挖掘教材“空白” 填补教学“缺失”

徐恒祥

数学教材内容虽然丰富，但也存在一些“空白”。笔者就如何挖掘并利用这些“空白”填补教学“缺失”谈几点做法。

一、利用数学史实——导行

“五育并举，德育为首”，“十年树木，百年树人”，这是我国历时多年总结的教育大略。数学同其他学科一样，也肩负着对学生进行思想教育的任务。基于学科特点、教材编排等客体因素，现行的数学教材对学生渗透思想品德教育或是以扼要的文字片段出现经典的数史实、典故，或是在练习中加以渗透。其实，每个数学史实都隐藏着一个动人的故事。挖掘并利用这些资源对学生进行教育，激发学生的学习兴趣，培养学生的治学态度，具有重要意义。如，“圆周率”在人教版教材中是这样描述的：“约2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有‘周三径一的说法，意思是说圆的周长是它的直径的3倍。约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早1000年。现在人们用计算机算出的圆周率，小数点后面已经达到上亿位。”

关于“圆周率”，有一个动人的故事：早年的祖冲之因得罪权臣，官职被革。36岁时，祖冲之开始研究数学。他先为古代数学名著《九章算术》作注。历代有不少人曾为它作注，但都碰到一个难题：那就是圆周率（圆周和直径的比值，即π），古时候，人称“径一周三”，即π=3。王莽新朝时精确到3.1547，东汉时张衡精确到3.1466，三国时刘徽为《九章算术》作注，则认为最精确的应是3.14。

祖冲之被圆周率问题困扰得坐卧不安。他住所里的雪白粉墙上，画着一个大大的圆圈，地上也是大圈套小圈，桌上到处是纷乱的稿纸。唉，这周径之比是如何得出的呢？他又回到桌前抽出刘徽注的那本《九章算术》坐下来边读边想。这时屋里还有他一个十三四岁的儿子祖暅。别看他小小年纪，却天资聪颖，戏耍之余常爱在父亲身边推算那些数字和图形。今天他看到地上这许多圆圈，感到很新鲜，便单腿在地上跳起圈来，突然听到父亲喊道：“有了！”将他吓了一跳，忙跑过去拉着父亲的衣袖问道：“什么有了？”“办法有了。暅儿，你看刘徽这里不是明明写着割圆术吗？割圆术即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。只要将一个圆不断地割下去，求出多边形的周长，不就有了圆周率了吗？暅儿，你会吗？”“我会，用父亲教过的勾股定理求就是了。”“道理简单，算起来可就费劲了，从今天起，咱爷儿俩就来办这件事，你可要十分仔细啊。”说完，祖冲之到院里搬来几根大竹子，操起一把刀将竹子破成细条，又一一斩成短截，整整干了几天后，地上堆起了一座竹棍的小山。听来奇怪，搞计算怎么会干起竹木活来？原来，当时既没有阿拉伯数字可以笔算，也没有算盘可以珠算，全靠用竹木削成的一根根小棍摆成各种数字进行运算。数字纵横两式，个位、百位、万位用纵式，十位、千位用横式。一切加、减、乘、除全靠用这些木棍在桌上摆来摆去。

祖冲之将这一切准备停当之后，便在地上画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等分，然后再依次内接一个正12边形、正24边形、正48边形……他都按勾股定理用算筹摆出乘方、开方等式，一一求出正多边形的边长和周长，祖冲之何等聪明，他知道圆周率是周长与直径之比，所以就把直径定为一丈，这样就省掉再除一次的程序，不断求出正多边形的周长，也就不断逼近圆周率了。

他们父子这样不分昼夜地割圆算商。这天，他们分割到第96份，那内接的正96边形，与圆都快接近于重合了。按说，能算到这一步已经不易，用这个数字再去为《九章算术》作注，也就可以了。但是，祖冲之父子锲而不舍，继续把地上那个大圆直割到24576份，这时的圆周率已经精确到3.14159261。祖冲之知道这样不断割下去，内接多边形的周长还会增加，更接近于圆周，但3.14159261已到了小数点后第八位，再增加也不会超过0.0000001大，所以圆周率必然是3.1415926＜π＜3.1415927。祖冲之首创的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到1000年后才有阿拉伯数学家阿尔·卡西和16世纪法国数学家韦达的计算超过了他。所以国际上曾提议将圆周率命名为“祖率”。

