A星受到B、C两星引力的合力大小为F引=3Gm2L2，如图9所示。由F引=F向，3Gm2L2=mrω2，可得：ω=3GmL3。

错解原因在于：由m﹔〢B+m﹔〢C=2m﹔〢P撸﹔〢P=﹔〢B+﹔〢C2，若用i弑硎惊〢B叻较虻牡ノ皇噶浚用j弑硎惊〢C叻较虻牡ノ皇噶浚由错误方法求出的引力大小为F引=Gm×2m(﹔〢P)2=2Gm2(﹔〢B+﹔〢C2)2(*),实际上引力为：F引=Gm2L2(i+j)，其大小与（*）显然是不相等的。

由此可见，一个物体受到其它物体的引力，在通常情况下，即物体的线度与物体之间的距离相比不是很小时，各部分所受引力的合力不能等效为质量全部集中在质心处来计算。

参考文献：

［1］赵凯华、罗蔚茵编.《新概念物理教程——力学》［M］.高等教育出版社

(栏目编辑罗琬华)