设疑激思 逐层深入促进学生“数学化”的过程——“数学广角

孙　明　马金国

教学内容：人教版小学数学3年级下册第9单元数学广角例1。

教学目标：

1．通过生活中学生易于理解的简单事例，使学生初步体会利用集合思想解决简单实际问题的基本方法，渗透并初步体会集合的有关思想。

2．能运用直观图灵活解决简单的实际问题，学习解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。

3．利用生活事例让学生感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。

教学重、难点：体会集合思想，解决简单问题。

教学准备：学生姓名卡片两张，答题纸一张。

教学流程：

一、创设情境，引出问题

师：有一个好消息要告诉大家，学校要在咱们学年成立两个课外活动小组：一个是趣味数学活动小组，一个是小小文学社。你们想不想参加?那好，我们就现场来报一下名。

师：不过有个要求，一定要选择自己的强项来报名，想参加趣味数学组的同学就在这个圈里贴一张名片，想参加小小文学社的把名片贴在另一个圆圈里。

生：老师，可不可以两个都报名?

师：如果在两方面都具有能力，也可以都报。

师：我们看看大家报名的情况，数学组多少人，文学社呢?

生：27人，26人。

师：我们已经知道参加数学组和文学社各有多少人，现在，学校要知道我们班报名参加这两个小组的一共有多少人，谁能来说说?

生：53人。

师：你怎么知道的?

生：27+26=53。

生：不对，我们班没有那么多人?我们班只有42人。

师：到底是多少人?那刚才53人是怎么回事?

生：有的同学两个小组都报名了，名字贴重了。

师：举个例子说说。看来，问题就出在有的同学既报了数学组，又报了文学社，名字贴重了。

师：这两个圈里除了有两项都报的，还包括什么情况?

生：只参加数学组，只参加文学社。

师：看来，如果还是用这两个圈，已经不能把这些报名情况清楚地表示出来了。请同学们想想办法，怎样能直观、清楚地表示出每种报名情况中包括哪些同学呢?自己先想想，也可以在纸上圈一圈、画一画，互相交流一下。一会我们一起来解决这个问题。(板书课题。)

二、实践操作，探求方法

(生操作探究，小组之间交流。)

1．汇报方法。

师：都研究完了吗?来，我们先来看看这个小组是怎么做的。

组1：在中间画一个圈，把两项都报的名字从两个圈里都拿出来，贴一张在中间，表示两个小组都参加，这样就不重复了。

师：按你的方法，告诉大家怎样做吧。

组1：请两项都报的同学把刚才贴的两张名片都拿下来，在中间贴一张。

师：大家看看，还有没有重复的。

师：他们表示了自己的想法，还有哪个小组也是这样做的?很好，请你们先站在旁边，看看其他小组的想法。

组2：(拿图纸到前面来。)我们也是把那些重复报名的人名都拿出来，在中间只贴一张。可以把左边的圈画大点，把中间的名圈进去，把右边的圈也画大一些，也把中间的人名圈进去。中间表示既是数学组，也是文学社，左边是只参加数学组的，右边是只参加文学社的。这个大圈里的就都是数学组的，这个大圈里的都是文学社的。

师：哪个小组的想法和他们是一样的?

2．质疑辩论。

师：这两个小组讲出了自己的想法，到底哪种方法更能清楚地表示出各种不同的报名情况呢?

组1：我觉得我们的方法挺好，直接把两项都报的名字贴中间，圈起来，别人一看就知道这是两项都报的，这是只报数学组，这是只报文学社的。

组2：这样不行，放中间别人怎么知道是干什么的?

组1：标上不就行了吗?

组2：中间的也是参加数学组的，这里也是参加数学组的，这样看好像跟两边都没关系，我们觉得应该把数学组的都圈起来。

组1：可以画上大括号。

组2：这样不就是像我们这样把这两部分放在一起吗?我们这样圈上就更清楚了。

组2：那你们的所有数学组都在哪呢?

组1：(用手圈出左边和中间的两部分。)

组2：那你们圈的不就是我们的图吗?你们只表示出了3个部分，我们用两个圆交叉可以表示5个部分。

师：我们再听听大家的意见，好吗?

生：第二种好，因为可以把各种报名的情况都表示出来。

师：这组同学，你们接受大家的建议吗?数学知识要求严谨、严密，大家都觉得第二种方法更科学、准确。真的要感谢两个小组的同学给我们带来的这场精彩的辩论，正是你们的敢于质疑、敢于争辩，让我们看到了一种钻研、求真的学习品质，为他们的精彩表现鼓鼓掌。

3．理解5个部分的意义。

师：我们按大家认可的这种方法把黑板上的图调整画一下。同学们看，这个图有什么变化?(两个圈——两个相交在一起的圈。)

师：(指中间。)中间这部分表示什么?

