培养学生合情推理能力的策略

谢飞祥

数学对发展推理能力的作用，人们早已认同。科学结论(包括数学的定理、法则、公式等)的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想的正确与错误。但是，长期以来，数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的演绎推理能力，却忽视了合情推理能力的培养。合情推理能力的培养应贯穿于义务教育阶段教学的始终，归纳推理、类比推理、统计推理、猜想等是合情推理的重要形式。

一、提供丰富典型的材料，培养学生的归纳推理能力

有专家认为，演绎推理的主要功能在于验证结论，而不是发现结论，我们缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的归纳推理能力。归纳推理是从特殊判断到一般判断的推理，这种推理又分为完全归纳和不完全归纳两种。其中不完全归纳推理系根据某类事物中的部分情况具有某种属性而作出一般性结论，是人类发现真理、认识客观世界、探索未知领域的一种重要方法。在小学数学教材中，如运算定律、基本性质、法则、公式等都是以不完全归纳推理概括出来的，所以，教师在教学中应有目的地提供丰富而典型的感性材料，通过动手操作、自主探究、同伴合作等形式；培养学生的归纳推理能力。

加在教学“圆的周长”时，教师先引导学生运用绕线法和滚动法实际测量出几个圆的周长：直径1厘米的圆周长约3.14厘米：直径2厘米的圆周长约6.28厘米：直径3厘米的圆周长约9.43厘米：直径4厘米的圆周长约12.57厘米……然后让学生通过观察，最后归纳得出：不论圆的大小如何，圆的周长总是它的直径长度的3倍多一点。通过这样为学生理解圆周率的概念提供丰富的感性材料，圆周长公式的得出也就水到渠成了。

在小学低年级的数学教学中有计划地培养学生的归纳能力，尤其要从丰富的感性材料入手，由教师讲解归纳的过程，逐步过渡到在教师引导下由学生对简单问题进行归纳：中年级学生对归纳推理已经积累了一些经验，可以在教师引导下逐步增加自己归纳推理的成分：高年级的学生一般来说已经有了初步的归纳能力，可以放手让他们自己进行归纳，进一步提高归纳能力。值得注意的是。在应用不完全归纳推理时，有时根据不多的几个事例会得出不正确的结论，因此，所举事实必须丰富并且有代表性，做出结论后还要进一步予以验证。

二、提出有挑战性的问题，培养学生的类比推理能力

德国古典哲学家康德认为：“每当理智缺乏可靠论证的思想时，类比这个方法往往指引我们前进。”波利亚也曾高度评价类比的作用和意义，说：“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。”他还说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉。”类比推理是根据两个不同对象的某些方面(特性、属性、关系等)相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，属于由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段，在小学数学教材中，有些性质是十分相似的，如商不变性质、分数基本性质、比的基本性质等。在教学时可紧紧抓住除法、分数和比三者之间的关系，由商不变的性质类推出分数的基本性质、比的基本性质。在小学数学教学中，类比推理是学生获得概念、方法、定律和公式的重要手段，同时也是探索问题、解决问题和发现新结果时一种有效的思维方法。

如在教学“分数应用题”时，笔者出示了一道题：如果一匹布料做儿童服装能做40套，做大人服装只能做16套，在用这匹布做15套儿童服装后，剩下的布还可以做几套大人服装?这是一道富有挑战性的题目，学生在解答时一开始无从着手，即使进行了思考和分析，电很难理清数量关系，大家正在静思默想时，突然有学生说：“老师，这道题目与我们以前学过的分数工程问题的应用题相类似。”“你能举例说明吗?”“能。就像一项工程，甲队单独做要40天完成，乙队单独做要16天完成。现在由甲队先单独做15天，剩下的任务由乙队做。乙队还要做几天才能完成这项工程?”一进行类比，其他学生茅塞顿开。运用类比推理，抽象的内容可以具体化、形象化，陌生的东西可以转化为熟悉的东西，深奥的道理可以明白简单地被揭示出来，