经过无数个日夜奋战，图形遍地，算筹成堆，祖冲之终于算出了新的圆周率。这天他兴致极好，便带着儿子出了都城，到郊外一座小山上的寺院里吃酒、访友、散心。他边走边说：“暅儿，这圆周率在天文、历算、测地、绘图上处处都要用到，前面的几位数字你可要牢牢记熟。”小祖暅手里拿着一枝野花，扬起稚气的圆脸，往山一指，说：“好记，好记！山巅一寺一壶酒（3.14159）。父亲今日心情甚好，可以开怀畅饮了。”祖冲之不禁仰天大笑，一来这些日子的辛苦总算有了个结果，二来小暅儿如此聪明，不怕事业后继无人。那祖暅后来真的成了我国历史上有名的数学家。

由于课堂40分钟的时间是有限的，诸如此类的故事，我们可以利用“数学故事会”等课外活动进行。当然，对学生讲这样的故事，并不是倡导学生重走“古人走过的老路”，而在于激励学生学习前人严谨的治学态度。

二、链接知识网络——导学

1.联系散落知识。纵观人教版、苏教版、北师大版等教材，特点之一是关注知识的系统性、渐进性。各版本教材大体按“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大领域编排各学段的学习内容。然而，各版本的教材在关注各部分知识之间的联系与综合的同时，也有些知识被散落在不同的板块中。如，人教版的六年级下册“整理和复习”这一单元，将“分数、小数的基本性质”这一内容编排在“数与数的运算”这一板块，将“比、比例的基本性质”编排在“代数初步知识”这一板块。教学中，我们能否将这些知识进行有机的整合呢？笔者尝试将这些“有关性质”进行整合、沟通，意在通过系统梳理减法性质、商不变性质、小数的基本性质、分数的基本性质、比的基本性质、比例的基本性质等知识，使之形成知识网络。在教学活动中，引导学生自主梳理、小组交流，并完成下表。

数学知识是一个有机的整体，把相对交错的内容进行梳理，适当整合，可以使学生逐步加深对数学知识的整体认识，提高综合运用数学知识和方法去解决具体问题的能力。

2.拓展探索空间。数学素有“思维体操”之美称。当代美国著名数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”在现行教材中，有些知识过于“细嚼”，这并非绝对有利于发展学生的能力。对此，我们可以设置问题悬念，诱导学生探索、解决。如，学习“能被3整除的数的特征”，我们可设计问题：“能被2、5整除的数的特征看个位。30、21、12、63、84、45、96、57、78、69这些数能被3整除吗？你能找出能被3整除的数的特征吗？这样的设问不仅可以激励学生积极参与探索新知识的兴趣，而且有助于提高学生探索知识、解决问题的能力。

3.整合边缘学科。加强数学学科与边缘学科的联系，使之相互渗透、相互融合，对深化数学教学改革，培养学生的综合素质具有积极作用。如，低年级的小朋友“认识数”时，可以编排一些数字成语（零敲碎打、一心一意、两面三刀、三足鼎立、四通八达、五彩缤纷、六神无主、七手八脚、八仙过海、九死一生）、数字地名和数字顺口溜帮助学生识记。这样，可以激发学生学习数学的兴趣，为后续加强学科整合与数学应用打好基础。

三、开发生态资料——导创

《数学课程标准（实验稿）》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够……初步学会运用数学的思维去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。”开发并利用生活数学，一直是课程改革所关注的实践性话题。如何适时地开发、利用呢？如，学习“分数的基本性质”，很多老师会把学习目标定位在“能运用分数的基本性质，把分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数；为后续学习约分、通分奠定基础”。这就把学习禁锢在课本之中，极易弱化数学在现实生活中的应用。教学此课时，笔者设计了这样的一个问题：“我们在电视或现实生活中经常看到发生交通事故，同学们能用今天学习的‘分数的基本性质知识来帮助解决这一问题吗？”

生1：发生交通事故，有的是超载造成的，我们可以把勉强一车运走的货物分成两次运完，这样既保障需运货物的总量不变，又可能避免交通事故的发生。

生2：我们可以通过限制车速来避免交通事故的发生。虽然车速减缓，行驶的时间会长一些，但最终能安全到达目的地。

生3：有的交通事故是公路路面设计不合理造成的，宽阔的公路路面如果无车道标志，有些司机一会儿往左开，一会儿往右开。我们可以把很宽的一条公路路面分几条车道，大家按规定的车道行驶。这样，公路路面的总宽度不变，但是车道变多了，交通安全事故也可以避免。虽说“分数的基本性质”与“交通规则”的联系不是太大，但是，学以致用是数学教育的最终目标。因此，在教学中我们应配合教学进程，有机联系生活实际，培养学生的应用意识。

作者单位

福建省闽侯县上街马保小学

◇责任编辑：曹文◇