生：既参加数学小组，又参加文学社的。(师贴名称，让学生数出人数——11人。)

师：(分别指两边。)这部分表示什么?多少人?

生：只参加数学组的有16人，只参加文学社的有15人。

师：(指左边的大圈。)这表示什么?

生：这些都是参加数学组的。

师：除了大圈里的这些同学，还有没有参加数学小组的了?怎么说更准确。

生：所有参加数学组，所有参加文学社。

师：这个“所有”用得很准确。

师：看屏幕，看到图中变色的部分，马上说出它所表示的意义。看来同学们对于这个图中5个部分所表示的意义非常清楚。

师：刚才，同学们通过小组合作研究、大胆的尝试，又通过不断的调整、完善，我们找到了一种比较科学、准确的表示方法，知道了图中各个部分所表示的意义。接下来，我们就应用这种表示方法来解决前面我们说的那个问题。

三、应用概念，解决问题

1．多种算法。

师：同学们看黑板，5个部分的数据都有已经统计出来了。(课件出示。)请你结合它们各自所表示的意义，合理选择你需要的数据，怎样计算报名的总人数呢?自己在草纸上算一算，看看谁能想出不同的方法，然后在组内交流。

(巡视过程中发现以下4种解法，让学生板书在黑板上。)

师：(指第一种。)这是谁算的?你来给大家讲讲吧。

生1：27+26-11=42(人)。

师：给大家解释一下。(说说算式的意义。)

生1：(指黑板。)27人表示所有参加数学组的，26表示所有参加文学社的。27人包括中间的11人，26人也包括这11人，加起来就把这11个人算重了，所以再减去11人，等于42人就是报名人数。

师：大家听出来没有，他在讲的时候，哪里重点强调了?

生：中间那11个人不能算重了。

生2：16+11+15=42。16表示只参加数学组的，11表示既参加数学组。又参加文学社的，15表示只参加文学社的。把这3个部分分别相加就求出共有多少人报名。

生3：27+15=42。

师：这是谁写的?这样，你来请一位你信任的同学讲讲，看看他讲的对不对?

生：参加数学组的所有人+只参加语文组的=总人数。

师：他讲得你满意吗?同学们觉得呢?

生4：16+26=42。(指黑板)

师：最后大家一起说说吧。

生：只参加数学组的+参加语文组的所有人=总人数。

2．总结归纳。

师：同学们很善于观察，能从不同角度思考，找到了多种解决问题的方法。后面这3种方法(画大括号)和第一种方法比较一下，解题思路有什么不同?

生：第一种是先相加，然后再减掉重复的。后3种都是在每部分不重复的情况下，只要不遗漏地把每一部分都加上，也能求出总人数。

师：无论哪一种方法，都要注意哪一个关键的问题?

生：都要考虑到中间这11个人不能重复计算。

师：在解决问题的过程中，你觉得这个图对我们有什么帮助?

生：很清楚，很直观。

师：大家感受到了借助这种图我们可以直观、清晰地分析数量间的关系，来解决问题。

师：这种图是由19世纪英国著名的逻辑学家韦恩发明的。后来，人们为了纪念他，就把这种图叫做韦恩图。感兴趣的同学可以在课后查找这方面的资料深入了解一下。

四、生活拓展

师：同学们，2009年2月，将有个隆重的体育盛会在我们哈尔滨召开，知道吗?(世界大学生冬季运动会。)这对于我们每一位来说都是一次展示风采的机会。哈尔滨师范大学外语系的学生积极报名担任大冬会的志愿者。我们看，这是他们报名的情况。

(课件出示：师范大学外语系共有50名同学担任大冬会的志愿者，他们中间会说英语的有39人，会说日语的有20人。)

师：分析以上数据，你能发现什么问题?

生：一定有两个小组都参加的。因为两个小组人数加起来超过了总人数。

师：你能用韦恩图把这些信息清楚地、完整地表示出来吗?在答题纸上画一画。

(生展台汇报，每个部分所表示的意思，以及数据。)

会英语39人会日语20人

师：说说你为什么这样画。给大家指着说说每部分表示的意义。

生：(指在大圈。)这部分表示所有会英语的39人。(指右大圈。)这部分表示所有会日语的20人。中间表示既会英语又会日语的9人。

师：能说说这9个人是怎样得到的吗?

