关于数学的４５条建议

王晓阳

[摘 要] 美国数学咨询委员会是为了改善美国学生数学知识和成绩而建立的。2008年3月，该委员会向布什总统和教育部长提交了最终报告，就美国中小学数学课程内容、学生学习过程、教师教育、教学方法、教材、考试、数学教育研究七个方面提出了45条结论和建议。这些建议不仅对改进美国数学教育有着较强的指导意义，而且对我国中小学的数学教育也有一定的启示。

[关键词] 美国数学咨询委员会(NMP)；数学教育；建议

[中图分类号] G51[文献标识码] A[文章编号] 1672-1128(2009)02-0037-06

一、美国数学咨询委员会的组成与工作

2006年4月18日，美国总统布什宣布成立“全国数学咨询委员会”(National Mathematics Advisory Panel，NMP)，要求NMP“依靠现有最佳科学研究的证据”，来提出改善美国学生数学知识和成绩的方式，向布什总统和斯佩琳斯部长提供咨询建议。

NMP由20位专家和5位官员组成。休斯顿基金会(the Houston Endowment)总裁、得克萨斯大学奥斯汀分校(the University of Texas at Austin)荣誉退休校长拉里•福克纳任委员会主席。委员会专家中，有2位大学教育学院院长、6位心理学或教育学教授、3位数学教授、1位中学数学教师、1位退休小学校长、1位布鲁金斯研究所教育政策研究专家、1位卡内基教学促进基金会高级学者。在20位专家中，有2位华裔学者，其中一位是加州大学数学教授伍鸿熙(Hung—Hsi Wu)，另外一位是任职于卡内基教学促进基金会的高级学者马丽平(Liping Ma)。

NMP下设概念知识与技能(Conceptual Knowledge and Skills)、学习过程(Learning Processes)、教学方式(Instructional Practices)、教师与教师教育(Teachers and Teacher Education)、评价(Assessment)5个研究小组(Task Groups)，以及证据标准分委员会(Standards of Evidence)、代数1教师调查分委员会(Survey of Algebra 1 Teachers)、教材分委员会(Instructional Materials)3个分委员会。NMP调查与总结了数学教学的科学研究成果，重点是有关使得学生成功掌握代数知识的研究成果。调查期间，委员会共召开了12次会议。NMP成员共参阅了1.6万份研究出版物和政策报告，听取了110位公众的意见，还参考了160家组织和个人的评论，向743位代数教师进行了调查。5个研究小组与3个分委员会最后形成了8份分报告。在此基础上，经过综合分析形成总报告。

NMP于2007年3月8日提交初步报告，主要内容包括：学习代数所需要的关键技能；学习标准和测验对提高学生数学技能的作用；学生能力或背景对学习过程的影响；数学教师的培训、选拔、专业培训等对学生成绩的影响；有效的教学方式、教材等；数学教育研究的需要等。2008年3月13日，委员会向布什总统和教育部长提交最终报告：《成功的基础——国家数学咨询委员会最终报告》(Foundations for Success—The Final Report of the National Mathematics Advisory Panel)。报告就美国中小学数学课程内容、学生学习过程、教师教育、教学方法、教材、考试、数学教育研究七个方面提出了45条建议。

二、报告提出的六方面工作

报告认为，公民的数学能力与中小学数学教育是美国面临的严重问题。某项研究表明，美国成人有78%不会计算贷款利率，71%不会计算汽车使用每加仑汽油所能够走的里程数，58%不会计算餐馆用餐10%的小费数额。国际比较表明，美国中小学的数学教育并不成功，与美国的国际领先地位很不相称。2007年底公布的国际学生评估项目(Programme for International Student Assessment，PISA)表明，美国15岁学生的数学与问题解决能力测验成绩在30个发达国家中名列第25名。2000年的数据表明，美国授予学位的高等教育机构有71%开设平均2.5门数学补习课程。2007年全美教育进步测验表明，美国8年级中学生数学成绩只有32%达到熟练水平，12年级高中生数学成绩只有23%达到熟练水平。

报告指出，根据已有研究及审慎的思考，委员会认为，美国有机会改善数学教育。具体应当从如下六个方面着手。

第一，有效组织中小学数学课程，从低年级开始重点学习一系列最关键的数学内容。

第二，使用已知有关儿童学习的严谨研究的成果，特别是认识到：(1)儿童及早开始学习的益处；(2)学习过程三阶段“理解概念、熟练掌握计算程序、在解决问题时能够快速自动回忆事实”之间相互促进的效果；(3)努力程度而不只是内在才能，决定学生的数学成绩。

