数学语言教学初探

杨立志,柏汇崧,范瑞杰

摘要:数学语言是一种特殊的语言。数学语言具有科学性、简洁性、相通性,因此,对数学语言的研究必将对数学本身及数学教育的发展,乃至对人类文明都会起到积极的促进作用。

关键词:数学符号;数学语言;科学;简洁;相通

收稿日期:2009-11-05

作者简介:杨立志(1983-),男,北京人,91746部队助理工程师,学士学位;柏汇崧(1983-),男,上海人;军事经济学院襄樊分院基础部助教,学士学位;范瑞杰(1983-),男,湖北襄樊人,军事经济学院襄樊分院基础部助教,学士学位。

一、数学语言的特殊性

1.数学符号的科学性

数学符号是数学文字的主要形式,它是构成数学语言的基本成份。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,这十个符号是全世界普遍采用的,它们表示了全部的数,书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字,实际上却是印度人创造的,只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献,这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是,18世纪一位法国著名数学家曾说过:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义,它之如此绝妙非常,正是由于这种简易得难以估量。”^[1]

关于“位置上的意义”,指的是数字的进位表达。比如说724,它实际上是7×100+2×10+4,可是它只需简写成724就明白了。此外还有空位的问题,假若有个数字是7×1000+2×100+4,那该怎么写呢?现在我们是很容易回答了,不就写为7204吗?可是,在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示:72.4;有的用一个方格来表示72□4;有的干脆就拉开一点写,表示空一位;……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号,问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果再空再空一位看72004这个数字和7204的区别,我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。

数学符号有许多种,除了前面提到的数字符号外,还有代数的符号,通常用英文字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代,以英文字母的开头几个表示已知数,如a、b、c、…,以英文字母的最后几个代表未知数,如x、y、z,或以a、b、c、…代表常数,以x、y、z代表变数。现在,这已不是固定的了,在某种约定之下,a、b、c、…也可代表未知数,也可以表变数,x、y、z也可以代表已知数,也可以代表常数。

数字研究的对象已不只限于数,还研究形,△表示三角形,□表示四边形,○表示圆。数学研究的最一般对象是集合,而表示集合的符号常常用英文字母的斜体,如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符号表示,例如,用N表示自然数集,而实数集则用R表示,N与nature(自然)一词有关,R与real(实的)有关。特定的集合组成空间,空间有时用S表示,S与space(空间)一词有关,但也用其他字母表示空间。^[1]这些符号的运用使得数学语言变得简练。

还有一类符号是表示关系的,通过种种关系起联结作用。常用的如等号=,近似等号≈,全等号≌或恒等≡。还有不等号≠,<,>。∥表示平行关系,⊥表示垂直关系,∈与表示元素与集合之间的关系,急硎炯合与集合之间的关系等等。

还有一大类是关于运算的符号。+,-,×,÷是四则运算符号。是开方运算符号,sin, cos, tan是三角运算符号,lim是极限运算符号,d、∫是微积分运算符号。∑表示若干项乃至无穷项求和,∏表示连乘,!表示阶乘,∪、∩是集合论中的运算符号。映射是比运算更普遍的概念,f,g,h等常被运用作映射符号。

微积分是英国人牛顿和德国人莱布尼茨彼此独立发现的,牛顿和莱布尼茨使用的微分符号却是不同的。相比之下,莱布尼茨的符号在这两方面都比牛顿的符号更加科学合理,它反映了事物最内在的本质,减轻了想象的任务。而英国人却以牛顿为自豪,这是无可厚非的,但是,由于他们长时间固守牛顿的符号,使英国数学的发展受到了严重的损害。^[2]由此可见,数学符号的科学性直接影响着数学语言的质量,影响着数学及数学教育的发展。

2.数学语言的简洁性

数学语言非常简洁精确,它具有独特的价值,它是科学语言的基础。

从宏观来说,人们常以“成千上万”来研究多,再多就是“百万”、“千万”了,更多则是“亿万”。可是,数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示,比如说,102535622