在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比，如由“在除法算式中，除数不能为零”，类比推出“分数的分母不能为零”和“比的后项不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。

三、拓宽自主探索的空间。培养学生的统计推理能力

所谓统计推理，是指运用数理统计方法，对大量似乎重复出现的现象作出统计分析。然后提出某个推论，但这个推论只是一种可能性的或是“统计规律性”的看法。统计推理与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验，只能靠实践来证实。如在教学中所碰到的对“这个结果事出偶然的可能性有多大”“如果试验做很多很多次，那么这个试验得出一个特定结果的可能性如何”等问题的回答，都只能是靠概率统计为基础的推理。《数学课程标准》要求从不同层面让学生体会统计对决策的作用：一是对某事件有一个猜测，为了检验这个猜测，学生要自己设计统计活动。动手收集、整理与分析数据：另一种是面对一批数据，学生能够根据已有的知识进行分析，作出合理的推测。所以。在教学“统计与概率”时。教师要为学生创设自主探索的时空，使其经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程，这样才能发展学生的统计推理能力。

如在教学“统计”后，教师布置了课外作业：“为了筹备新年的联欢晚会，准备哪些水果才受欢迎呢?”为此，每个学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程的推理就是统计推理，虽然这个结果只能使绝大多数同学喜欢(而不是全部)，但是仍有助于学生根据需要在纷繁复杂的信息中作出选择和判断，进行推理与作出决策，即对统计推理的过程的理解有助于学生得出准确和有价值的结论。

四、预设认知冲突的情景，培养学生的数学猜想能力

牛顿说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。”波利亚认为：“说得直截了当一点，合情推理就是猜想。”猜想是合情推理最普遍、最重要的一种，归纳、类比都包含着猜想的成分。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。培养小学生的猜想能力，不仅能调动学习的积极性、主动性，而且有利于培养直觉思维、探索精神和创新意识，发展合情推理能力。传统的教学留给学生思维活动的内容和时间太少，不仅削弱了认知的发生过程，而且容易导致思维禁锢，不敢或不能提出猜想。这与培养学生的创新能力的时代要求是相悖的。为了发展学生的创造性思维，教师应该教给思维方法。鼓励他们对具体问题和具体教材进行分析。通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。这样，有助于学生掌握数学知识，满足其求知欲望，学会探求知识的方法。在小学数学教育中，要积极创造条件，引导学生大胆猜想。

如在教学“数的整除”时，在学生知道了能被2.5整除的数的特征后，教师让学生猜想能被3整除的数的特征。许多学生认为个位上是3，6，9的数都能被3整除，这时教师就列举出了13，16，29等不能被3整除的数，让学生尝试后发现他们的猜想是不对的。接着，教师提出“那么能被3整除的数不看个位。该由什么决定”和“它们的特征是什么”这两个问题。教师的提问立即唤起了学生的有意注意，激发起探究欲望，引发了各种猜想。要发展小学生的数学猜想能力，在教学中须注意：(1)营造和谐环境鼓励大胆猜想。(2)积极引导启发，渗透猜想方法。在教学过程中引导学生主动利用已有的知识和经验，通过观察、归纳、类比、联想等方法获得猜想，并通过语言外化出来，促使学生逐步学会有根有据、合情合理地猜想。(3)加强猜想后的检验。引导学生通过观察、操作、实验、计算、推理等方法进行检验、证明，从而发展猜想能力。

波利亚认为，对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了存数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理：对于一般学生来说，也必须学习和体验合情推理，这是未来生活的需要。因此，教师在教学中须充分挖掘发展合情推理能力的因素，有意识地提供合情推理机会，培养学生的合情推理思维能力。

作者简介：中学高级教师，浙江省优秀教师。近年来致力于小学数学课堂教学研究，有20多篇论文在报刊上发表，其中3篇论文被中国人民大学书报资料中心全文转载。

责任编辑邓园生