第三，教育领导人和公众应当认识到，具备丰富数学知识的课堂教师在数学教育中扮演核心角色。应当制定更有效的计划，吸引和培养未来教师，加强评价措施，激励和留住有效教师。

第四，为决定采用何种教学方式，教师应当参照高质量研究的结果，及经验丰富的课堂教师的最好的专业判断和经验。高质量的研究既不支持绝对的学生中心，也不支持绝对的教师控制。研究表明，某种形式的特定教学方式只有在特定的条件下才能有效发挥作用。

第五，改善全美教育进步测验(NAEP)和各州测验质量，将测验重点放在学习代数所必须的关键先修知识与技能方面。

第六，加强全国数学教育研究能力，为改进数学教育政策和教学实践服务。

三、报告提出的45条结论与建议

为落实上述六个方面的工作，报告提出如下七个方面的共45条结论与建议。

1.关于课程内容的结论与建议

(1)中小学数学课程内容应当重点突出、前后关联、循序渐进，强调掌握关键内容。应当避免年复一年简单重复某些同样的内容。

(2)明确从幼儿园到8年级的教学要求，以及代数在整个数学课程中的作用。附件1列出中学代数所应包含的主要内容，委员会希望学生在高中毕业前至少能够学完代数2的内容。

(3)附件1所包含的内容应当成为代数课程大纲、教材和学期末测验的重点。

(4)从幼儿园到8年级数学教育的主要目标应当是使学生熟练掌握分数(包括小数、百分数、负分数)，为学生到高中学习代数打好基础。目前，许多学生还达不到这个要求。要掌握分数，学生必须先熟练掌握整数、测量和几何。这三个方面是学习代数的关键基础。

(5)为了鼓励学生在学习中不断取得有效进步，NMP对一些关键性的基础内容制定了一系列建议性的基本标准(附件2)。这些基本标准应当用于指导课堂教学、教材开发和州级测验。

(6)所有学区都应当确保所有具备先修基础的学生从8年级开始学习真正的代数(指与附件1要求相一致的代数课程)。

(7)对学前教师教育及其教学许可证考试的要求(包括特殊教育教师)，应当包括整数、分数以及必要的几何和测量知识；对小学教师(包括特殊教育教师)的相应要求，应当包括代数关键基础所要求的所有内容，以及代数入门课程；对初中教师(包括特殊教育教师)的相应要求，应当包括代数关键基础以及学校代数的所有内容。

2.关于学习过程的结论与建议

(1)大多数儿童在进入幼儿园以前已经获得一定的数字知识及其他数学知识。这些知识对于他们在今后学习数学具有重要意义。但是，大多数来自低收入阶层的儿童比中等及以上收入阶层的儿童的知识要少得多。从幼儿园到12年级，他们的成绩差距不断扩大。

(2)幸运的是，一些面向学前儿童(特别是来自低收入阶层儿童)的数学教学项目取得了令人鼓舞的效果。有关学习的科学研究已经得出一些有效的教学技术，可以用于课堂教学，改善儿童的数学知识。但是，迫切需要对低收入儿童进行有关使用这些教学技术的短期和长期效果的大样本实验。

(3)为学习代数做好准备，课程教学中应当努力使学生理解概念、熟练计算、掌握解决问题的技能。这些能力相互联系、相互促进，教师应当全面培养学生这三种能力。

(4)为了熟练掌握整数运算，必须让学生对加减乘除进行足够数量的、适当的练习，达到能够自动回忆，并且能够熟练掌握标准算术加减乘除运算。还必须理解一些核心概念，包括交换律、分配律、结合律。

(5)学生普遍感到，分数(包括小数和百分数)比较难学，成为进一步学习的主要障碍。对全国代数1教师的抽样调查发现，学生对分数和小数运算很不熟练。

(6)传统上教师在使用小组学习提高数学成绩方面做得不够。小组学习可以改善学生学习数学的社会、感情和动机因素。最近的研究表明，来自同学和教师的支持有助于学生取得较高的数学成绩。这对于黑人和西裔学生尤其重要。

(7)儿童的学习目标和信念与他们的数学成绩密切相关。实验研究表明，改变儿童的信念，从注重能力转变到注重努力，可以改善他们对数学学习的投入，从而提高他们的数学学习成绩。

