“反分类”法的应用

兰立力

(新疆农一师塔里木高级中学843300)

“反分类”是整体思想，它与着眼于局部、个个击破相反，是审视题目的整体结构，把各种情况整合起来，把条件和结论高度地集中起来，抓住主要矛盾，摆脱局部细节上的纠缠，整体地解决问题。下面我们通过几个例题来给予说明：

例1、设

分析：本题的常规方法是对a分类讨论，但本题有多种反分类方法：1、作比较2、平方法3、换为常用对数，消去分类因素a 其中3最精明。我们来看3的解法：

解：

例2、过抛物线 的焦点的一条直线和这抛物线交于两点 。

求证：

分析：如果设直线AB的方程为 ，则丢掉了直线AB垂直于x轴的情况。因此，本题要分类讨论，分为直线AB的斜率存在与不存在的两种情况。为避免分类，我们改设直线AB的形式。

证明：焦点为 ，设直线AB的方程为 ，联立

由以上两式消去x，整理得

其二根恰是 ，根据根与系数的关系得：

评：方程 是直线斜截式 的变形，它概括了本题直线AB的所有情况，避免了麻烦的分类。本题也是反分类的范例。

例3、在一条道路上有10只路灯，为了节电而不影响正常的照明，可以熄灭其中的三只灯，但两端的灯不能熄灭，也不能同时熄灭相邻的两只灯。问共有多少种熄灯的方法。

思路一、用分类法------画组合树枝图

思路二、反分类法---用播空法化归为组合

解法一、把10只灯顺次编号为1，2，3。。。。。10.画组合树枝图，得符号条件的熄灯事件有：

解法二：熄灭三只灯后，剩下7只灯。这7只灯之间共有6个空，插空得熄灯的方法数为

评：解法二是反分类法，它比解法一简捷的多。解法一是树枝图法，树枝图法是基本的分类法。

如果我们解题时能换个角度，克服分类讨论的思维定式，就可以避免讨论，化繁为简。

收稿日期：2009-03-10