生：39+20-50=9人。

师：为什么这样算就可以求出两种语言都会的有9人?

生：因为39人包括两种都会的，20人也包括两种都会的，加起来就比总人数多。多的那些正好是把两种都会的加了两次，多加了一次，减去总人数，就是两种都会的9人。

师：其中的算理讲得非常清楚。

生：这部分表示只会英语有30人，只会日语有11人。

生：其他同学能不能说说这两个数又是怎样算出来的?

生：39-9=30，20-9=11。

师：图画得清晰、准确，每部分的意义及数量关系讲得很清楚。计算每一部分报名的人数，还可以有其他不同的方法，课后的时候，大家可以再试一试。

师：(总结)同学们，这节课我们借助直观图表示出生活中的一些数学现象，并进行观察、分析，找到了解决这类重复问题的一般方法。更为可贵的是大家能学以致用，用这些方法去解决生活中数学问题。孙老师相信同学们在我们经纬小学这个大家庭里一定会学有所得、学有所乐。

评析：

小学数学教学的重要目标之一是要系统而有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学的思维能力。孙老师所教学的“数学广角”一课所涉及的是集合的初步认识。集合思想是数学中最基本的思想。由于它比较抽象，所以教师在教学中借助生动有趣的事例引出问题，激发矛盾冲突，引导学生逐步深入思考，促进学生“数学化”的学习过程。

一、设疑激思，引发认知冲突

通过现场报名参加学校举办的“数学趣味小组”和“小小文学社”的活动作为教学素材展开教学。当学生通过计算发现报名数超过了班级的总人数时，引起学生的认知冲突，进而引导学生探寻更科学的表示方法——借助集合图把两个小组的关系表示出来，以解释这一数学现象。

二、逐层深入，渗透数学思想方法

在本课中，孙老师着力引导学生通过观察、操作、实验、交流等活动，由浅入深。逐层深入地渗透数学思想方法，促进学生的思维活动，逐步形成有序的、严密的思考问题的意识。

1．操作探索，启发思维。

当学生发现几种报名情况在两个圈里不能清楚地表示出来时，教师鼓励学生想办法，圈一圈、画一画，寻找一种清楚、科学的表示方法。遇到问题，观察调整，是学生思维活动的第一步。

2．质疑辩论，深化思维。

学生汇报自己的想法时，教师为学生创设自我表达、相互质疑、辩论的机会，把学生的思维逐步推向深入。引导其经历操作、探索、发现、调整、完善的过程，就是“数学化”的过程。

3．总结归纳，提升思维。

数学思想融于数学知识体系中，并隐身于其后，因此，适时对数学思想做出归纳、概括是十分必要的。在学生探究、发现的基础上，教师引导学生说出图中各部分所表示的意义，再借助直观图从不同角度思考，根据数据列式计算出总人数。在这个过程中引导学生发现解决问题一般方法的规律性，以及不同方法之间的内在联系，进一步感受到集合思想的应用价值，使学生的思维上升到更为抽象的理性认识领域，经历从现象到问题再到本质的深刻思考。

三、实践运用，促进学生数学化的过程

运用所学知识，解决生活中的实际问题，使学生学以致用是我们数学教学的重要目标之一。最后，教师出示这样一组数据：师范大学外语系共有50名同学担任大冬会的志愿者，他们中间会说英语的有39人，会说日语的有20人。把前面具体形象的图形转化成抽象的文字，让学生运用集合的思想解决实际问题，从整体上对知识进行巩固，提高学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解。这样有利于学生活化所学知识，提高形成独立分析、解决问题的能力。

数学思想是数学的灵魂，它是对数学知识的高度概括，会给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，在一段时间后，他们可能会把具体的知识淡忘了，但从数学角度去思考问题的方式却将伴随终身。我们进行数学教学的目的，是通过数学知识和观念的培养。让学生形成一种数学头脑，将数学知识真正建立在数学思想方法基础之上，真正促进学生“数学化”的过程，用思想方法指导学生掌握数学的核心内容，让学生能将知识和方法用于今后的工作和生活之中。

个人简介

孙明特级教师、中学高级教师，省优秀教师、骨干教师、数学学科最佳教师，哈尔滨市首批学科带头人。2008年北京奥运会火炬手，曾先后4次获全国数学课堂教学大赛一等奖。在全市推出了以“精雕细琢、融情寓理、润泽生命”为题的“孙明教学风格研讨会”。