(8)有些教师和教材开发者认为，学生需要到一定年龄才能学习某一数学概念。但是一项重要研究发现，适应于儿童发展和学习的内容，大多取决于此前的学习机会。因此，所谓某些年龄的学生不适合学习某些内容的说法是不对的。

3.关于教师教育的结论与建议

(1)通过增值分析方法(分析由于教师因素导致个别学生成绩进步的情况)，可以甄别总是能够显著提高学生数学成绩的教师。如果学生能够一直接受这些教师更加有效的教学，就能够显著提高数学成绩。但遗憾的是，目前的研究尚未能够揭示，教师运用怎样的教学方法才能有效提高学生的学习成绩。

(2)有关教师数学知识和学生成绩关系的研究表明，教师对数学学科知识的掌握对提高学生数学学习成绩具有重要意义。但在这些研究中衡量教师知识掌握程度的指标，是教师是否具有资格证书或是否修过某些课程。尚未研究教师掌握特定知识、运用特定技能提高学生成绩的情况。

(3)为了取得好的教学效果，教师需要具备许多知识和技能。但是，目前关于教师教育的研究，包括教师标准化培养方案、从非传统途径进入教学岗位、新教师的支持项目、教师专业培训等的研究，都不足以得出有说服力的结论来说明，怎样的专业培训才能有效改善教师的知识水平、教学方法并最终提高学生的成绩。

(4)为了改善教师的课堂教学效果，应当通过多种途径加强中小学教师的数学知识准备。包括职前教育、任教初期获得帮助、在职专业培训等。教师应当掌握所教知识及前后与之有关联的更多的数学知识。

(5)为了改善小学数学教学，全美许多学区使用了三种“数学专任教师”：数学首席教师(Coaches or Lead Teachers)，数学专职教师(Full Time Teachers)，数学专项教师(Pull out Programs Teachers)。但是，尚没有高质量的研究能够表明，使用哪种类型的专任教师能够改善学生学习。应当鼓励开展使用数学专任教师的研究。

(6)教育学院的教师教育专业应当开发一系列经过评价为有效的方法，吸引和培训新教师，使他们较好地掌握数学知识及教学技能。

(7)研究表明，建立各种教师激励机制通常有助于教师改善教学效果。但这种研究的质量仍然良莠不齐。因此，今后在制定教师激励机制时应当进行审慎评估。

4.关于教学方法的结论与建议

(1)那些自诩为绝对真理的建议，无论认为教学应当完全“以学生为中心”，还是认为教学应当完全“由教师控制”，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。

(2)关于合作学习已经有不少研究，其中一种合作学习方式，被称为“小组辅助下的个别化学习”(Team Assisted Individualization)。研究表明，采用该学习方式能够改善学生的计算技能，这是一种高度结构化的教学策略和方法：由不同能力的学生组成学习小组，他们互相帮助。首先对学生进行诊断测验；然后以测验为基础对他们提出个别化的问题要求；教师进行个别化的指导；最后的成绩评定既包括小组成绩，也包括个人成绩。

(3)研究表明，教师经常使用形成性测验能够改善学生的学习。教师应当使用测验结果来设计个别化的教学。委员会建议教师经常对小学生使用形成性测验，来改善数学教学。

(4)研究表明，应当使用“真实世界”的情境来引入数学概念。如果教师这样做，当测验也涉及类似“真实世界”问题时，学生就能取得较好的成绩。

(5)对于在数学学习中有困难的学生，使用明晰教学(Explicit Instruction)方式，可以有效提高他们的概念理解能力和计算能力。所谓明晰教学，是指教师提供解决某类问题的明确示范，学生参照示范使用新的学习策略和技能进行大量练习，并大声讲出思考过程，教师对学生的表现给予及时、充分的反馈与评价。

(6)许多研究表明，使用教学软件可以有效改善学生的数学学习成绩。但最近一项大规模全国性研究则指出，教学辅助软件的使用效果并不显著。无论如何，已有研究尚不能确定哪些因素影响教学软件的使用效果。

(7)对11项长期的严谨研究(只有一项研究少于20年)的回顾表明，使用计算器对学生的计算技能、问题解决能力、概念形成能力的影响很有限或者没有影响。但NMP对全美代数教师的调查发现，这些教师对低年级学生过多使用计算器感到忧虑。NMP认为，过多使用计算器可能阻碍学生自动回忆能力的发展，从而不利于形成熟练的计算能力。

(8)具有足够动机和一定数学天赋的学生可以比普通学生学习进度更快一些。较快的进度对于这类学生的学习没有坏处，应该允许这样做。

5.关于教材问题的结论与建议

(1)美国的数学课本特别厚，常常厚达700至1000页。由于课本太厚，导致价格昂贵，内容之间的联系不够紧密。据认为，导致课本太厚主要有两个原因：一是为了适应各州对内容的不同要求；二是课本中包含许多图片、励志故事等非数学内容。出版商应该努力出版更薄、更突出重点的课本。

(2)各州和各地学区应当就各年级应当学习哪些重点内容达成更大的一致。出版商应当出版与之相应、重点突出的各年级教材。

(3)出版商应当确保所出版教材内容的准确性。参与编写审定教材的不但应当包括数学家，也应当包括数学教师。

6.关于测验问题的结论与建议

(1)全国教育进步测验(NAEP)及各州8年级以下学生测验，重点应反映本委员会代数关键基础要求，并对学生成绩进行报告和跟踪。

(2)委员会建议，NAEP对“数字性质和运算”内容测验划分成两部分：前一部分包括整数及其四则运算(4年级)，正整数、负整数(8年级)；后一部分包括分数和小数性质(4年级)，分数、小数及百分数的运算(8年级)。各州测验也应做相应的改变。

(3)委员会建议，NAEP对4年级、8年级代数的要求应当适当。这些测验中的代数问题类型应当大大减少。各州测验也应做相应的改变。

(4)州测验和NAEP测验的数学内容与技术设计质量应当达到最高要求。应采取质量保障措施，确保测验的信度和效度。

(5)在测验学生的计算能力时，应禁止学生使用计算器。

7.关于数学教育研究政策的结论与建议

(1)加强研究者、教师、州与联邦政策制定者、私人基金会等之间的通力合作，在数学教育方面努力开展更多严谨的科学研究，包括有效教学方式、教材及教学设计原则、学习机制、增强教师教学效果的方式、教师教育、改善数学测验效果等。

(2)正如所有其他教育研究领域一样，对于有关数学教育重要课题的大量研究文献，如果用严谨的当代标准来衡量，高质量研究的数量很少。因此，委员会建议，今后政府对有关研究的资助，应当提出严格的方法论标准要求。既支持有关学习的基础科学的小规模实验研究，也支持有关改善课堂教学效果的大规模随机实验研究。

(3)教育研究生项目负责人应当充分重视面向培养教师和教育管理人员的研究设计、分析和解释的教学和训练。

(4)资助和鼓励数学教育研究领域外的专家(例如国家健康研究院的项目专家)，开展数学教育相关课题的研究。

(5)鼓励建立跨学科研究队伍，支持包括教育心理学、社会学、经济学、认知发展、数学和数学教育等领域的专家共同开展研究。

(6)鼓励和支持中小学合作开展数学教育研究。

(7)除继续严格遵守保护学生个人隐私数据等规则要求外，消除对研究的一些不必要的限制。

四、对报告意义的评论

及美实施报告建议的行动

在宣布发表最终报告的会议上，当时的美国教育部长斯佩琳斯指出：“本报告是迄今为止以科学研究结论为基础对数学教育进行综合分析的第一个报告。报告表明，我们必须帮助学生认识到，只要他们努力，就一定能够取得更好的成绩。因为研究表明，是努力，而不仅是潜在的能力，决定着学习数学的成败。我们必须确保学生在高中毕业时掌握代数概念。因为报告表明，如果学生把代数学好了，他们就更有可能在大学取得成功，也就能够在21世纪的全球竞争中取得更好的就业机会。总之，报告的丰硕成果将使未来一代的美国学生受益。”

对于报告的结论，全美数学教师理事会(The National Council of Teachers of Mathematics，NCTM)发表声明指出，“数学咨询委员会的许多发现与NCTM自1980年以来致力于教育标准运动所开展的工作是一致的。NCTM赞赏数学咨询委员会的工作。……NCTM敦促各级教育行政部门为落实报告的建议提供资助，并支持进一步开展严谨实用的数学教育研究”。但也有评论认为，报告的结论与建议固然很好，但在美国这样一个教育多元化的国家里，这些建议如何实施则面临巨大挑战。

2008财政年度，布什总统预算划拨了2.5亿美元用于实施NMP提出的建议，其中包括实施“小学生今日数学”(Math Now for Elementary School Students)、“中学生今日数学”(Math Now for Middle School Students)两个新项目。

五、启 示

1.高度重视数学教育对培养公民素质和创新人才的重要基础性意义

数学教育的意义不仅在于培养数学人才，而且对培养公民基本素质和创新人才具有重要的基础性意义。报告指出，对数量概念和技能的掌握是公民应当具备的基本素质，是各行各业生产活动顺利开展的基本前提。为了培养更多工程、科学与金融贸易等领域的创新人才，数学教育尤其发挥着不可替代的重要基础性作用。研究表明，在高中完成代数2以上要求的数学课程的学生，上大学和从4年制大学毕业的几率会增加一倍，就业后更可能位居高收入人群之列。因此，数学教育既关系到国家竞争力和利益，也关系到公民个人和家庭的利益。

2.以系统的观点指导数学教育新课程改革

课程改革是一个系统工程，不仅牵涉到教师和学生、教材编写与出版，而且牵涉教育行政部门的决策、家长与社会的参与等。NMP为了研究美国中小学的数学教育问题，组成了多个分委员会与研究小组，从数学课程内容标准、教学方法与学习过程的研究、教师教育与培训、教材编写与出版、数学教育评价、数学教育研究等方面进行了全面细致的研究与规划，这种系统的观点值得我们学习与借鉴。

3.鼓励与支持开展严谨、实证的数学教育科学研究

长期以来，我国的教育研究比较多的限于形而上学的哲学层面，我们的教育学和课程论体系成为一种逻辑推演体系，成为一种象牙塔内的学问。正如本报告援引有关研究所指出的，教育学历史上那种绝对的“学生中心”或“教师控制”的争论是没有意义的，采用何种教育方法应该具体问题具体分析。哪怕是一个看似简单、不证自明的观点，例如“决定学生数学成绩的主要因素是努力，而不仅是潜在的能力”，也要经过实证研究(Evidence—Based)来证明。因此，应重点鼓励与支持开展严谨、实证的数学教育科学研究。

4.逐步把数学教育决策建立在科学研究与民主讨论的基础之上

数学教育是一件专业性很强的工作，也是牵涉许多方面利益的系统工程。因此，数学教育改革政策的制定应当建立在严谨的实证研究的基础之上，以及广泛的民主讨论的基础之上。委员会的每一条建议背后，都有大量研究结论的支持，以及有关各方面广泛意见的表达，而不是一种简单的少数权威人士的看法。总报告之后，又有8个详细的分报告给予支持。这种科学实证和民主讨论的精神是值得提倡的。对此，美国有评论认为，“无论是阅读咨询委员会报告，还是数学教育咨询委员会报告，都力求把教育政策决策建立在科学与实证研究的基础之上，这也许是布什总统《不让一个孩子落伍法》最大的正面遗产”。

附件1：中学代数的主要课题

一、符号和表达式

多项式表达式；有理数表达式；算数及有限几何级数。

二、线性方程式

作为数轴上点的实数；线性方程及其曲线；用线性方程解题；线性不等式及其曲线；联立线性方程式曲线图和解决方法。

三、二次方程

整系数二次方程式多项式因式分解；二次方程式的完全平方；二次方程式公式及一般二次方程式多项式因式分解；用二次方程式公式解方程。

四、函数

线性函数；二次函数；二次函数图像及完全平方；多项式函数；简单非线性函数；有理数幂、根表达式与幂函数；对数函数；三角函数；数据的简单数学模型。

五、代数多项式

根与多项式因数分解；复数及其运算；代数基本定理；二项式系数及帕斯卡三角形；数学归纳与二项式定理。

六、数列组合H与有限概率

组合与排列；二项式定理及帕斯卡三角形的应用。

附件2：关键基础的基本标准

一、整数

1.到3年级末，熟练掌握整数的加减法；

2.到5年级末，熟练掌握整数的乘除法。

二、分数

1.到4年级末，学会分数与小数的识别与表示，在数轴上进行比较；

2.到5年级末，能够对分数、小数与常用百分数进行熟练比较，掌握分数与小数的加减法；

3.到6年级末，掌握分数与小数的乘除法；

4.到6年级末，掌握正负整数的所有运算；

5.到7年级末，掌握正负分数的所有运算；

6.到7年级末，能够解决有关百分比、比例、比率的问题。

三、几何与测量

1.到5年级末，能够解决有关周长、三角形面积及至少有一对边平行的不等边四边形的问题；

2.到6年级末，学生应能够分析二维空间图形的性质，解决有关周长、面积的问题，分析三维图形的性质，解决表面积、体积问题；

3.到7年级末，学生应当熟悉相似三角形的关系、斜线的概念。

作者单位 中国驻美国大使馆教育处

(责任编辑 王永康)